Номер 7.104, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Несколько более сложных примеров (Узнайте больше). Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.104, страница 211.

Условие.

7.104 a) $n^4 + n^2 + 1$;

б) $n^8 + n^4 + 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы разложить на множители выражение $n^4 + n^2 + 1$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого добавим и вычтем $n^2$ к исходному выражению:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат двучлена $(n^2+1)^2$:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Полученное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$. Применим эту формулу сокращенного умножения:

$(n^2 + 1)^2 - n^2 = ((n^2 + 1) - n)((n^2 + 1) + n)$

Переставим слагаемые внутри скобок, чтобы привести многочлены к стандартному виду:

$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$.

б) Для разложения выражения $n^8 + n^4 + 1$ применим тот же самый метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $n^4$:

$n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 + 1 - n^4$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат двучлена $(n^4+1)^2$:

$(n^8 + 2n^4 + 1) - n^4 = (n^4 + 1)^2 - (n^2)^2$

Мы снова получили разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, но на этот раз $a = n^4 + 1$ и $b = n^2$. Разложим на множители:

$(n^4 + 1)^2 - (n^2)^2 = ((n^4 + 1) - n^2)((n^4 + 1) + n^2)$

Приведем многочлены в скобках к стандартному виду:

$(n^4 - n^2 + 1)(n^4 + n^2 + 1)$

Заметим, что второй множитель $n^4 + n^2 + 1$ — это в точности выражение из пункта а), которое мы уже разложили на множители:

$n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(n^4 - n^2 + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Многочлен $n^4 - n^2 + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, мы получили окончательное разложение.

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)(n^4 - n^2 + 1)$.