Страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разложите на множители (7.34–7.35).

7.34 а) $ax - a + bx - b + cx - c;$

б) $ax + bx - ay - by + az + bz;$

в) $ax - bx - x + ay - by - y;$

г) $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c;$

д) $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5;$

е) $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2.$

Подсказка. Можно группировать как по два, так и по три слагаемых.

а) Для разложения на множители выражения $ax - a + bx - b + cx - c$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно таким образом, чтобы в каждой группе был общий множитель:
$(ax - a) + (bx - b) + (cx - c)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$a(x - 1) + b(x - 1) + c(x - 1)$
Как мы видим, теперь у всех трех слагаемых есть общий множитель $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 1)(a + b + c)$
Ответ: $(a + b + c)(x - 1)$

б) В выражении $ax + bx - ay - by + az + bz$ также используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно:
$(ax + bx) - (ay + by) + (az + bz)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)$
Общим множителем для всех трех получившихся слагаемых является $(a + b)$. Вынесем его за скобки:
$(a + b)(x - y + z)$
Ответ: $(a + b)(x - y + z)$

в) Рассмотрим выражение $ax - bx - x + ay - by - y$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(ax + ay) - (bx + by) - (x + y)$
Вынесем общие множители из первых двух групп:
$a(x + y) - b(x + y) - 1(x + y)$
Теперь общим множителем является $(x + y)$. Вынесем его за скобки:
$(x + y)(a - b - 1)$
Ответ: $(x + y)(a - b - 1)$

г) Для выражения $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c$ сгруппируем слагаемые по три. Объединим слагаемые, содержащие $2a$, и остальные:
$(2a^2 + 2ab - 2ac) + (-a - b + c)$
Вынесем общий множитель из каждой группы: $2a$ из первой и $-1$ из второй.
$2a(a + b - c) - 1(a + b - c)$
Общий множитель $(a + b - c)$ выносим за скобки:
$(a + b - c)(2a - 1)$
Ответ: $(2a - 1)(a + b - c)$

д) В выражении $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5$ сгруппируем слагаемые попарно:
$(a^5 - a^4b) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a^4(a - b) + a^2b^2(a - b) + b^4(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$
Выражение в скобках $(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ можно разложить дальше. Дополним его до полного квадрата, прибавив и отняв $a^2b^2$:
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:
$(a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)$
Окончательный результат:
$(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$
Ответ: $(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

е) В выражении $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2$ для разложения на множители необходимо правильно сгруппировать слагаемые. Переставим их и сгруппируем по три:
$(px^2 + qx) + (pqxy + q^2y) + (p^2qx + pq^2)$
Теперь вынесем общие множители из каждой скобки:
$x(px + q) + qy(px + q) + pq(px + q)$
Общим множителем для всех трех слагаемых является $(px + q)$. Вынесем его за скобки:
$(px + q)(x + qy + pq)$
Ответ: $(px + q)(x + qy + pq)$

7.35 a) $xy(x - y) - xz(y - z) - xz(x - y) + yz(y - z);$

б) $(a - x)(x - y)(y + x + a) - (y - x)(x - a)(y - x - a).$

а) $xy(x - y) - xz(y - z) - xz(x - y) + yz(y - z)$

Для решения сгруппируем слагаемые. Первое слагаемое сгруппируем с третьим, а второе с четвертым, так как у них есть общие множители в скобках.

$(xy(x - y) - xz(x - y)) + (yz(y - z) - xz(y - z))$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$, а во второй — $(y - z)$:

$(xy - xz)(x - y) + (yz - xz)(y - z)$

Теперь из первой скобки $(xy - xz)$ вынесем общий множитель $x$, а из второй $(yz - xz)$ вынесем общий множитель $z$:

$x(y - z)(x - y) + z(y - x)(y - z)$

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$. Подставим это в выражение:

$x(y - z)(x - y) - z(x - y)(y - z)$

Теперь у нас есть общий множитель $(x - y)(y - z)$, который мы можем вынести за скобки:

$(x - y)(y - z)(x - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$

б) $(a - x)(x - y)(y + x + a) - (y - x)(x - a)(y - x - a)$

Преобразуем множители во втором слагаемом, чтобы они совпали с множителями в первом. Используем тождества $(y - x) = -(x - y)$ и $(x - a) = -(a - x)$.

Второе слагаемое: $-(y - x)(x - a)(y - x - a) = -(-(x - y))(-(a - x))(y - x - a) = - (1) \cdot (x - y)(a - x)(y - x - a)$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$(a - x)(x - y)(y + x + a) - (a - x)(x - y)(y - x - a)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a - x)(x - y)$ за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot [(y + x + a) - (y - x - a)]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot (y + x + a - y + x + a)$

Приведем подобные слагаемые в последней скобке:

$(a - x)(x - y) \cdot (2x + 2a)$

Вынесем множитель 2 за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot 2(x + a)$

Перегруппируем множители и применим формулу разности квадратов $(a - x)(a + x) = a^2 - x^2$:

$2(a - x)(a + x)(x - y) = 2(a^2 - x^2)(x - y)$

Ответ: $2(a^2 - x^2)(x - y)$

7.36 Разложите на множители трёхчлен:

а) $a^2 + 5ab + 4b^2$;

в) $b^2 + 5b + 6$;

б) $c^2 - 4cb + 3b^2$;

г) $c^2 - 7c + 12$.

Образец. Разложим на множители многочлен

$2x^2 + 5xy + 2y^2$.

Чтобы применить группировку, разобьём слагаемое $5xy$ на два одночлена: $xy$ и $4xy$. Получим

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = 2x^2 + xy + 4xy + 2y^2 = x(2x + y) + 2y(2x + y) = (2x + y)(x + 2y)$.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $a^2 + 5ab + 4b^2$, воспользуемся методом группировки, который показан в образце. Для этого представим средний член $5ab$ в виде суммы двух слагаемых. Нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $ab$, то есть 5, а произведение равно произведению коэффициентов при $a^2$ и $b^2$, то есть $1 \cdot 4 = 4$. Такими числами являются 1 и 4.
Разобьём $5ab$ на $ab$ и $4ab$:
$a^2 + 5ab + 4b^2 = a^2 + ab + 4ab + 4b^2$
Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^2 + ab) + (4ab + 4b^2) = a(a+b) + 4b(a+b)$
Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:
$(a+b)(a+4b)$
Ответ: $(a+b)(a+4b)$

б) Разложим на множители трёхчлен $c^2 - 4cb + 3b^2$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно $1 \cdot 3 = 3$. Эти числа -1 и -3.
Представим средний член $-4cb$ в виде суммы $-cb$ и $-3cb$:
$c^2 - 4cb + 3b^2 = c^2 - cb - 3cb + 3b^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(c^2 - cb) + (-3cb + 3b^2) = c(c-b) - 3b(c-b)$
Вынесем общий множитель $(c-b)$:
$(c-b)(c-3b)$
Ответ: $(c-b)(c-3b)$

в) Разложим на множители трёхчлен $b^2 + 5b + 6$. В данном случае это приведённый квадратный трёхчлен. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3.
Представим средний член $5b$ как сумму $2b$ и $3b$:
$b^2 + 5b + 6 = b^2 + 2b + 3b + 6$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(b^2 + 2b) + (3b + 6) = b(b+2) + 3(b+2)$
Вынесем общий множитель $(b+2)$:
$(b+2)(b+3)$
Ответ: $(b+2)(b+3)$

г) Разложим на множители трёхчлен $c^2 - 7c + 12$. Ищем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 12. Этими числами являются -3 и -4.
Представим средний член $-7c$ как сумму $-3c$ и $-4c$:
$c^2 - 7c + 12 = c^2 - 3c - 4c + 12$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(c^2 - 3c) + (-4c + 12) = c(c-3) - 4(c-3)$
Вынесем общий множитель $(c-3)$:
$(c-3)(c-4)$
Ответ: $(c-3)(c-4)$