Страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.103 a) $a^3 - 5a^2 + 9a - 5;$

б) $x^4 + 4x^2y^2 - 5y^4.$

а)

Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 - 5a^2 + 9a - 5$, применим метод группировки слагаемых. Для этого представим некоторые члены многочлена в виде суммы или разности.

Представим слагаемое $-5a^2$ как $-a^2 - 4a^2$, а слагаемое $9a$ как $4a + 5a$.

$a^3 - 5a^2 + 9a - 5 = a^3 - a^2 - 4a^2 + 4a + 5a - 5$

Теперь сгруппируем полученные слагаемые попарно:

$(a^3 - a^2) + (-4a^2 + 4a) + (5a - 5)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:

$a^2(a - 1) - 4a(a - 1) + 5(a - 1)$

Мы получили общий для всех слагаемых множитель $(a - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 1)(a^2 - 4a + 5)$

Далее проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 5$. Для этого найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Следовательно, полученное выражение является окончательным.

Ответ: $(a - 1)(a^2 - 4a + 5)$

б)

Для разложения на множители выражения $x^4 + 4x^2y^2 - 5y^4$ можно рассматривать его как квадратный трехчлен относительно $x^2$.

Представим средний член $4x^2y^2$ в виде разности $5x^2y^2 - x^2y^2$:

$x^4 + 5x^2y^2 - x^2y^2 - 5y^4$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(x^4 + 5x^2y^2) - (x^2y^2 + 5y^4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x^2 + 5y^2) - y^2(x^2 + 5y^2)$

Мы видим общий множитель $(x^2 + 5y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - y^2)(x^2 + 5y^2)$

Первый множитель $(x^2 - y^2)$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Второй множитель $(x^2 + 5y^2)$ является суммой квадратов (с положительным коэффициентом) и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Подставляем разложенный множитель в исходное выражение и получаем окончательный результат:

$(x - y)(x + y)(x^2 + 5y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + 5y^2)$

7.104 a) $n^4 + n^2 + 1$;

б) $n^8 + n^4 + 1$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $n^4 + n^2 + 1$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого добавим и вычтем $n^2$ к исходному выражению:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат двучлена $(n^2+1)^2$:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Полученное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$. Применим эту формулу сокращенного умножения:

$(n^2 + 1)^2 - n^2 = ((n^2 + 1) - n)((n^2 + 1) + n)$

Переставим слагаемые внутри скобок, чтобы привести многочлены к стандартному виду:

$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$.

б) Для разложения выражения $n^8 + n^4 + 1$ применим тот же самый метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $n^4$:

$n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 + 1 - n^4$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат двучлена $(n^4+1)^2$:

$(n^8 + 2n^4 + 1) - n^4 = (n^4 + 1)^2 - (n^2)^2$

Мы снова получили разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, но на этот раз $a = n^4 + 1$ и $b = n^2$. Разложим на множители:

$(n^4 + 1)^2 - (n^2)^2 = ((n^4 + 1) - n^2)((n^4 + 1) + n^2)$

Приведем многочлены в скобках к стандартному виду:

$(n^4 - n^2 + 1)(n^4 + n^2 + 1)$

Заметим, что второй множитель $n^4 + n^2 + 1$ — это в точности выражение из пункта а), которое мы уже разложили на множители:

$n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(n^4 - n^2 + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Многочлен $n^4 - n^2 + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, мы получили окончательное разложение.

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)(n^4 - n^2 + 1)$.

7.105 Решите уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0.$

Данное уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$ является биквадратным. Для его решения применяется метод замены переменной.

Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим новую переменную $t$ в исходное уравнение. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

1. Решение по теореме Виета:

Сумма корней $t_1 + t_2 = -4$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -5$. Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

2. Решение через дискриминант:

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, b=4, c=-5$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для этого выполним обратную замену $x^2 = t$, учитывая условие $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним и не приводит к действительным решениям для $x$.

Рассмотрим корень $t_1 = 1$:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 1$.

7.106 Докажите разными способами, что:

а) $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4);$

б) $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4).$

Приведем несколько способов доказательства данного тождества.

Способ 1: Раскрытие скобок (умножение многочленов)

Этот способ заключается в том, чтобы преобразовать правую часть равенства и показать, что она равна левой. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a - b)$ на многочлен $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$

$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$

Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$= a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$= a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5$

В результате мы получили левую часть исходного равенства, что и доказывает тождество.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение во второй скобке в правой части: $S = a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4$. Это сумма пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $u_1 = a^4$, а знаменатель $q = \frac{a^3b}{a^4} = \frac{b}{a}$.

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$. В нашем случае $n=5$.

$S_5 = a^4 \cdot \frac{(\frac{b}{a})^5 - 1}{\frac{b}{a} - 1} = a^4 \cdot \frac{\frac{b^5}{a^5} - 1}{\frac{b-a}{a}} = a^4 \cdot \frac{\frac{b^5 - a^5}{a^5}}{\frac{b-a}{a}} = a^4 \cdot \frac{b^5 - a^5}{a^5} \cdot \frac{a}{b-a} = \frac{a^5}{a^5} \cdot \frac{b^5 - a^5}{b-a} = \frac{-(a^5 - b^5)}{-(a-b)} = \frac{a^5 - b^5}{a-b}$

Таким образом, мы показали, что $a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4 = \frac{a^5 - b^5}{a-b}$.

Умножив обе части этого равенства на $(a-b)$, мы получаем исходное тождество: $(a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a^5 - b^5$.

Способ 3: Разложение левой части на множители

Преобразуем левую часть $a^5 - b^5$, последовательно добавляя и вычитая слагаемые для выделения общего множителя $(a-b)$.

$a^5 - b^5 = a^5 - a^4b + a^4b - a^3b^2 + a^3b^2 - a^2b^3 + a^2b^3 - ab^4 + ab^4 - b^5$

Сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общие множители за скобки:

$= (a^5 - a^4b) + (a^4b - a^3b^2) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (a^2b^3 - ab^4) + (ab^4 - b^5)$

$= a^4(a-b) + a^3b(a-b) + a^2b^2(a-b) + ab^3(a-b) + b^4(a-b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$= (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ доказано.

Докажем это тождество аналогичными способами.

Способ 1: Раскрытие скобок (умножение многочленов)

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки.

$(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$

$= (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 + a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5$

Промежуточные члены с противоположными знаками взаимно уничтожаются:

$= a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5$

Полученное выражение равно левой части исходного равенства, тождество доказано.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение во второй скобке: $S = a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4$. Это сумма пяти членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $u_1 = a^4$, знаменатель $q = \frac{-a^3b}{a^4} = -\frac{b}{a}$.

Используем формулу суммы $S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ для $n=5$.

$S_5 = a^4 \cdot \frac{(-\frac{b}{a})^5 - 1}{-\frac{b}{a} - 1} = a^4 \cdot \frac{-\frac{b^5}{a^5} - 1}{-\frac{b+a}{a}} = a^4 \cdot \frac{\frac{-b^5 - a^5}{a^5}}{-\frac{a+b}{a}} = a^4 \cdot \frac{-(a^5 + b^5)}{a^5} \cdot \frac{a}{-(a+b)} = \frac{a^5}{a^5} \cdot \frac{a^5 + b^5}{a+b} = \frac{a^5 + b^5}{a+b}$

Следовательно, $a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 = \frac{a^5 + b^5}{a+b}$.

Умножив обе части на $(a+b)$, получаем исходное тождество: $(a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a^5 + b^5$.

Способ 3: Разложение левой части на множители

Преобразуем левую часть $a^5 + b^5$, добавляя и вычитая слагаемые для выделения множителя $(a+b)$.

$a^5 + b^5 = a^5 + a^4b - a^4b - a^3b^2 + a^3b^2 + a^2b^3 - a^2b^3 - ab^4 + ab^4 + b^5$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$= (a^5 + a^4b) - (a^4b + a^3b^2) + (a^3b^2 + a^2b^3) - (a^2b^3 + ab^4) + (ab^4 + b^5)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$= a^4(a+b) - a^3b(a+b) + a^2b^2(a+b) - ab^3(a+b) + b^4(a+b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$= (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$ доказано.

1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?

Существует несколько основных способов разложения многочленов на множители, которые часто применяются как по отдельности, так и в комбинации.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это самый простой способ, основанный на распределительном законе умножения. Если все члены многочлена имеют общий множитель (число, переменную или их произведение), его можно вынести за скобки. Для этого находят наибольший общий делитель (НОД) для всех коэффициентов и переменную с наименьшей степенью, которая входит в каждый член многочлена.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 + 25a^2b^3$.

Общий множитель для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Общий множитель для переменных — $a^2b^2$ (выбираем наименьшие степени). Таким образом, общий множитель всего многочлена — $5a^2b^2$. Выносим его за скобки: $15a^3b^2 + 25a^2b^3 = 5a^2b^2(3a + 5b)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a + 5b)$.

2. Способ группировки

Этот метод применяется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя, но их можно сгруппировать так, что у каждой группы появится свой общий множитель. После вынесения общих множителей из каждой группы должен появиться новый общий множитель (обычно в виде скобки), который затем снова выносится за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен $xy - 6 + 3x - 2y$.

Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$. Из первой группы вынесем $x$, а из второй — $-2$. Получим: $x(y + 3) - 2(y + 3)$. Теперь общим множителем является скобка $(y + 3)$. Выносим ее: $(y + 3)(x - 2)$.

Ответ: $(y + 3)(x - 2)$.

3. Использование формул сокращенного умножения

Этот способ заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул сокращенного умножения и применении ее в обратном порядке.

Основные формулы:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример: Разложить на множители $49x^2 - 16y^2$.

Этот многочлен можно представить как разность квадратов: $(7x)^2 - (4y)^2$. Применяя формулу, получаем: $(7x - 4y)(7x + 4y)$.

Ответ: $(7x - 4y)(7x + 4y)$.

4. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители, если найти его корни $x_1$ и $x_2$ (решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$). Разложение производится по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 8x + 4$.

Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Подставляем в формулу: $3(x - \frac{2}{3})(x - 2)$. Можно внести множитель 3 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(3x - 2)(x - 2)$.

Ответ: $(3x - 2)(x - 2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем добавления и вычитания некоторого слагаемого так, чтобы выделить полный квадрат, а затем, как правило, применить формулу разности квадратов.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $4x^2$. Добавим и вычтем его: $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$. Первые три члена образуют полный квадрат: $(x^2 + 2)^2$. Выражение принимает вид $(x^2 + 2)^2 - 4x^2$, что можно записать как $(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$. Теперь это разность квадратов: $((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

6. Комбинирование различных способов

На практике часто требуется последовательное применение нескольких методов. Обычно начинают с вынесения общего множителя, а затем анализируют оставшееся в скобках выражение, чтобы применить другие способы.

Пример: Разложить на множители $5x^3 - 5x$.

1. Выносим общий множитель $5x$: $5x(x^2 - 1)$.

2. Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов. Применяем соответствующую формулу: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

В результате получаем полное разложение.

Ответ: $5x(x - 1)(x + 1)$.

2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя? Объясните на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$, как вынести за скобки общий множитель.

На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя?

Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного свойства умножения относительно сложения, которое также называют дистрибутивным законом. Это свойство устанавливает связь между операциями сложения и умножения. В общем виде его записывают следующей формулой:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

При выполнении операции вынесения за скобки это свойство используется в обратном порядке, то есть справа налево:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

В данном случае, $a$ является общим множителем для слагаемых $ab$ и $ac$, который и выносится за скобки.

Ответ: Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного свойства умножения.

Объясните на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$, как вынести за скобки общий множитель.

Чтобы вынести общий множитель за скобки в многочлене $12ab^2 + 3a^2b$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.
Коэффициенты у нас 12 и 3. Их наибольший общий делитель — это 3.

2. Найти общие переменные и их наименьшие степени.
Переменная $a$ присутствует в обоих членах ($a$ и $a^2$). Выбираем наименьшую степень — $a^1$, то есть просто $a$.
Переменная $b$ также присутствует в обоих членах ($b^2$ и $b$). Выбираем наименьшую степень — $b^1$, то есть просто $b$.

3. Определить общий множитель.
Общий множитель является произведением НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях: $3 \cdot a \cdot b = 3ab$.

4. Разделить каждый член многочлена на общий множитель.
Теперь выносим $3ab$ за скобки, для чего делим каждый член исходного многочлена на этот общий множитель. Результаты деления составят выражение в скобках.
Первый член: $\frac{12ab^2}{3ab} = 4b$
Второй член: $\frac{3a^2b}{3ab} = a$

5. Записать итоговое выражение.
Записываем общий множитель перед скобками, а в скобках — сумму полученных частных:
$12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)$

Для проверки можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки: $3ab(4b + a) = 3ab \cdot 4b + 3ab \cdot a = 12ab^2 + 3a^2b$. Результат совпадает с исходным многочленом, следовательно, разложение выполнено правильно.

Ответ: $12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)$.

3 Объясните на примере многочлена $ax - bx + ay - by$, как выполняется разложение на множители способом группировки. Покажите разные возможности группировки слагаемых.

Разложение многочлена на множители способом группировки означает, что слагаемые многочлена объединяют в группы таким образом, чтобы у каждой группы появился общий множитель. Этот множитель выносят за скобки. После этого шага должен появиться новый общий множитель (уже для всех групп), который также выносится за скобки. Рассмотрим различные возможности группировки слагаемых на примере многочлена $ax - bx + ay - by$.

Первая возможность группировки

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым.

$ax - bx + ay - by = (ax - bx) + (ay - by)$

В первой группе $(ax - bx)$ вынесем за скобки общий множитель $x$. Во второй группе $(ay - by)$ вынесем за скобки общий множитель $y$. В результате получим:

$x(a - b) + y(a - b)$

Теперь у обоих получившихся слагаемых есть общий множитель — это двучлен $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x + y)$

Таким образом, многочлен разложен на два множителя.

Ответ: $(a - b)(x + y)$

Вторая возможность группировки

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе — с четвертым.

$ax - bx + ay - by = (ax + ay) + (-bx - by)$

В первой группе $(ax + ay)$ вынесем за скобки общий множитель $a$. Во второй группе $(-bx - by)$ вынесем за скобки общий множитель $-b$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе. Получим:

$a(x + y) - b(x + y)$

Теперь общим множителем является двучлен $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(a - b)$

Результат совпадает с первым способом, так как от перестановки множителей произведение не изменяется.

Ответ: $(x + y)(a - b)$