Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4. Какая из дробей равна выражению $a^{k-1}$?

1) $\frac{a^k}{a}$

2) $\frac{a^{k-1}}{a}$

3) $\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}}$

4) $\frac{a^k}{a^{k-1}}$

Для того чтобы определить, какая из дробей равна выражению $a^{k-1}$, необходимо упростить каждую из них, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

1) $\frac{a^k}{a}$

Упростим данную дробь, представив знаменатель как $a$ в первой степени ($a = a^1$):

$\frac{a^k}{a^1} = a^{k-1}$

Полученное выражение совпадает с искомым.

Ответ: дробь равна $a^{k-1}$.

2) $\frac{a^{k-1}}{a}$

Упростим дробь, применив то же свойство:

$\frac{a^{k-1}}{a^1} = a^{(k-1)-1} = a^{k-2}$

Полученное выражение не равно $a^{k-1}$.

Ответ: дробь равна $a^{k-2}$.

3) $\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}}$

Выполним упрощение, вычитая показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:

$\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}} = a^{(k+1) - (k-1)} = a^{k+1-k+1} = a^2$

Полученное выражение не равно $a^{k-1}$.

Ответ: дробь равна $a^2$.

4) $\frac{a^k}{a^{k-1}}$

Выполним упрощение аналогичным образом:

$\frac{a^k}{a^{k-1}} = a^{k-(k-1)} = a^{k-k+1} = a^1 = a$

Полученное выражение не равно $a^{k-1}$.

Ответ: дробь равна $a$.

Таким образом, после анализа всех вариантов мы видим, что только первая дробь равна выражению $a^{k-1}$.

Ответ: 1

5 Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки.

А) $a^{10} \cdot a^2$
Б) $(a^{10})^2$
В) $a^{10} : a^2$
Г) $(a \cdot a^{10})^2$

1) $a^5$
2) $a^8$
3) $a^{12}
4) $a^{20}
5) $a^{22}$

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства степеней. Давайте разберем каждое выражение по отдельности.

А) $a^{10} \cdot a^2$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство записывается формулой $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$a^{10} \cdot a^2 = a^{10+2} = a^{12}$

Полученное выражение $a^{12}$ соответствует варианту 3) из нижней строки.

Ответ: 3

Б) $(a^{10})^2$

При возведении степени в степень показатели перемножаются. Это свойство записывается формулой $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$

Полученное выражение $a^{20}$ соответствует варианту 4) из нижней строки.

Ответ: 4

В) $a^{10} : a^2$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Это свойство записывается формулой $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$a^{10} : a^2 = a^{10-2} = a^8$

Полученное выражение $a^8$ соответствует варианту 2) из нижней строки.

Ответ: 2

Г) $(a \cdot a^{10})^2$

Сначала выполним действие в скобках. Учитываем, что $a$ — это $a$ в первой степени, то есть $a^1$. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a \cdot a^{10} = a^1 \cdot a^{10} = a^{1+10} = a^{11}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^{11})^2 = a^{11 \cdot 2} = a^{22}$

Полученное выражение $a^{22}$ соответствует варианту 5) из нижней строки.

Ответ: 5

6 Известно, что $5^5 = 3125$. Найдите $5^6$.

Чтобы найти значение выражения $5^6$, мы можем использовать свойство степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Представим показатель степени 6 как сумму 5 и 1:

$6 = 5 + 1$

Тогда выражение $5^6$ можно записать следующим образом:

$5^6 = 5^{5+1} = 5^5 \cdot 5^1$

Из условия задачи нам известно, что $5^5 = 3125$. Также известно, что любое число в первой степени равно самому себе, то есть $5^1 = 5$.

Теперь подставим известные значения в наше выражение:

$5^6 = 3125 \cdot 5$

Выполним умножение:

$3125 \cdot 5 = 15625$

Таким образом, мы нашли значение $5^6$.

Ответ: 15625

7 Упростите выражение $\frac{a^9 \cdot a^3}{a^{10}}$ и найдите его значение при $a = -\frac{1}{3}$.

Упрощение выражения

Сначала упростим данное выражение $\frac{a^9 \cdot a^3}{a^{10}}$.
Для этого воспользуемся свойствами степеней. В числителе применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^9 \cdot a^3 = a^{9+3} = a^{12}$.

После этого выражение примет вид $\frac{a^{12}}{a^{10}}$.
Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{12}}{a^{10}} = a^{12-10} = a^2$.

Нахождение значения

Теперь, когда выражение упрощено до $a^2$, подставим в него заданное значение $a = -\frac{1}{3}$:
$a^2 = (-\frac{1}{3})^2$.

При возведении дроби в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Квадрат отрицательного числа является положительным:
$(-\frac{1}{3})^2 = \frac{(-1)^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

8 Упростите выражение $(-x)^2(-x)^3(-x^3)^2$.

1) $x^{36}$

2) $-x^{36}$

3) $x^{11}$

4) $-x^{11}$

Для того чтобы упростить выражение $(-x)^2(-x)^3(-x^3)^2$, необходимо применить свойства степеней к каждому из множителей.

Разберем каждый множитель по шагам:

1. Первый множитель: $(-x)^2$.
При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае 2), результат становится положительным. $(-x)^2 = x^2$.

2. Второй множитель: $(-x)^3$.
При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае 3), результат остается отрицательным. $(-x)^3 = -x^3$.

3. Третий множитель: $(-x^3)^2$.
Здесь мы также возводим выражение в четную степень (2), поэтому знак минус перед $x^3$ исчезает. Далее используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. $(-x^3)^2 = (x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Теперь объединим упрощенные множители в одно выражение:

$x^2 \cdot (-x^3) \cdot x^6$

Чтобы перемножить эти одночлены, сначала определим знак результата. Так как у нас один отрицательный множитель ($-x^3$) и два положительных ($x^2$ и $x^6$), итоговое произведение будет отрицательным.

Далее, чтобы перемножить степени с одинаковым основанием $x$, нужно сложить их показатели, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$-(x^2 \cdot x^3 \cdot x^6) = -x^{2+3+6} = -x^{11}$.

Следовательно, результат упрощения исходного выражения — это $-x^{11}$, что соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $-x^{11}$

9 Возведите в куб выражение $-2a^{20}c^{12}x$.

Чтобы возвести одночлен в куб, необходимо каждый его множитель (числовой коэффициент и каждую переменную в своей степени) возвести в эту степень (то есть в третью). Будем использовать следующие свойства степеней:

1. Возведение произведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

2. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Дано выражение $-2a^{20}c^{12}x$. Возведем его в куб:

$(-2a^{20}c^{12}x)^3$

Используя первое свойство, возведем в куб каждый множитель одночлена:

$(-2)^3 \cdot (a^{20})^3 \cdot (c^{12})^3 \cdot (x)^3$

Теперь вычислим значение каждого множителя:

• Возводим в куб числовой коэффициент: $(-2)^3 = -2 \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
• Возводим в куб переменную $a$, используя второе свойство: $(a^{20})^3 = a^{20 \cdot 3} = a^{60}$.
• Возводим в куб переменную $c$: $(c^{12})^3 = c^{12 \cdot 3} = c^{36}$.
• Возводим в куб переменную $x$: $(x)^3 = x^3$ (подразумевается, что $x$ стоит в первой степени, $x^1$).

Теперь объединим все полученные части в один одночлен:

$-8a^{60}c^{36}x^3$

Ответ: $-8a^{60}c^{36}x^3$

10 Выполните действие $(\frac{3x}{y^3})^2$.

1) $\frac{9x^2}{y^6}$

2) $\frac{6x^2}{y^6}$

3) $\frac{3x^2}{y^3}$

4) $\frac{3x^2}{y^6}$

Чтобы выполнить действие $(\frac{3x}{y^3})^2$, необходимо применить правило возведения дроби в степень. Это правило гласит, что для возведения дроби в степень нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Применяем это правило к нашему выражению: $(\frac{3x}{y^3})^2 = \frac{(3x)^2}{(y^3)^2}$.

Теперь разберемся с числителем и знаменателем по отдельности.

В числителе у нас произведение $(3x)$, которое возводится в квадрат. Используем правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$.

В знаменателе у нас степень $(y^3)$, которая возводится в квадрат. Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$.

Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь: $\frac{9x^2}{y^6}$.

Таким образом, результатом выполнения действия является дробь $\frac{9x^2}{y^6}$. Сравнив с предложенными вариантами, видим, что это ответ под номером 1).

Ответ: $\frac{9x^2}{y^6}$

11 Какое из данных выражений можно представить в виде $(a^3b)^2$?

1) $a^6b^2$ 2) $-a^6b^2$ 3) $a^5b^2$ 4) $-a^5b^2$

Чтобы определить, какое из предложенных выражений можно представить в виде $(a^3b)^2$, необходимо упростить это выражение, используя свойства степеней.

Для этого мы воспользуемся двумя основными правилами:

1. Правило возведения произведения в степень: $(xy)^n = x^n y^n$.
2. Правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применим эти правила к нашему выражению $(a^3b)^2$ шаг за шагом:

1. Сначала применим правило возведения произведения в степень. Каждый множитель в скобках возводится в квадрат:

$(a^3b)^2 = (a^3)^2 \cdot b^2$

2. Теперь применим правило возведения степени в степень к части $(a^3)^2$. Показатели степеней перемножаются:

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$

3. Подставим полученный результат обратно в выражение:

$(a^3b)^2 = a^6b^2$

Таким образом, выражение $(a^3b)^2$ равно $a^6b^2$. Теперь сравним этот результат с каждым из предложенных вариантов.

1) $a^6b^2$

Это выражение полностью совпадает с полученным нами результатом. Следовательно, это правильный ответ.

2) $-a^6b^2$

Это выражение отличается знаком. Квадрат любого действительного числа (или выражения) всегда неотрицателен, то есть $(a^3b)^2 \ge 0$. Выражение $-a^6b^2$ является неположительным. Равенство возможно только при $a=0$ или $b=0$, но в общем случае выражения не равны. Поэтому этот вариант неверный.

3) $a^5b^2$

В этом выражении показатель степени у переменной $a$ равен 5, а в нашем результате он равен 6. Следовательно, этот вариант неверный.

4) $-a^5b^2$

Это выражение отличается от нашего результата и знаком, и показателем степени у переменной $a$. Этот вариант также неверный.

Ответ: 1

12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба?

1) $a^3 c^6$

2) $-a^3 c^6$

3) $-a^2 c^2$

4) $(-a)^2 b^2$

Чтобы найти выражение, которое нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба, проанализируем каждый вариант.

Напомним правила:

• Выражение является квадратом, если его числовой коэффициент неотрицателен и является квадратом какого-либо числа, а показатели степени всех входящих в него переменных — четные числа (делятся на 2).
• Выражение является кубом, если его числовой коэффициент является кубом какого-либо числа, а показатели степени всех переменных делятся на 3.

1) $a^3c^6$

Проверим, является ли выражение квадратом. Показатель степени у переменной $a$ равен 3, а это нечетное число. Значит, выражение не является квадратом.

Проверим, является ли оно кубом. Показатель степени у $a$ равен 3 (делится на 3), а у $c$ равен 6 (делится на 3). Следовательно, выражение можно представить в виде куба: $a^3c^6 = (ac^2)^3$. Этот вариант нам не подходит.

2) $-a^3c^6$

Проверим на квадрат. Выражение имеет отрицательный коэффициент (-1). Квадрат любого действительного одночлена не может быть отрицательным, поэтому это не квадрат.

Проверим на куб. Коэффициент -1 можно представить как $(-1)^3$. Показатели степеней 3 и 6 делятся на 3. Таким образом, выражение является кубом: $-a^3c^6 = (-ac^2)^3$. Этот вариант нам также не подходит.

3) $-a^2c^2$

Проверим на квадрат. Как и в предыдущем случае, отрицательный коэффициент -1 не позволяет представить это выражение в виде квадрата.

Проверим на куб. Показатели степеней у переменных $a$ и $c$ равны 2. Число 2 не делится на 3, поэтому данное выражение нельзя представить в виде куба.

Поскольку это выражение нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба, оно является искомым ответом.

4) $(-a)^2b^2$

Сначала упростим выражение: $(-a)^2b^2 = a^2b^2$.

Проверим на квадрат. Показатели степеней у $a$ и $b$ равны 2 (четные числа). Выражение можно представить в виде квадрата: $a^2b^2 = (ab)^2$. Этот вариант нам не подходит.

Таким образом, единственное выражение, которое нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба, находится под номером 3.

Ответ: 3

13 Вычислите $\frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3}$

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Исходное выражение:

$$ \frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3} $$

1. Упростим числитель дроби.

Сначала возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$ (7^4)^2 = 7^{4 \cdot 2} = 7^8 $$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ 7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13} $$

2. Упростим знаменатель дроби.

Используем то же правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$ (7^5)^3 = 7^{5 \cdot 3} = 7^{15} $$

3. Разделим числитель на знаменатель.

Теперь наше выражение приняло вид:

$$ \frac{7^{13}}{7^{15}} $$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ \frac{7^{13}}{7^{15}} = 7^{13-15} = 7^{-2} $$

4. Вычислим итоговое значение.

Степень с отрицательным показателем равна обратной величине той же степени с положительным показателем, то есть $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$$ 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} $$

Ответ: $ \frac{1}{49} $

14 Найдите значение выражения $ \frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8} $

1) $ \frac{1}{24} $

2) $ 2\frac{1}{4} $

3) $ 1\frac{1}{2} $

4) $ 1296 $

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо упростить его, используя свойства степеней. Сначала разложим основания степеней (8, 9 и 6) на простые множители.

Исходное выражение: $\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8}$.

Представим основания степеней в виде произведений простых чисел:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$6 = 2 \cdot 3$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:
$\frac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^5}{(2 \cdot 3)^8}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для знаменателя:
$\frac{2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^8 \cdot 3^8}$

Далее сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^6}{2^8} \cdot \frac{3^{10}}{3^8} = 2^{6-8} \cdot 3^{10-8} = 2^{-2} \cdot 3^2$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и вычислим результат:
$2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Данное значение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $2\frac{1}{4}$

15 При каком значении $x$ верно равенство $2^x \cdot 2^5 = 1024$?

1) при $x = 2$

2) при $x = 3$

3) при $x = 5$

4) при $x = 10$

Для нахождения значения x, при котором выполняется равенство $2^x \cdot 2^5 = 1024$, необходимо решить данное показательное уравнение.

Сначала упростим левую часть уравнения, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применив это правило, получаем:

$2^x \cdot 2^5 = 2^{x+5}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$2^{x+5} = 1024$

Далее представим правую часть уравнения, число 1024, в виде степени с основанием 2. Нам известно, что $2^{10} = 1024$.

Подставим это значение в уравнение:

$2^{x+5} = 2^{10}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (оба равны 2), мы можем приравнять их показатели:

$x + 5 = 10$

Решаем полученное линейное уравнение, чтобы найти x, для этого вычтем 5 из обеих частей:

$x = 10 - 5$

$x = 5$

Таким образом, мы нашли, что равенство верно при $x=5$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) при x = 5

16 Какое из следующих неравенств неверно?

1) $9^{10} < 3^{21}$

2) $9^{10} < 5^{20}$

3) $6^{10} < 3^{20}$

4) $6^{10} < 2^{20}$

Для того чтобы найти неверное неравенство, необходимо проверить истинность каждого из предложенных вариантов, приводя степени к общему основанию или общему показателю.

1) $9^{10} < 3^{21}$

Чтобы сравнить эти два числа, приведем их к одному основанию — 3.
Известно, что $9 = 3^2$.
Следовательно, левую часть неравенства можно преобразовать: $9^{10} = (3^2)^{10}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20}$.
Теперь сравним $3^{20}$ и $3^{21}$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, то чем больше показатель, тем больше значение степени.
Так как $20 < 21$, то $3^{20} < 3^{21}$.
Таким образом, исходное неравенство $9^{10} < 3^{21}$ является верным.
Ответ: верно.

2) $9^{10} < 5^{20}$

Приведем степени к одному показателю. Показатель правой части $20 = 2 \cdot 10$.
Преобразуем правую часть: $5^{20} = 5^{2 \cdot 10} = (5^2)^{10} = 25^{10}$.
Теперь неравенство принимает вид: $9^{10} < 25^{10}$.
Поскольку показатели степеней равны (10), а основания — положительные числа, то сравнение сводится к сравнению оснований.
Так как $9 < 25$, то и $9^{10} < 25^{10}$.
Следовательно, неравенство $9^{10} < 5^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

3) $6^{10} < 3^{20}$

Снова приведем степени к общему показателю 10.
Преобразуем правую часть: $3^{20} = 3^{2 \cdot 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$.
Неравенство принимает вид: $6^{10} < 9^{10}$.
Так как показатели степеней одинаковы, сравниваем основания.
Поскольку $6 < 9$, то $6^{10} < 9^{10}$.
Следовательно, неравенство $6^{10} < 3^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

4) $6^{10} < 2^{20}$

Приведем степени к общему показателю 10.
Преобразуем правую часть: $2^{20} = 2^{2 \cdot 10} = (2^2)^{10} = 4^{10}$.
Неравенство принимает вид: $6^{10} < 4^{10}$.
Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.
Поскольку $6 > 4$, то должно выполняться неравенство $6^{10} > 4^{10}$.
Следовательно, данное неравенство $6^{10} < 4^{10}$ (а значит и $6^{10} < 2^{20}$) является неверным.
Ответ: неверно.

Проанализировав все варианты, мы выяснили, что неверным является только четвертое неравенство.

Ответ: 4

17. Какому из выражений равна сумма $5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n$?

1) $5^{n+1}$

2) $5^{5n}$

3) $(5^n)^5$

4) $5^{n+5}$

Чтобы найти, какому выражению равна данная сумма, необходимо упростить ее. Исходное выражение представляет собой сумму пяти одинаковых слагаемых $5^n$:

$5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n$

Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. Поскольку слагаемое $5^n$ повторяется 5 раз, мы можем записать сумму как произведение:

$5 \cdot 5^n$

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. В нашем случае основание равно 5. Число 5 можно представить как $5^1$.

$5^1 \cdot 5^n = 5^{1+n}$

Выражение $5^{1+n}$ можно также записать как $5^{n+1}$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами.

1) $5^{n+1}$

Этот вариант в точности совпадает с нашим результатом. Следовательно, это правильный ответ.

2) $5^{5n}$

Этот вариант неверен. Выражение $5^{5n}$ получается при возведении степени в степень: $(5^n)^5 = 5^{n \cdot 5} = 5^{5n}$, а не при сложении.

3) $(5^n)^5$

Как показано в разборе предыдущего пункта, это выражение равно $5^{5n}$, что не соответствует исходной сумме.

4) $5^{n+5}$

Этот вариант также является неверным. Он представляет собой результат умножения $5^n$ на $5^5$: $5^n \cdot 5^5 = 5^{n+5}$.

Ответ: 1) $5^{n+1}$