Страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

a) Какое свойство произведения используется для решения уравнения $(x-1)(x+5)=0$ (сформулируйте это свойство)? Решите данное уравнение.

б) Приведите свой пример уравнения, решаемого на основе равенства нулю произведения.

а) Для решения уравнения $(x-1)(x+5)=0$ используется свойство равенства произведения нулю.

Формулировка свойства: Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Алгебраически, если $a \cdot b = 0$, то $a=0$ или $b=0$.

Решение уравнения:

Исходя из данного свойства, мы можем приравнять каждый из множителей в уравнении $(x-1)(x+5)=0$ к нулю:

$x-1=0$ или $x+5=0$

Решая каждое из этих простых линейных уравнений, находим корни:

1) $x-1=0 \implies x_1 = 1$

2) $x+5=0 \implies x_2 = -5$

Ответ: используется свойство равенства произведения нулю; корни уравнения: $x_1=1$, $x_2=-5$.

б) В качестве примера уравнения, решаемого на основе равенства нулю произведения, можно привести следующее:

$(2x-6)(x+9)=0$

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, приравниваем каждый множитель к нулю:

$2x-6=0$ или $x+9=0$

Находим корни из каждого уравнения:

1) $2x-6=0 \implies 2x = 6 \implies x_1 = 3$

2) $x+9=0 \implies x_2 = -9$

Ответ: пример уравнения $(2x-6)(x+9)=0$, его корни: $x_1=3$, $x_2=-9$.

Примените приём решения уравнения, рассмотренный в примере 2, для нахождения корней уравнения $x^2 - 6x = 0$.

Для решения данного неполного квадратного уравнения $x^2 - 6x = 0$ используется метод разложения на множители. Этот метод заключается в вынесении общего множителя за скобки.

1. Определение общего множителя

В левой части уравнения $x^2 - 6x$ оба слагаемых, $x^2$ и $-6x$, содержат общий множитель $x$.

2. Вынесение общего множителя за скобки

Вынесем $x$ за скобки. Уравнение примет вид:

$x(x - 6) = 0$

3. Применение свойства равенства произведения нулю

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Исходя из этого, мы можем приравнять к нулю каждый из множителей: $x$ и $(x-6)$.

Получаем два простых уравнения:

1) $x = 0$

2) $x - 6 = 0$

4. Нахождение корней

Первый корень уравнения уже найден: $x_1 = 0$.

Решаем второе уравнение, чтобы найти второй корень:

$x - 6 = 0$

Перенесем $-6$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x_2 = 6$

Таким образом, мы нашли два корня исходного уравнения.

Ответ: $0; 6$.

7.90 Является ли корнем уравнения $(x+8)(2x-6)=0$ число:

0; -3; 3; -5; 5; -8; 8?

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение $(x + 8)(2x - 6) = 0$. Если в результате подстановки левая часть уравнения обратится в ноль (получится верное равенство $0 = 0$), то число является корнем. В противном случае — не является.

0

Подставим $x = 0$ в левую часть уравнения: $(0 + 8)(2 \cdot 0 - 6) = 8 \cdot (0 - 6) = 8 \cdot (-6) = -48$.

Так как $-48 \neq 0$, число 0 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

-3

Подставим $x = -3$ в левую часть уравнения: $(-3 + 8)(2 \cdot (-3) - 6) = 5 \cdot (-6 - 6) = 5 \cdot (-12) = -60$.

Так как $-60 \neq 0$, число -3 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

3

Подставим $x = 3$ в левую часть уравнения: $(3 + 8)(2 \cdot 3 - 6) = 11 \cdot (6 - 6) = 11 \cdot 0 = 0$.

Так как $0 = 0$, число 3 является корнем уравнения.

Ответ: является.

-5

Подставим $x = -5$ в левую часть уравнения: $(-5 + 8)(2 \cdot (-5) - 6) = 3 \cdot (-10 - 6) = 3 \cdot (-16) = -48$.

Так как $-48 \neq 0$, число -5 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

5

Подставим $x = 5$ в левую часть уравнения: $(5 + 8)(2 \cdot 5 - 6) = 13 \cdot (10 - 6) = 13 \cdot 4 = 52$.

Так как $52 \neq 0$, число 5 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

-8

Подставим $x = -8$ в левую часть уравнения: $(-8 + 8)(2 \cdot (-8) - 6) = 0 \cdot (-16 - 6) = 0 \cdot (-22) = 0$.

Так как $0 = 0$, число -8 является корнем уравнения.

Ответ: является.

8

Подставим $x = 8$ в левую часть уравнения: $(8 + 8)(2 \cdot 8 - 6) = 16 \cdot (16 - 6) = 16 \cdot 10 = 160$.

Так как $160 \neq 0$, число 8 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

7.91 Найдите корни уравнения:

a) $(x + 3)(x - 5) = 0;$

б) $(z - 4)(2z + 1) = 0;$

в) $(7 - x)(3 + 4x) = 0;$

г) $y(3y + 7) = 0;$

д) $-2x(x - 4) = 0;$

е) $y(y + 3)(y - 6) = 0;$

ж) $(1 - x)(3x - 2)(x + 5) = 0;$

з) $z(2 - z)(3 - 2z) = 0.$

а) Уравнение: $(x + 3)(x - 5) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.
1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$.
2) $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$.
Ответ: -3; 5.

б) Уравнение: $(z - 4)(2z + 1) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $z - 4 = 0 \implies z_1 = 4$.
2) $2z + 1 = 0 \implies 2z = -1 \implies z_2 = -1/2 = -0.5$.
Ответ: -0,5; 4.

в) Уравнение: $(7 - x)(3 + 4x) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $7 - x = 0 \implies x_1 = 7$.
2) $3 + 4x = 0 \implies 4x = -3 \implies x_2 = -3/4 = -0.75$.
Ответ: -0,75; 7.

г) Уравнение: $y(3y + 7) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $y_1 = 0$.
2) $3y + 7 = 0 \implies 3y = -7 \implies y_2 = -7/3$.
Ответ: $-7/3$; 0.

д) Уравнение: $-2x(x - 4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей (кроме константы $-2$) равен нулю.
1) $x_1 = 0$.
2) $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.
Ответ: 0; 4.

е) Уравнение: $y(y + 3)(y - 6) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $y_1 = 0$.
2) $y + 3 = 0 \implies y_2 = -3$.
3) $y - 6 = 0 \implies y_3 = 6$.
Ответ: -3; 0; 6.

ж) Уравнение: $(1 - x)(3x - 2)(x + 5) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $1 - x = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x_2 = 2/3$.
3) $x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$.
Ответ: -5; $2/3$; 1.

з) Уравнение: $z(2 - z)(3 - 2z) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $z_1 = 0$.
2) $2 - z = 0 \implies z_2 = 2$.
3) $3 - 2z = 0 \implies 2z = 3 \implies z_3 = 3/2 = 1.5$.
Ответ: 0; 1,5; 2.

Решите уравнение (7.92–7.95).

7.92 а) $3x^2 + 15x = 0;$

б) $9y - y^2 = 0;$

в) $-2x^2 - 4x = 0;$

г) $x^3 - x^2 = 0.$

а) Решим уравнение $3x^2 + 15x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для членов $3x^2$ и $15x$ является $3x$.

$3x(x + 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.

1) $3x = 0$

Разделив обе части на 3, получаем:

$x_1 = 0$

2) $x + 5 = 0$

Вычитая 5 из обеих частей, получаем:

$x_2 = -5$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -5.

Ответ: $0; -5$.

б) Решим уравнение $9y - y^2 = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки.

$y(9 - y) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y_1 = 0$

2) $9 - y = 0$

Прибавив $y$ к обеим частям, получаем:

$y_2 = 9$

Уравнение имеет два корня: 0 и 9.

Ответ: $0; 9$.

в) Решим уравнение $-2x^2 - 4x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки. Также можно для удобства умножить все уравнение на $-1$, чтобы избавиться от знаков минуса: $2x^2 + 4x = 0$. Теперь вынесем за скобки $2x$.

$2x(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2x = 0$

$x_1 = 0$

2) $x + 2 = 0$

$x_2 = -2$

Уравнение имеет два корня: 0 и -2.

Ответ: $0; -2$.

г) Решим уравнение $x^3 - x^2 = 0$.

Это кубическое уравнение, которое можно решить методом разложения на множители. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки.

$x^2(x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$x_1 = 0$

2) $x - 1 = 0$

Прибавляя 1 к обеим частям, получаем:

$x_2 = 1$

Уравнение имеет два различных корня: 0 и 1.

Ответ: $0; 1$.

7.93 a) $x^2 - 4 = 0;$

Б) $4x^2 - 25 = 0;$

В) $1 - z^2 = 0;$

Г) $3z^2 - 75 = 0.$

а) $x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения:

$x^2 = 4$

Теперь, чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{4}$

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$

Также это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 2^2 = 0$

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: $-2; 2$.

б) $4x^2 - 25 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 25$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{25}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$x = \pm\frac{5}{2}$

Корни уравнения:

$x_1 = 2.5$ и $x_2 = -2.5$

Альтернативное решение с использованием формулы разности квадратов:

$(2x)^2 - 5^2 = 0$

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

$2x - 5 = 0$ или $2x + 5 = 0$

$2x = 5$ или $2x = -5$

$x_1 = \frac{5}{2} = 2.5$, $x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5; 2.5$.

в) $1 - z^2 = 0$

Перенесем член с переменной в правую часть, чтобы он стал положительным:

$1 = z^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{1}$

Корни уравнения:

$z_1 = 1$ и $z_2 = -1$

Решение с помощью разности квадратов:

$1^2 - z^2 = 0$

$(1 - z)(1 + z) = 0$

$1 - z = 0$ или $1 + z = 0$

$z_1 = 1$, $z_2 = -1$

Ответ: $-1; 1$.

г) $3z^2 - 75 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$3z^2 = 75$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $z^2$, то есть на 3:

$z^2 = \frac{75}{3}$

$z^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{25}$

Корни уравнения:

$z_1 = 5$ и $z_2 = -5$

Другой способ — вынесение общего множителя за скобки:

$3(z^2 - 25) = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$z^2 - 25 = 0$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$(z - 5)(z + 5) = 0$

$z - 5 = 0$ или $z + 5 = 0$

$z_1 = 5$, $z_2 = -5$

Ответ: $-5; 5$.

7.94 a) $x^3 - x = 0;$

Б) $4y - y^3 = 0;$

В) $5z^3 - 5z = 0;$

Г) $z - 9z^3 = 0.$

а) $x^3 - x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем совокупность двух уравнений:

1. $x = 0$

2. $x^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение. Это разность квадратов:

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) $4y - y^3 = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(4 - y^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $y = 0$

2. $4 - y^2 = 0$

Решим второе уравнение, которое также является разностью квадратов:

$y^2 = 4$

Отсюда получаем два корня: $y = 2$ и $y = -2$.

Следовательно, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

в) $5z^3 - 5z = 0$

Вынесем общий множитель $5z$ за скобки:

$5z(z^2 - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1. $5z = 0 \implies z = 0$

2. $z^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение (разность квадратов):

$z^2 = 1$

Отсюда $z = 1$ и $z = -1$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

г) $z - 9z^3 = 0$

Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(1 - 9z^2) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1. $z = 0$

2. $1 - 9z^2 = 0$

Решим второе уравнение, используя формулу разности квадратов:

$9z^2 = 1$

$z^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда получаем два корня: $z = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ и $z = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}$.

7.95 a) $4x^2 - 4x + 1 = 0$;

б) $x^2 - 10x + 25 = 0$;

в) $5y^2 + 20y + 20 = 0$;

г) $2y^2 - 12y + 18 = 0$.

Подсказка. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена.

а) $4x^2 - 4x + 1 = 0$
Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности. Используем формулу сокращенного умножения: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2 = 4x^2$, поэтому $a = 2x$, а $b^2 = 1$, поэтому $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(2x - 1)^2 = 0$
Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = 0.5$.

б) $x^2 - 10x + 25 = 0$
Это уравнение также можно решить, представив левую часть как квадрат двучлена. Снова используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a = x$, а $b^2 = 25$, значит $b = 5$. Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$.
Перепишем уравнение:
$(x - 5)^2 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Ответ: $x = 5$.

в) $5y^2 + 20y + 20 = 0$
Сначала упростим уравнение, разделив все его члены на 5:
$y^2 + 4y + 4 = 0$
Теперь левая часть представляет собой полный квадрат суммы. Используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a^2 = y^2$, значит $a = y$, а $b^2 = 4$, значит $b = 2$. Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot y \cdot 2 = 4y$.
Представим уравнение в виде:
$(y + 2)^2 = 0$
$y + 2 = 0$
$y = -2$
Ответ: $y = -2$.

г) $2y^2 - 12y + 18 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Левая часть является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = y^2$, значит $a = y$, а $b^2 = 9$, значит $b = 3$. Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot y \cdot 3 = 6y$.
Перепишем уравнение в виде квадрата двучлена:
$(y - 3)^2 = 0$
$y - 3 = 0$
$y = 3$
Ответ: $y = 3$.

7.96 Найдите корни уравнения подбором, а затем решите это уравнение, применив разложение на множители:

а) $y^2 = y$;

б) $a^3 = a$;

в) $x^2 = 4x$;

г) $t^2 = -5t$.

а) Сначала найдем корни уравнения $y^2 = y$ подбором. Легко заметить, что если подставить $y=0$, то получится верное равенство: $0^2 = 0$. Также, если подставить $y=1$, равенство $1^2 = 1$ тоже будет верным. Таким образом, корни, найденные подбором: 0 и 1.
Теперь решим уравнение, применив разложение на множители. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$y^2 - y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:
1) $y = 0$
2) $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$
Корни уравнения: 0 и 1.
Ответ: 0; 1.

б) Найдем корни уравнения $a^3 = a$ подбором. Проверим несколько значений:
Если $a=0$, то $0^3 = 0$. Верно.
Если $a=1$, то $1^3 = 1$. Верно.
Если $a=-1$, то $(-1)^3 = -1$. Верно.
Корни, найденные подбором: 0, 1 и -1.
Теперь решим уравнение разложением на множители. Перенесем все в левую часть:
$a^3 - a = 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - 1^2$, которую можно разложить как $(a-1)(a+1)$.
$a(a - 1)(a + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $a = 0$
2) $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$
3) $a + 1 = 0$, откуда $a = -1$
Корни уравнения: 0, 1 и -1.
Ответ: -1; 0; 1.

в) Найдем корни уравнения $x^2 = 4x$ подбором.
Если $x=0$, то $0^2 = 4 \cdot 0$, что дает $0 = 0$. Верно.
Если $x=4$, то $4^2 = 4 \cdot 4$, что дает $16 = 16$. Верно.
Корни, найденные подбором: 0 и 4.
Теперь решим уравнение разложением на множители. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 4 = 0$, откуда $x = 4$
Корни уравнения: 0 и 4.
Ответ: 0; 4.

г) Найдем корни уравнения $t^2 = -5t$ подбором.
Если $t=0$, то $0^2 = -5 \cdot 0$, что дает $0 = 0$. Верно.
Если $t=-5$, то $(-5)^2 = -5 \cdot (-5)$, что дает $25 = 25$. Верно.
Корни, найденные подбором: 0 и -5.
Теперь решим уравнение разложением на множители. Перенесем все члены в левую часть:
$t^2 + 5t = 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t + 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $t = 0$
2) $t + 5 = 0$, откуда $t = -5$
Корни уравнения: 0 и -5.
Ответ: -5; 0.