Страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разложите на множители (7.10–7.11).

7.10 a) $nm^2 + mn + n^2;$

б) $-m^3 - m^2n - mn^2;$

в) $ax^2 + a^2x - ax;$

г) $3x^3 - 2x^2 - x;$

д) $3n^6 + 6n^5 - 12n^4;$

е) $-6m^4 - 4m^5 - 2m^6.$

а) $nm^2 + mn + n^2$

Для разложения на множители данного выражения необходимо найти общий множитель для всех его членов. Мы видим, что каждый член многочлена содержит переменную $n$. Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$nm^2 + mn + n^2 = n \cdot m^2 + n \cdot m + n \cdot n = n(m^2 + m + n)$

Выражение в скобках $m^2 + m + n$ не раскладывается на более простые множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $n(m^2 + m + n)$

б) $-m^3 - m^2n - mn^2$

Все члены многочлена имеют общий множитель. Коэффициенты -1, -1, -1 и переменная $m$ в первой степени являются общими для всех членов. Вынесем за скобки $-m$.

$-m^3 - m^2n - mn^2 = -m(m^2 + mn + n^2)$

Выражение в скобках $m^2 + mn + n^2$ является неполным квадратом суммы и на множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Ответ: $-m(m^2 + mn + n^2)$

в) $ax^2 + a^2x - ax$

Найдем общий множитель для всех слагаемых. Каждое слагаемое содержит переменные $a$ и $x$. Наименьшая степень $a$ равна 1, наименьшая степень $x$ также равна 1. Следовательно, общий множитель — $ax$. Вынесем его за скобки.

$ax^2 + a^2x - ax = ax(x + a - 1)$

Ответ: $ax(x + a - 1)$

г) $3x^3 - 2x^2 - x$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$3x^3 - 2x^2 - x = x(3x^2 - 2x - 1)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $3x^2 - 2x - 1$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{6} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3x^2 - 2x - 1 = 3(x-1)(x-(-\frac{1}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$x(x-1)(3x+1)$

Ответ: $x(x-1)(3x+1)$

д) $3n^6 + 6n^5 - 12n^4$

Найдем наибольший общий делитель для всех членов многочлена. Наибольший общий делитель коэффициентов 3, 6 и -12 равен 3. Наименьшая степень переменной $n$ равна 4, поэтому общим множителем для степеней будет $n^4$. Выносим за скобки $3n^4$.

$3n^6 + 6n^5 - 12n^4 = 3n^4(n^2 + 2n - 4)$

Проверим, можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами квадратный трехчлен $n^2 + 2n - 4$. Найдем дискриминант уравнения $n^2 + 2n - 4 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.

Поскольку дискриминант $D=20$ не является полным квадратом, корни уравнения иррациональны, и трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $3n^4(n^2 + 2n - 4)$

е) $-6m^4 - 4m^5 - 2m^6$

Перепишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $m$:

$-2m^6 - 4m^5 - 6m^4$

Найдем общий множитель. Для коэффициентов -2, -4, -6 общим делителем является -2. Для переменных $m^6, m^5, m^4$ общим множителем является $m^4$. Вынесем за скобки $-2m^4$.

$-2m^6 - 4m^5 - 6m^4 = -2m^4(m^2 + 2m + 3)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $m^2 + 2m + 3$. Найдем дискриминант уравнения $m^2 + 2m + 3 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у трехчлена нет действительных корней, и он не может быть разложен на множители над полем действительных чисел.

Ответ: $-2m^4(m^2 + 2m + 3)$

7.11 a) $10xy^2 - 35x^3y^3;$

Б) $9a^6b^3 + 12a^3b^4;$

В) $24m^2n^5 - 16m^2n^3;$

Г) $7b^3c^3 + 14b^4c^2.$

а)

Чтобы разложить на множители выражение $10xy^2 - 35x^3y^3$, необходимо найти общий множитель для каждого члена выражения и вынести его за скобки. Этот процесс называется вынесением общего множителя за скобки.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 10 и 35.
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
НОД(10, 35) = 5.

2. Найдем общий множитель для переменных. Для этого для каждой переменной, входящей во все члены многочлена, берем ее в наименьшей степени, в которой она встречается.
Для переменной $x$ имеем степени $x^1$ и $x^3$. Наименьшая степень – 1, поэтому общий множитель для $x$ это $x^1$ или просто $x$.
Для переменной $y$ имеем степени $y^2$ и $y^3$. Наименьшая степень – 2, поэтому общий множитель для $y$ это $y^2$.

3. Общий множитель для всего выражения равен произведению НОД коэффициентов и общих множителей переменных: $5 \cdot x \cdot y^2 = 5xy^2$.

4. Вынесем общий множитель $5xy^2$ за скобки. Для этого каждый член исходного выражения разделим на этот множитель:
Первый член: $10xy^2 : (5xy^2) = \frac{10}{5} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y^2}{y^2} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$.
Второй член: $-35x^3y^3 : (5xy^2) = -\frac{35}{5} \cdot \frac{x^3}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} = -7x^{3-1}y^{3-2} = -7x^2y$.

Записываем общий множитель и в скобках результат деления: $10xy^2 - 35x^3y^3 = 5xy^2(2 - 7x^2y)$.
Ответ: $5xy^2(2 - 7x^2y)$

б)

Разложим на множители выражение $9a^6b^3 + 12a^3b^4$.

1. Найдем НОД для коэффициентов 9 и 12.
НОД(9, 12) = 3.

2. Найдем общие множители для переменных.
Для переменной $a$ имеем $a^6$ и $a^3$. Выносим множитель с наименьшей степенью: $a^3$.
Для переменной $b$ имеем $b^3$ и $b^4$. Выносим множитель с наименьшей степенью: $b^3$.

3. Общий множитель всего выражения: $3a^3b^3$.

4. Вынесем $3a^3b^3$ за скобки, разделив каждый член на него:
$9a^6b^3 : (3a^3b^3) = 3a^{6-3}b^{3-3} = 3a^3b^0 = 3a^3$.
$12a^3b^4 : (3a^3b^3) = 4a^{3-3}b^{4-3} = 4a^0b^1 = 4b$.

Записываем результат: $9a^6b^3 + 12a^3b^4 = 3a^3b^3(3a^3 + 4b)$.
Ответ: $3a^3b^3(3a^3 + 4b)$

в)

Разложим на множители выражение $24m^2n^5 - 16m^2n^3$.

1. Найдем НОД для коэффициентов 24 и 16.
НОД(24, 16) = 8.

2. Найдем общие множители для переменных.
Для переменной $m$ имеем $m^2$ в обоих членах, поэтому выносим $m^2$.
Для переменной $n$ имеем $n^5$ и $n^3$. Выносим множитель с наименьшей степенью: $n^3$.

3. Общий множитель всего выражения: $8m^2n^3$.

4. Вынесем $8m^2n^3$ за скобки:
$24m^2n^5 : (8m^2n^3) = 3m^{2-2}n^{5-3} = 3m^0n^2 = 3n^2$.
$-16m^2n^3 : (8m^2n^3) = -2m^{2-2}n^{3-3} = -2m^0n^0 = -2$.

Записываем результат: $24m^2n^5 - 16m^2n^3 = 8m^2n^3(3n^2 - 2)$.
Ответ: $8m^2n^3(3n^2 - 2)$

г)

Разложим на множители выражение $7b^3c^3 + 14b^4c^2$.

1. Найдем НОД для коэффициентов 7 и 14.
НОД(7, 14) = 7.

2. Найдем общие множители для переменных.
Для переменной $b$ имеем $b^3$ и $b^4$. Выносим $b^3$.
Для переменной $c$ имеем $c^3$ и $c^2$. Выносим $c^2$.

3. Общий множитель всего выражения: $7b^3c^2$.

4. Вынесем $7b^3c^2$ за скобки:
$7b^3c^3 : (7b^3c^2) = b^{3-3}c^{3-2} = b^0c^1 = c$.
$14b^4c^2 : (7b^3c^2) = 2b^{4-3}c^{2-2} = 2b^1c^0 = 2b$.

Записываем результат: $7b^3c^3 + 14b^4c^2 = 7b^3c^2(c + 2b)$.
Ответ: $7b^3c^2(c + 2b)$

Сократите дробь (7.12–7.13).

7.12 a) $ \frac{6a + 6b}{9a} $;

б) $ \frac{8y}{4x - 4y} $;

в) $ \frac{ab - ad}{abd} $;

г) $ \frac{xyz}{xz - yz} $;

д) $ \frac{ax - ay}{ax + ay} $;

е) $ \frac{3cd + 3d}{6cd - 3d} $;

ж) $ \frac{axy + ax}{ax + axz} $;

з) $ \frac{ad + acd}{abd - acd} $.

а) Чтобы сократить дробь, нужно найти общие множители в числителе и знаменателе. В числителе $6a + 6b$ вынесем общий множитель 6 за скобки. В знаменателе $9a$ множители 9 и $a$.

$\frac{6a + 6b}{9a} = \frac{6(a+b)}{9a}$

Теперь сократим числовые коэффициенты 6 и 9 на их наибольший общий делитель, который равен 3.

$\frac{6(a+b)}{9a} = \frac{2 \cdot 3 \cdot (a+b)}{3 \cdot 3 \cdot a} = \frac{2(a+b)}{3a}$

Ответ: $\frac{2(a+b)}{3a}$

б) В знаменателе дроби $4x - 4y$ вынесем общий множитель 4 за скобки.

$\frac{8y}{4x - 4y} = \frac{8y}{4(x-y)}$

Сократим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{8y}{4(x-y)} = \frac{2y}{x-y}$

Ответ: $\frac{2y}{x-y}$

в) В числителе дроби $ab - ad$ вынесем общий множитель $a$ за скобки.

$\frac{ab - ad}{abd} = \frac{a(b-d)}{abd}$

Сократим дробь на общий множитель $a$.

$\frac{a(b-d)}{abd} = \frac{b-d}{bd}$

Ответ: $\frac{b-d}{bd}$

г) В знаменателе дроби $xz - yz$ вынесем общий множитель $z$ за скобки.

$\frac{xyz}{xz - yz} = \frac{xyz}{z(x-y)}$

Сократим дробь на общий множитель $z$.

$\frac{xyz}{z(x-y)} = \frac{xy}{x-y}$

Ответ: $\frac{xy}{x-y}$

д) В числителе $ax - ay$ вынесем за скобки $a$. В знаменателе $ax + ay$ также вынесем за скобки $a$.

$\frac{ax - ay}{ax + ay} = \frac{a(x-y)}{a(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $a$.

$\frac{a(x-y)}{a(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

е) В числителе $3cd + 3d$ вынесем за скобки общий множитель $3d$. В знаменателе $6cd - 3d$ вынесем за скобки общий множитель $3d$.

$\frac{3cd + 3d}{6cd - 3d} = \frac{3d(c+1)}{3d(2c-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $3d$.

$\frac{3d(c+1)}{3d(2c-1)} = \frac{c+1}{2c-1}$

Ответ: $\frac{c+1}{2c-1}$

ж) В числителе $axy + ax$ вынесем за скобки общий множитель $ax$. В знаменателе $ax + axz$ также вынесем за скобки $ax$.

$\frac{axy + ax}{ax + axz} = \frac{ax(y+1)}{ax(1+z)}$

Сократим дробь на общий множитель $ax$.

$\frac{ax(y+1)}{ax(1+z)} = \frac{y+1}{1+z}$

Ответ: $\frac{y+1}{1+z}$

з) В числителе $ad + acd$ вынесем за скобки общий множитель $ad$. В знаменателе $abd - acd$ также вынесем за скобки общий множитель $ad$.

$\frac{ad + acd}{abd - acd} = \frac{ad(1+c)}{ad(b-c)}$

Сократим дробь на общий множитель $ad$.

$\frac{ad(1+c)}{ad(b-c)} = \frac{1+c}{b-c}$

Ответ: $\frac{1+c}{b-c}$

7.13 а) $\frac{ay - az}{by - bz}$;

В) $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2}$;

Д) $\frac{2c - 8cx}{3a - 12ax}$;

Ж) $\frac{x^2 + xy}{x^2 + 2xy + y^2}$;

Б) $\frac{3 + 6c}{2 + 4c}$;

Г) $\frac{ax + 2x}{ay + 2y}$;

е) $\frac{an + n^2}{an + a^2}$;

З) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{3a - 3b}$.

a) Чтобы сократить дробь $\frac{ay - az}{by - bz}$, необходимо вынести общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель - это $a$, а в знаменателе - $b$.
$\frac{ay - az}{by - bz} = \frac{a(y - z)}{b(y - z)}$
Теперь можно сократить общий множитель $(y - z)$ в числителе и знаменателе.
Ответ: $\frac{a}{b}$

б) В дроби $\frac{3 + 6c}{2 + 4c}$ вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $3$, а в знаменателе $2$.
$\frac{3 + 6c}{2 + 4c} = \frac{3(1 + 2c)}{2(1 + 2c)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(1 + 2c)$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

в) Для сокращения дроби $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2}$ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $a$, а в знаменателе $b$.
$\frac{a^2 - ab}{ab - b^2} = \frac{a(a - b)}{b(a - b)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a - b)$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

г) В дроби $\frac{ax + 2x}{ay + 2y}$ вынесем общий множитель $x$ в числителе и $y$ в знаменателе.
$\frac{ax + 2x}{ay + 2y} = \frac{x(a + 2)}{y(a + 2)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a + 2)$.
Ответ: $\frac{x}{y}$

д) В дроби $\frac{2c - 8cx}{3a - 12ax}$ вынесем общий множитель $2c$ в числителе и $3a$ в знаменателе.
$\frac{2c - 8cx}{3a - 12ax} = \frac{2c(1 - 4x)}{3a(1 - 4x)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(1 - 4x)$.
Ответ: $\frac{2c}{3a}$

е) В дроби $\frac{an + n^2}{an + a^2}$ вынесем общий множитель $n$ в числителе и $a$ в знаменателе.
$\frac{an + n^2}{an + a^2} = \frac{n(a + n)}{a(n + a)}$
Так как $a+n = n+a$, сокращаем дробь на этот общий множитель.
Ответ: $\frac{n}{a}$

ж) В дроби $\frac{x^2 + xy}{x^2 + 2xy + y^2}$ разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем $x$ за скобки. Знаменатель является формулой квадрата суммы $(x+y)^2$.
$\frac{x^2 + xy}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{x(x + y)}{(x + y)(x + y)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(x + y)$.
Ответ: $\frac{x}{x + y}$

з) В дроби $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{3a - 3b}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель является формулой квадрата разности $(a-b)^2$. В знаменателе вынесем за скобки множитель $3$.
$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{3a - 3b} = \frac{(a - b)^2}{3(a - b)} = \frac{(a - b)(a - b)}{3(a - b)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a - b)$.
Ответ: $\frac{a - b}{3}$

7.14 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $ \frac{2^{12} - 2^9}{7 \cdot 2^8} $;

б) $ \frac{2 \cdot 5^{10} - 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}} $;

В) $ \frac{3^{12} + 3^{10}}{3^8} $;

Г) $ \frac{5^8 + 5^6}{2 \cdot 5^7} $.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2^{12} - 2^9}{7 \cdot 2^8}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^9$:

$\frac{2^{12} - 2^9}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9 \cdot (2^{12-9} - 1)}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9 \cdot (2^3 - 1)}{7 \cdot 2^8}$

Вычислим значение в скобках: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Подставим полученное значение обратно в дробь и сократим:

$\frac{2^9 \cdot 7}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9}{2^8}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$\frac{2^9}{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2$

Ответ: $2$.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2 \cdot 5^{10} - 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель $5^{10}$:

$\frac{2 \cdot 5^{10} - 5^{10} \cdot 5^1}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{5^{10} \cdot (2 - 5)}{6 \cdot 5^{11}}$

Вычислим значение в скобках: $2 - 5 = -3$.

Подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{5^{10} \cdot (-3)}{6 \cdot 5^{11}} = -\frac{3 \cdot 5^{10}}{6 \cdot 5^{11}}$

Сократим дробь. Числовую часть $\frac{3}{6}$ сократим на 3, получим $\frac{1}{2}$. Степенную часть $\frac{5^{10}}{5^{11}}$ сократим на $5^{10}$, получим $\frac{1}{5}$:

$-\frac{3}{6} \cdot \frac{5^{10}}{5^{11}} = -\frac{1}{2} \cdot 5^{10-11} = -\frac{1}{2} \cdot 5^{-1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{10}$

Ответ: $-\frac{1}{10}$.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{3^{12} + 3^{10}}{3^8}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{10}$:

$\frac{3^{10} \cdot (3^{12-10} + 1)}{3^8} = \frac{3^{10} \cdot (3^2 + 1)}{3^8}$

Вычислим значение в скобках: $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.

Подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{3^{10} \cdot 10}{3^8}$

Сократим степенную часть дроби $\frac{3^{10}}{3^8}$ по свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{10-8} \cdot 10 = 3^2 \cdot 10 = 9 \cdot 10 = 90$

Ответ: $90$.

г)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5^8 + 5^6}{2 \cdot 5^7}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^6$:

$\frac{5^6 \cdot (5^{8-6} + 1)}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6 \cdot (5^2 + 1)}{2 \cdot 5^7}$

Вычислим значение в скобках: $5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{5^6 \cdot 26}{2 \cdot 5^7}$

Сократим дробь. Числовую часть $\frac{26}{2}$ сократим на 2, получим 13. Степенную часть $\frac{5^6}{5^7}$ сократим на $5^6$, получим $\frac{1}{5}$:

$\frac{26}{2} \cdot \frac{5^6}{5^7} = 13 \cdot 5^{6-7} = 13 \cdot 5^{-1} = 13 \cdot \frac{1}{5} = \frac{13}{5}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{13}{5} = 2,6$.

Ответ: $\frac{13}{5}$.

7.15 Вынесите общий множитель за скобки:

а) $2a^2b^2 - 6ab^2 + 2a^2b;$

б) $3a^3m + 9a^2m - 6am^2;$

в) $12xy^2z^2 - 8x^2yz^2 - 2x^2y^2z;$

г) $-4a^4b^2c - 8a^4b^3c - 16a^3b^2c.$

а) $2a^2b^2 - 6ab^2 + 2a^2b$

Для того чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель для всех членов многочлена.
1. Находим наибольший общий делитель для числовых коэффициентов 2, 6 и 2. НОД(2, 6, 2) = 2.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной a наименьшая степень в выражении – первая ($a^1$), для переменной b – также первая ($b^1$).
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2ab$.
Разделим каждый член многочлена на $2ab$:
$\frac{2a^2b^2}{2ab} = ab$
$\frac{-6ab^2}{2ab} = -3b$
$\frac{2a^2b}{2ab} = a$
В результате получаем: $2ab(ab - 3b + a)$.

Ответ: $2ab(ab - 3b + a)$

б) $3a^3m + 9a^2m - 6am^2$

1. Находим наибольший общий делитель для числовых коэффициентов 3, 9 и 6. НОД(3, 9, 6) = 3.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной a наименьшая степень – первая ($a^1$), для переменной m – также первая ($m^1$).
Общий множитель для вынесения за скобки: $3am$.
Разделим каждый член многочлена на $3am$:
$\frac{3a^3m}{3am} = a^2$
$\frac{9a^2m}{3am} = 3a$
$\frac{-6am^2}{3am} = -2m$
В результате получаем: $3am(a^2 + 3a - 2m)$.

Ответ: $3am(a^2 + 3a - 2m)$

в) $12xy^2z^2 - 8x^2yz^2 - 2x^2y^2z$

1. Находим наибольший общий делитель для числовых коэффициентов 12, 8 и 2. НОД(12, 8, 2) = 2.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной x наименьшая степень – первая ($x^1$), для y – первая ($y^1$), для z – первая ($z^1$).
Общий множитель для вынесения за скобки: $2xyz$.
Разделим каждый член многочлена на $2xyz$:
$\frac{12xy^2z^2}{2xyz} = 6yz$
$\frac{-8x^2yz^2}{2xyz} = -4xz$
$\frac{-2x^2y^2z}{2xyz} = -xy$
В результате получаем: $2xyz(6yz - 4xz - xy)$.

Ответ: $2xyz(6yz - 4xz - xy)$

г) $-4a^4b^2c - 8a^4b^3c - 16a^3b^2c$

1. Находим наибольший общий делитель для модулей числовых коэффициентов 4, 8 и 16. НОД(4, 8, 16) = 4. Поскольку все члены отрицательны, удобно вынести за скобку -4.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной a наименьшая степень – третья ($a^3$), для b – вторая ($b^2$), для c – первая ($c^1$).
Общий множитель для вынесения за скобки: $-4a^3b^2c$.
Разделим каждый член многочлена на $-4a^3b^2c$:
$\frac{-4a^4b^2c}{-4a^3b^2c} = a$
$\frac{-8a^4b^3c}{-4a^3b^2c} = 2ab$
$\frac{-16a^3b^2c}{-4a^3b^2c} = 4$
В результате получаем: $-4a^3b^2c(a + 2ab + 4)$.

Ответ: $-4a^3b^2c(a + 2ab + 4)$

7.16 Вычислите, применяя вынесение общего множителя за скобки:

a) $21 \cdot 12 + 21 \cdot 14 + 26 \cdot 79;$

б) $4,3 \cdot 2,8 - 3,8 \cdot 1,2 - 2,8 \cdot 3,1.$

а) $21 \cdot 12 + 21 \cdot 14 + 26 \cdot 79$

Для решения этого примера мы применим распределительный закон умножения, вынося общий множитель за скобки. Сначала сгруппируем первые два слагаемых, так как у них есть общий множитель 21.

$(21 \cdot 12 + 21 \cdot 14) + 26 \cdot 79$

Вынесем 21 за скобки:

$21 \cdot (12 + 14) + 26 \cdot 79$

Теперь вычислим выражение в скобках:

$12 + 14 = 26$

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$21 \cdot 26 + 26 \cdot 79$

Теперь мы видим новый общий множитель — 26. Вынесем его за скобки:

$26 \cdot (21 + 79)$

Снова вычисляем выражение в скобках:

$21 + 79 = 100$

В итоге получаем простое умножение:

$26 \cdot 100 = 2600$

Ответ: 2600

б) $4,3 \cdot 2,8 - 3,8 \cdot 1,2 - 2,8 \cdot 3,1$

В этом выражении мы также будем использовать вынесение общего множителя. Перегруппируем слагаемые, чтобы члены с общим множителем 2,8 стояли рядом:

$4,3 \cdot 2,8 - 2,8 \cdot 3,1 - 3,8 \cdot 1,2$

Вынесем общий множитель 2,8 за скобки из первых двух членов:

$2,8 \cdot (4,3 - 3,1) - 3,8 \cdot 1,2$

Вычислим разность в скобках:

$4,3 - 3,1 = 1,2$

Подставим результат в выражение:

$2,8 \cdot 1,2 - 3,8 \cdot 1,2$

Теперь у нас появился новый общий множитель — 1,2. Вынесем его за скобки:

$1,2 \cdot (2,8 - 3,8)$

Вычислим разность в скобках:

$2,8 - 3,8 = -1$

Выполним финальное умножение:

$1,2 \cdot (-1) = -1,2$

Ответ: -1,2

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (7.17–7.18)

7.17 Найдите значение выражения:

a) $\frac{5 \cdot 4^{27} - 21 \cdot 4^{26}}{2^{50}}$;

б) $\frac{3^{51} - 4 \cdot 3^{50}}{9^{26}}$.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{5 \cdot 4^{27} - 21 \cdot 4^{26}}{2^{50}}$.
Для упрощения числителя вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $4^{26}$. Для этого представим $4^{27}$ как $4^{26} \cdot 4^1$.
$5 \cdot 4^{27} - 21 \cdot 4^{26} = 5 \cdot (4^{26} \cdot 4) - 21 \cdot 4^{26}$
Выносим $4^{26}$ за скобки:
$4^{26} \cdot (5 \cdot 4 - 21) = 4^{26} \cdot (20 - 21) = 4^{26} \cdot (-1) = -4^{26}$.
Теперь преобразуем числитель и знаменатель к одному основанию. Так как $4 = 2^2$, мы можем записать:
Числитель: $-4^{26} = -(2^2)^{26} = -2^{2 \cdot 26} = -2^{52}$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{-2^{52}}{2^{50}}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$-2^{52-50} = -2^2 = -4$.
Ответ: -4

б)

Рассмотрим выражение $\frac{3^{51} - 4 \cdot 3^{50}}{9^{26}}$.
Сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $3^{50}$. Для этого представим $3^{51}$ как $3^{50} \cdot 3^1$.
$3^{51} - 4 \cdot 3^{50} = (3^{50} \cdot 3) - 4 \cdot 3^{50}$
Выносим $3^{50}$ за скобки:
$3^{50} \cdot (3 - 4) = 3^{50} \cdot (-1) = -3^{50}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Представим основание 9 в виде степени с основанием 3, так как $9 = 3^2$:
$9^{26} = (3^2)^{26} = 3^{2 \cdot 26} = 3^{52}$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{-3^{50}}{3^{52}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$-3^{50-52} = -3^{-2}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$-3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $-\frac{1}{9}$

7.18 Докажите, что значение выражения:

a) $6^5 + 6^4$ делится на 7;

б) $9^4 - 9^3$ делится на 8;

в) $3^4 + 3^5 + 3^6$ делится на 13;

г) $2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ делится на 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^5 + 6^4$ делится на 7, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $6^4$.

$6^5 + 6^4 = 6^4 \cdot 6^1 + 6^4 \cdot 1 = 6^4(6 + 1)$.

Вычислим значение в скобках: $6 + 1 = 7$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $6^4 \cdot 7$. Поскольку один из множителей равен 7, то и все произведение кратно 7, то есть делится на 7 без остатка.

Ответ: значение выражения $6^5 + 6^4$ делится на 7, так как его можно представить в виде произведения $6^4 \cdot 7$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $9^4 - 9^3$ делится на 8, вынесем за скобки общий множитель $9^3$.

$9^4 - 9^3 = 9^3 \cdot 9^1 - 9^3 \cdot 1 = 9^3(9 - 1)$.

Вычислим значение в скобках: $9 - 1 = 8$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $9^3 \cdot 8$. Поскольку один из множителей равен 8, то и все произведение кратно 8.

Ответ: значение выражения $9^4 - 9^3$ делится на 8, так как его можно представить в виде произведения $9^3 \cdot 8$.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $3^4 + 3^5 + 3^6$ делится на 13, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^4$.

$3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^4(1 + 3^1 + 3^2)$.

Вычислим значение выражения в скобках: $1 + 3 + 9 = 13$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $3^4 \cdot 13$. Поскольку один из множителей равен 13, то и все произведение кратно 13.

Ответ: значение выражения $3^4 + 3^5 + 3^6$ делится на 13, так как его можно представить в виде произведения $3^4 \cdot 13$.

г) Чтобы доказать, что значение выражения $2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ делится на 5, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^5$.

$2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 = 2^5(1 + 2^1 + 2^2 + 2^3)$.

Вычислим значение выражения в скобках: $1 + 2 + 4 + 8 = 15$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $2^5 \cdot 15$. Число 15 делится на 5 ($15 = 3 \cdot 5$), поэтому все выражение можно записать как $2^5 \cdot 3 \cdot 5$. Поскольку в произведении есть множитель 5, то и все выражение кратно 5.

Ответ: значение выражения $2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ делится на 5, так как его можно представить в виде произведения $2^5 \cdot 15$, а множитель 15 делится на 5.