Страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулы разности кубов и суммы кубов; прочитайте эти формулы. Среди приведённых выражений выберите те, к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов: $1 - a^3$; $x^3 + y^2$; $b^3 + 8c^3$.

Запишите формулы разности кубов и суммы кубов; прочитайте эти формулы

Формула разности кубов имеет вид:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Читается она так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула суммы кубов имеет вид:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Читается она так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Ответ: Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Среди приведённых выражений выберите те, к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов

Для применения формулы разности или суммы кубов необходимо, чтобы выражение состояло из двух членов, каждый из которых является точным кубом. Рассмотрим каждое выражение:

1. $1 - a^3$. Это выражение можно представить в виде разности кубов, так как $1$ — это $1^3$. Выражение принимает вид $1^3 - a^3$. Следовательно, к нему можно применить формулу разности кубов.

2. $x^3 + y^2$. В этом выражении первый член $x^3$ является кубом переменной $x$, однако второй член $y^2$ является квадратом, а не кубом. Следовательно, к этому выражению нельзя применить формулу суммы кубов.

3. $b^3 + 8c^3$. В этом выражении первый член $b^3$ является кубом переменной $b$. Второй член $8c^3$ также является кубом, поскольку $8 = 2^3$, и значит $8c^3 = (2c)^3$. Выражение принимает вид $b^3 + (2c)^3$. Следовательно, к нему можно применить формулу суммы кубов.

Ответ: $1 - a^3$ и $b^3 + 8c^3$.

Примените нужную формулу для разложения на множители выражения: $8 - c^3$; $x^3 + 1$; $27a^3 - b^3$.

Для разложения данных выражений на множители необходимо применить формулы сокращенного умножения: формулу разности кубов и формулу суммы кубов.

• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$8 - c^3$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Число 8 можно представить как $2^3$.
$8 - c^3 = 2^3 - c^3$
Теперь применим формулу разности кубов, где $a=2$ и $b=c$:
$2^3 - c^3 = (2 - c)(2^2 + 2 \cdot c + c^2) = (2 - c)(4 + 2c + c^2)$.
Ответ: $(2 - c)(4 + 2c + c^2)$

$x^3 + 1$

Это выражение является суммой кубов. Число 1 можно представить как $1^3$.
$x^3 + 1 = x^3 + 1^3$
Применим формулу суммы кубов, где $a=x$ и $b=1$:
$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.
Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

$27a^3 - b^3$

Это выражение также является разностью кубов. Представим первое слагаемое $27a^3$ как куб выражения $3a$, поскольку $27=3^3$.
$27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3$
Применим формулу разности кубов, где в качестве первого члена выступает $3a$, а в качестве второго — $b$:
$(3a)^3 - b^3 = (3a - b)((3a)^2 + (3a) \cdot b + b^2) = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$.
Ответ: $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

7.61 Выполните умножение по правилу умножения многочленов:

a) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$;

б) $(a - c)(a^2 + ac + c^2)$.

а) Чтобы выполнить умножение многочлена $(x + 1)$ на многочлен $(x^2 - x + 1)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные произведения.

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x \cdot (x^2 - x + 1) + 1 \cdot (x^2 - x + 1)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-x) + 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-x^2$ и $x^2$, а также $x$ и $-x$ являются противоположными и в сумме дают ноль:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (x - x) + 1 = x^3 + 0 + 0 + 1 = x^3 + 1$

Данное выражение также является формулой сокращенного умножения, известной как "сумма кубов": $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=1$.

Ответ: $x^3 + 1$.

б) Умножим многочлен $(a - c)$ на многочлен $(a^2 + ac + c^2)$ по тому же правилу.

$(a - c)(a^2 + ac + c^2) = a \cdot (a^2 + ac + c^2) - c \cdot (a^2 + ac + c^2)$

Раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ac + a \cdot c^2 - c \cdot a^2 - c \cdot ac - c \cdot c^2 = a^3 + a^2c + ac^2 - a^2c - ac^2 - c^3$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $a^2c$ и $-a^2c$, а также $ac^2$ и $-ac^2$ взаимно уничтожаются:

$a^3 + (a^2c - a^2c) + (ac^2 - ac^2) - c^3 = a^3 + 0 + 0 - c^3 = a^3 - c^3$

Это выражение является формулой сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. В нашем случае переменные совпадают с формулой.

Ответ: $a^3 - c^3$.

7.62 Выполните умножение, используя формулу суммы кубов или разности кубов:

а) $(m - 1)(m^2 + m + 1);$

б) $(x + y)(x^2 - xy + y^2);$

в) $(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2);$

г) $(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4).$

а) Для умножения $(m - 1)(m^2 + m + 1)$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении $a = m$ и $b = 1$. Второй множитель, $(m^2 + m + 1)$, является неполным квадратом суммы $m$ и $1$, так как $a^2 = m^2$, $ab = m \cdot 1 = m$ и $b^2 = 1^2 = 1$. Таким образом, произведение равно разности кубов: $m^3 - 1^3 = m^3 - 1$.
Ответ: $m^3 - 1$.

б) Выражение $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ является произведением суммы двух членов на неполный квадрат их разности. Это соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Здесь $a = x$ и $b = y$. Применяя формулу, получаем: $x^3 + y^3$.
Ответ: $x^3 + y^3$.

в) В выражении $(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2)$ применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$. Определим $A=2a$ и $B=2b$. Проверим второй множитель: $A^2 = (2a)^2 = 4a^2$, $A \cdot B = (2a)(2b) = 4ab$ и $B^2 = (2b)^2 = 4b^2$. Все компоненты соответствуют формуле. Следовательно, результат равен сумме кубов $A$ и $B$: $(2a)^3 + (2b)^3 = 8a^3 + 8b^3$.
Ответ: $8a^3 + 8b^3$.

г) Для умножения $(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4)$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В этом случае $a = 2$ и $b = y^2$. Проверим, соответствует ли второй множитель неполному квадрату суммы $a$ и $b$: $a^2 = 2^2 = 4$, $ab = 2 \cdot y^2 = 2y^2$ и $b^2 = (y^2)^2 = y^4$. Все члены совпадают. Таким образом, произведение равно разности кубов: $2^3 - (y^2)^3 = 8 - y^6$.
Ответ: $8 - y^6$.

Разложите на множители (7.63–7.64).

7.63 a) $x^3 + y^3$;

б) $x^3 + 1$;

в) $m^3 + 27$;

г) $8 + c^3$;

д) $y^3 + \frac{1}{8}$;

е) $\frac{8}{27} + z^3$.

Для разложения на множители выражений, представляющих собой сумму кубов, используется следующая формула сокращенного умножения:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Применим эту формулу к каждому из данных выражений.

а) $x^3 + y^3$

В данном случае выражение уже представлено в виде суммы кубов. Здесь $a = x$ и $b = y$. Применяем формулу:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

б) $x^3 + 1$

Представим число 1 как куб единицы: $1 = 1^3$. Тогда выражение примет вид $x^3 + 1^3$. Здесь $a = x$ и $b = 1$.

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

в) $m^3 + 27$

Представим число 27 как куб тройки: $27 = 3^3$. Тогда выражение примет вид $m^3 + 3^3$. Здесь $a = m$ и $b = 3$.

$m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$

Ответ: $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$

г) $8 + c^3$

Представим число 8 как куб двойки: $8 = 2^3$. Тогда выражение примет вид $2^3 + c^3$. Здесь $a = 2$ и $b = c$.

$2^3 + c^3 = (2 + c)(2^2 - 2 \cdot c + c^2) = (2 + c)(4 - 2c + c^2)$

Ответ: $(2 + c)(4 - 2c + c^2)$

д) $y^3 + \frac{1}{8}$

Представим дробь $\frac{1}{8}$ как куб числа $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$. Тогда выражение примет вид $y^3 + (\frac{1}{2})^3$. Здесь $a = y$ и $b = \frac{1}{2}$.

$y^3 + (\frac{1}{2})^3 = (y + \frac{1}{2})(y^2 - y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = (y + \frac{1}{2})(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4})$

Ответ: $(y + \frac{1}{2})(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4})$

е) $\frac{8}{27} + z^3$

Представим дробь $\frac{8}{27}$ как куб числа $\frac{2}{3}$: $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$. Тогда выражение примет вид $(\frac{2}{3})^3 + z^3$. Здесь $a = \frac{2}{3}$ и $b = z$.

$(\frac{2}{3})^3 + z^3 = (\frac{2}{3} + z)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot z + z^2) = (\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$

Ответ: $(\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$

7.64 а) $p^3 - q^3$;

В) $1 - x^3$;

Д) $b^3 - \frac{1}{125}$;

б) $a^3 - 8$;

Г) $-x^3 + y^3$;

е) $\frac{1}{27} - t^3$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $p^3 - q^3$, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $a = p$ и $b = q$.
Применяем формулу:
$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + p \cdot q + q^2) = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.
Ответ: $(p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $a^3 - 8$, сначала представим число $8$ в виде куба: $8 = 2^3$.
Теперь выражение имеет вид $a^3 - 2^3$.
Это разность кубов, где $a = a$ и $b = 2$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $1 - x^3$, представим число $1$ в виде куба: $1 = 1^3$.
Выражение принимает вид $1^3 - x^3$.
Это разность кубов, где $a = 1$ и $b = x$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

г) Исходное выражение: $-x^3 + y^3$.
Для удобства поменяем слагаемые местами: $y^3 - x^3$.
Это разность кубов, где $a = y$ и $b = x$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + y \cdot x + x^2) = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$.
Ответ: $(y - x)(y^2 + yx + x^2)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $b^3 - \frac{1}{125}$, представим дробь $\frac{1}{125}$ в виде куба. Так как $125 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3$.
Выражение принимает вид $b^3 - (\frac{1}{5})^3$.
Это разность кубов, где $a = b$ и $b = \frac{1}{5}$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$b^3 - (\frac{1}{5})^3 = (b - \frac{1}{5})(b^2 + b \cdot \frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^2) = (b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.
Ответ: $(b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.

е) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{27} - t^3$, представим дробь $\frac{1}{27}$ в виде куба. Так как $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.
Выражение принимает вид $(\frac{1}{3})^3 - t^3$.
Это разность кубов, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = t$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$(\frac{1}{3})^3 - t^3 = (\frac{1}{3} - t)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot t + t^2) = (\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.

7.65 Примените для разложения на множители, если это возможно, формулу суммы или разности кубов:

a) $8x^3 + y^3$;

б) $9a^3 + b^3$;

в) $1 - 27a^3$;

г) $8m^3 - 64n^3$;

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$;

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$.

Для решения задачи используются формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

а) $8x^3 + y^3$

Данное выражение является суммой кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба: $8x^3 = (2x)^3$ и $y^3 = (y)^3$.

В формуле суммы кубов примем $a = 2x$ и $b = y$.

Применим формулу:

$8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)(y) + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

Ответ: $(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

б) $9a^3 + b^3$

Для применения формулы суммы кубов необходимо, чтобы оба слагаемых являлись кубами некоторых выражений. Слагаемое $b^3$ является кубом от $b$. Однако слагаемое $9a^3$ не является полным кубом, поскольку коэффициент 9 не является кубом рационального числа ($2^3=8$, $3^3=27$).

Таким образом, применить формулу суммы кубов для данного выражения невозможно.

Ответ: Разложить на множители с помощью формулы суммы кубов невозможно.

в) $1 - 27a^3$

Данное выражение является разностью кубов. Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов: $1 = 1^3$ и $27a^3 = (3a)^3$.

В формуле разности кубов примем $a = 1$ и $b = 3a$.

Применим формулу:

$1 - 27a^3 = 1^3 - (3a)^3 = (1 - 3a)(1^2 + (1)(3a) + (3a)^2) = (1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$.

Ответ: $(1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$

г) $8m^3 - 64n^3$

Сначала вынесем за скобки общий множитель 8:

$8m^3 - 64n^3 = 8(m^3 - 8n^3)$.

Теперь выражение в скобках $m^3 - 8n^3$ представляет собой разность кубов. Представим слагаемые в виде кубов: $m^3 = (m)^3$ и $8n^3 = (2n)^3$.

В формуле разности кубов для выражения в скобках примем $a = m$ и $b = 2n$.

$m^3 - 8n^3 = (m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) = (m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Вернем общий множитель 8 и получим окончательный результат:

$8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Ответ: $8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$

Чтобы применить формулу разности кубов, оба члена выражения должны быть кубами. Первое слагаемое $x^6$ можно представить в виде куба: $x^6 = (x^2)^3$. Однако второе слагаемое $\frac{1}{8}z^2$ не является полным кубом, так как степень переменной $z$ равна 2, а 2 не делится нацело на 3.

Следовательно, разложить данное выражение на множители по формуле разности кубов невозможно.

Ответ: Разложить на множители с помощью формулы разности кубов невозможно.

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$

Данное выражение является суммой кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба: $\frac{1}{8}t^3 = (\frac{1}{2}t)^3$ и $8s^3 = (2s)^3$.

В формуле суммы кубов примем $a = \frac{1}{2}t$ и $b = 2s$.

Применим формулу:

$\frac{1}{8}t^3 + 8s^3 = (\frac{1}{2}t)^3 + (2s)^3 = (\frac{1}{2}t + 2s)((\frac{1}{2}t)^2 - (\frac{1}{2}t)(2s) + (2s)^2) = (\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$