Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.191 Докажите, что:

a) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное;

б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное;

в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное;

г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.

а) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное;
Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ – целое число.
Любое нечётное число можно представить в виде $2m + 1$, где $m$ – целое число.
Найдём сумму этих чисел:
$S = 2k + (2m + 1) = 2k + 2m + 1$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S = 2(k + m) + 1$.
Так как $k$ и $m$ – целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим эту сумму как $p = k+m$.
Тогда сумма $S$ принимает вид $2p + 1$, что является общей формулой нечётного числа.
Следовательно, сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное.
Ответ: Утверждение доказано.

б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное;
Возьмём два нечётных числа. Их можно представить в виде $2k + 1$ и $2m + 1$, где $k$ и $m$ – целые числа.
Найдём их сумму:
$S = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S = 2(k + m + 1)$.
Так как $k$ и $m$ – целые числа, то выражение в скобках $(k + m + 1)$ также является целым числом. Обозначим это выражение как $p = k + m + 1$.
Тогда сумма $S$ принимает вид $2p$, что является общей формулой чётного числа.
Следовательно, сумма двух нечётных чисел есть число чётное.
Ответ: Утверждение доказано.

в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное;
Возьмём два последовательных натуральных числа. Их можно обозначить как $n$ и $n+1$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 1$).
Найдём их сумму:
$S = n + (n+1) = 2n + 1$.
Так как $n$ – натуральное (а значит, и целое) число, то выражение $2n+1$ по определению является нечётным числом.
Это также следует из пункта а), так как из двух последовательных натуральных чисел одно всегда чётное, а другое нечётное, а их сумма, как доказано, нечётна.
Ответ: Утверждение доказано.

г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.
Возьмём два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 1$).
Рассмотрим два возможных случая для числа $n$.
Случай 1: $n$ – чётное число.
Если $n$ чётное, его можно представить в виде $n=2k$, где $k$ – натуральное число.
Тогда их произведение $P = n(n+1) = 2k(2k+1) = 2 \cdot [k(2k+1)]$.
Так как произведение целых чисел есть целое число, то $P$ делится на 2, а значит является чётным.
Случай 2: $n$ – нечётное число.
Если $n$ нечётное, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным.
Пусть $n = 2k - 1$, где $k$ – натуральное число. Тогда $n+1 = (2k-1)+1=2k$.
Их произведение $P = n(n+1) = (2k-1)(2k) = 2 \cdot [k(2k-1)]$.
Произведение $P$ снова делится на 2, то есть является чётным числом.
Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные случаи. В каждом из них произведение оказалось чётным.
Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.
Ответ: Утверждение доказано.

6.192 Найдите остаток от деления на $10$ суммы чисел $a$, $b$ и $c$, если известно, что:

а) при делении на $10$ число $a$ даёт в остатке $1$, число $b$ даёт в остатке $3$ и число $c$ даёт в остатке $5$;

б) при делении на $10$ число $a$ даёт в остатке $3$, число $b$ даёт в остатке $5$ и число $c$ даёт в остатке $7$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством остатков: остаток от деления суммы двух или нескольких чисел на некоторое число равен остатку от деления суммы их остатков на то же число. То есть, чтобы найти остаток от деления $(a + b + c)$ на 10, нам нужно сложить остатки от деления $a$, $b$ и $c$ на 10, а затем найти остаток от деления полученной суммы на 10.

а)

По условию, при делении на 10 число $a$ даёт в остатке 1, число $b$ — 3, и число $c$ — 5.
Это можно записать следующим образом:
$a = 10k_1 + 1$
$b = 10k_2 + 3$
$c = 10k_3 + 5$
где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые целые числа (неполные частные).

Сумма этих чисел равна:
$a + b + c = (10k_1 + 1) + (10k_2 + 3) + (10k_3 + 5)$
$a + b + c = 10(k_1 + k_2 + k_3) + (1 + 3 + 5)$
$a + b + c = 10(k_1 + k_2 + k_3) + 9$

Из этого выражения видно, что слагаемое $10(k_1 + k_2 + k_3)$ делится на 10 нацело, а значит, остаток от деления всей суммы на 10 будет равен 9.

Или, используя свойство остатков, сложим остатки:
$1 + 3 + 5 = 9$
Остаток от деления 9 на 10 равен 9, так как $9 < 10$.

Ответ: 9

б)

По условию, при делении на 10 число $a$ даёт в остатке 3, число $b$ — 5, и число $c$ — 7.
Запишем это:
$a = 10m_1 + 3$
$b = 10m_2 + 5$
$c = 10m_3 + 7$
где $m_1, m_2, m_3$ — некоторые целые числа.

Сложим остатки, которые дают числа $a, b, c$ при делении на 10:
$3 + 5 + 7 = 15$

Теперь найдём остаток от деления полученной суммы (15) на 10:
$15 \div 10 = 1$ (остаток 5)
Это можно записать как $15 = 10 \cdot 1 + 5$.

Таким образом, остаток от деления суммы $a+b+c$ на 10 равен 5.

Ответ: 5

6.193 а) Числа $a$ и $b$ при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4. Докажите, что $a + b$ делится на 7.

б) Числа $a$ и $b$ при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3. Докажите, что их сумма есть число чётное.

а) По определению деления с остатком, если число $a$ при делении на 7 дает в остатке 3, то его можно представить в виде $a = 7k + 3$, где $k$ – это неполное частное (целое число). Аналогично, если число $b$ при делении на 7 дает в остатке 4, то его можно представить в виде $b = 7m + 4$, где $m$ – также целое число.
Найдем сумму этих чисел:
$a + b = (7k + 3) + (7m + 4)$
Сгруппируем слагаемые:
$a + b = 7k + 7m + 3 + 4 = 7k + 7m + 7$
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$a + b = 7(k + m + 1)$
Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то их сумма, увеличенная на единицу, $(k + m + 1)$, также является целым числом. Таким образом, сумма $a + b$ представляет собой произведение числа 7 на целое число, что означает, что $a + b$ делится на 7 без остатка.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) По условию, число $a$ при делении на 6 дает в остатке 1. Это можно записать в виде $a = 6k + 1$, где $k$ – целое число. Число $b$ при делении на 6 дает в остатке 3, что можно записать как $b = 6m + 3$, где $m$ – целое число.
Найдем их сумму:
$a + b = (6k + 1) + (6m + 3)$
Сгруппируем слагаемые:
$a + b = 6k + 6m + 1 + 3 = 6k + 6m + 4$
Чтобы доказать, что их сумма является чётным числом, нужно показать, что она делится на 2. Для этого вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(3k + 3m + 2)$
Так как $k$ и $m$ – целые числа, то выражение в скобках $(3k + 3m + 2)$ также является целым числом. Следовательно, сумма $a + b$ является произведением числа 2 и целого числа, что по определению означает, что сумма $a + b$ – чётное число.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

6.194 Докажите, что если числа $a$ и $b$ при делении на число $c$ дают один и тот же остаток, то их разность делится на $c$.

По определению деления с остатком, если число a при делении на число c дает неполное частное $q_1$ и остаток r, то это можно записать в виде равенства:

$a = c \cdot q_1 + r$

Аналогично, если число b при делении на то же число c дает неполное частное $q_2$ и тот же остаток r, то это записывается как:

$b = c \cdot q_2 + r$

Здесь $q_1$ и $q_2$ — целые числа (неполные частные), а r — остаток, для которого выполняется условие $0 \le r < |c|$.

Найдем разность чисел a и b, вычитая второе равенство из первого:

$a - b = (c \cdot q_1 + r) - (c \cdot q_2 + r)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a - b = c \cdot q_1 + r - c \cdot q_2 - r = c \cdot q_1 - c \cdot q_2$

Вынесем общий множитель c за скобки:

$a - b = c \cdot (q_1 - q_2)$

Поскольку $q_1$ и $q_2$ — целые числа, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как k, то есть $k = q_1 - q_2$.

Тогда разность a - b можно представить в виде:

$a - b = c \cdot k$

Это равенство по определению означает, что разность $(a - b)$ является произведением числа c и некоторого целого числа k. Следовательно, разность $(a - b)$ делится на c нацело (без остатка). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если числа a и b при делении на число c дают один и тот же остаток, их разность $(a-b)$ всегда делится на c.

6.195 Каждое из чисел $a$ и $b$ при делении на 3 даёт в остатке 1. Докажите, что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1.

По условию, числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают в остатке 1. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, для которых выполняются следующие равенства:

$a = 3k + 1$

$b = 3m + 1$

Чтобы доказать утверждение задачи, найдем произведение этих чисел $a \cdot b$:

$a \cdot b = (3k + 1)(3m + 1)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$a \cdot b = 3k \cdot 3m + 3k \cdot 1 + 1 \cdot 3m + 1 \cdot 1$

$a \cdot b = 9km + 3k + 3m + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие общий множитель 3, и вынесем его за скобки:

$a \cdot b = (9km + 3k + 3m) + 1$

$a \cdot b = 3(3km + k + m) + 1$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то и результат выражения в скобках, $3km + k + m$, также будет целым числом. Обозначим это новое целое число, например, буквой $q$:

$q = 3km + k + m$

Подставив $q$ в выражение для произведения, получим:

$a \cdot b = 3q + 1$

Эта запись по определению деления с остатком означает, что при делении произведения $a \cdot b$ на 3 получается частное, равное $q$, и остаток, равный 1.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.196 Докажите, что если числа $a$ и $b$ не делятся на $3$, то либо их сумма, либо их разность делится на $3$.

По условию задачи числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Это означает, что при делении на 3 они дают остаток, не равный нулю. Возможные остатки при делении любого целого числа на 3 — это 0, 1 или 2. Следовательно, остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.

Любое число, не кратное 3, можно представить в одном из двух видов: $3k+1$ или $3k+2$, где $k$ — некоторое целое число.

Рассмотрим все возможные случаи для чисел $a$ и $b$.

1. Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на 3.

В этом случае возможны два варианта:

• Оба числа имеют вид $3k+1$. Пусть $a = 3k_1 + 1$ и $b = 3k_2 + 1$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
  Найдем их разность: $a - b = (3k_1 + 1) - (3k_2 + 1) = 3k_1 - 3k_2 = 3(k_1 - k_2)$.
  Так как $k_1 - k_2$ — целое число, то разность $a - b$ делится на 3.
• Оба числа имеют вид $3k+2$. Пусть $a = 3k_1 + 2$ и $b = 3k_2 + 2$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
  Найдем их разность: $a - b = (3k_1 + 2) - (3k_2 + 2) = 3k_1 - 3k_2 = 3(k_1 - k_2)$.
  В этом случае разность $a - b$ также делится на 3.

Таким образом, если остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 одинаковы, то их разность делится на 3.

2. Числа $a$ и $b$ имеют различные остатки при делении на 3.

Поскольку возможные остатки — это 1 и 2, то одно из чисел должно иметь вид $3k+1$, а другое — $3k+2$.
Пусть $a = 3k_1 + 1$ и $b = 3k_2 + 2$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
Найдем их сумму: $a + b = (3k_1 + 1) + (3k_2 + 2) = 3k_1 + 3k_2 + 3 = 3(k_1 + k_2 + 1)$.
Так как $k_1 + k_2 + 1$ — целое число, то сумма $a + b$ делится на 3.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи. Если остатки от деления $a$ и $b$ на 3 одинаковы, то их разность делится на 3. Если остатки разные, то их сумма делится на 3. Следовательно, всегда либо сумма, либо разность чисел $a$ и $b$ будет делиться на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Если числа $a$ и $b$ не делятся на 3, они могут иметь остаток 1 или 2 при делении на 3. Если остатки у чисел $a$ и $b$ одинаковые, то их разность ($a-b$) будет кратна 3. Если остатки разные (одно дает остаток 1, другое — 2), то их сумма ($a+b$) будет кратна 3.

6.197 Какой вид имеют числа, о которых известно, что они не де- лятся ни на 2, ни на 3?

Чтобы найти вид чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, проанализируем их свойства с точки зрения теории делимости.

1. Условие, что число не делится на 2, означает, что оно является нечетным.

2. Условие, что число не делится на 3, означает, что при делении на 3 оно дает остаток 1 или 2.

Рассмотрим остатки от деления целых чисел на $2 \times 3 = 6$. Любое целое число $n$ можно представить в одном из следующих шести видов, где $k$ — целое число:

• $n = 6k$
• $n = 6k + 1$
• $n = 6k + 2$
• $n = 6k + 3$
• $n = 6k + 4$
• $n = 6k + 5$

Теперь проверим каждый из этих видов на соответствие нашим условиям (неделимость на 2 и на 3):

• Число вида $n = 6k$. Оно делится на 2 (так как $6k = 2 \cdot 3k$) и на 3 (так как $6k = 3 \cdot 2k$). Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 1$. Оно не делится на 2 (так как является нечетным). При делении на 3 оно дает остаток 1. Этот вид нам подходит.
• Число вида $n = 6k + 2 = 2(3k + 1)$. Оно делится на 2. Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 3 = 3(2k + 1)$. Оно делится на 3. Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 4 = 2(3k + 2)$. Оно делится на 2. Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 5$. Оно не делится на 2 (нечетное). При делении на 3 число $6k$ делится на 3, а 5 дает остаток 2, значит, и все число дает остаток 2. Этот вид нам подходит.

Таким образом, числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, имеют вид $6k + 1$ или $6k + 5$, где $k$ — любое целое число.

Заметим, что форму $6k+5$ можно также записать в виде $6(k+1) - 1$. Если считать, что $k$ может быть любым целым числом, то обе эти формы можно объединить в одну более компактную запись: $6k \pm 1$.

Ответ: числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, имеют вид $6k + 1$ или $6k + 5$, где $k$ — целое число. Альтернативная запись: $6k \pm 1$.

6.198 a) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.

б) Докажите, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

а)

Пусть $n$ — целое число, которое не делится на 5. Это означает, что при делении на 5 число $n$ даёт остаток 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим все возможные случаи.

Любое целое число $n$, не кратное 5, можно представить в одном из следующих видов: $n = 5k \pm 1$ или $n = 5k \pm 2$, где $k$ — некоторое целое число.

1. Если $n = 5k \pm 1$.
Возведём число $n$ в квадрат:
$n^2 = (5k \pm 1)^2 = (5k)^2 \pm 2 \cdot 5k \cdot 1 + 1^2 = 25k^2 \pm 10k + 1$.
Вынесем 5 за скобки:
$n^2 = 5(5k^2 \pm 2k) + 1$.
Из этого выражения видно, что $n^2$ при делении на 5 даёт в остатке 1. Следовательно, число $n^2 - 1$ делится на 5 нацело:
$n^2 - 1 = 5(5k^2 \pm 2k)$.
В этом случае квадрат числа, уменьшенный на 1, делится на 5.

2. Если $n = 5k \pm 2$.
Возведём число $n$ в квадрат:
$n^2 = (5k \pm 2)^2 = (5k)^2 \pm 2 \cdot 5k \cdot 2 + 2^2 = 25k^2 \pm 20k + 4$.
Вынесем 5 за скобки:
$n^2 = 5(5k^2 \pm 4k) + 4$.
Из этого выражения видно, что $n^2$ при делении на 5 даёт в остатке 4. Следовательно, если к $n^2$ прибавить 1, то полученное число будет делиться на 5 нацело:
$n^2 + 1 = 5(5k^2 \pm 4k) + 4 + 1 = 5(5k^2 \pm 4k) + 5 = 5(5k^2 \pm 4k + 1)$.
В этом случае квадрат числа, увеличенный на 1, делится на 5.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для числа, не делящегося на 5, и в каждом из них либо $n^2-1$, либо $n^2+1$ делится на 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть $n$ — любое нечётное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Найдём квадрат этого числа:
$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Вынесем общий множитель 4k за скобки:
$n^2 = 4k(k+1) + 1$.

Рассмотрим произведение $k(k+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел ($k$ или $k+1$) обязательно является чётным. Следовательно, их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2.

Значит, мы можем представить это произведение в виде $k(k+1) = 2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение обратно в формулу для $n^2$:
$n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$.

Полученное выражение $8m + 1$ показывает, что при делении квадрата любого нечётного числа на 8 в остатке всегда получается 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

6.199 Найдите все натуральные числа, которые:

а) при делении на 5 дают в остатке 4, а при делении на 2 дают в остатке 1;

б) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2.

а) Пусть искомое натуральное число — это $N$.

Согласно первому условию, при делении числа $N$ на 5 в остатке получается 4. Это можно записать в виде $N = 5k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Если мы выпишем несколько таких чисел, мы увидим, что они всегда оканчиваются на цифру 4 или 9: 4, 9, 14, 19, 24, 29, ...

Согласно второму условию, при делении числа $N$ на 2 в остатке получается 1. Это означает, что число $N$ должно быть нечетным.

Теперь объединим оба условия. Из ряда чисел, оканчивающихся на 4 или 9, нам нужно выбрать только нечетные. Числа, оканчивающиеся на 4, — четные, а числа, оканчивающиеся на 9, — нечетные. Следовательно, искомые числа должны оканчиваться на 9.

Это числа 9, 19, 29, 39, и так далее. Их можно представить общей формулой $N = 10m + 9$, где $m$ — любое целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

Ответ: все натуральные числа, которые оканчиваются на 9. Например: 9, 19, 29, ...

б) Пусть искомое натуральное число — это $M$.

Согласно первому условию, при делении числа $M$ на 5 в остатке получается 3. Это можно записать в виде $M = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Если мы выпишем несколько таких чисел, мы увидим, что они всегда оканчиваются на цифру 3 или 8: 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...

Согласно второму условию, число $M$ делится на 2. Это означает, что число $M$ должно быть четным.

Объединим оба условия. Из ряда чисел, оканчивающихся на 3 или 8, нам нужно выбрать только четные. Числа, оканчивающиеся на 3, — нечетные, а числа, оканчивающиеся на 8, — четные. Следовательно, искомые числа должны оканчиваться на 8.

Это числа 8, 18, 28, 38, и так далее. Их можно представить общей формулой $M = 10m + 8$, где $m$ — любое целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

Ответ: все натуральные числа, которые оканчиваются на 8. Например: 8, 18, 28, ...

1 Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

1. Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется выражение вида $a^n$, которое представляет собой результат многократного умножения числа на само себя. В этом выражении число $a$ называется основанием степени, а число $n$ — показателем степени. Показатель степени является натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$) и показывает, сколько раз основание умножается само на себя.

Определение степени с натуральным показателем дается для двух случаев:

1. Если показатель степени $n$ — натуральное число, большее единицы ($n > 1$), то степенью числа $a$ с показателем $n$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.
Это записывается формулой:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$
Например: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. Если показатель степени $n$ равен единице ($n = 1$), то степенью числа $a$ с показателем 1 считается само число $a$.
Это записывается формулой:
$a^1 = a$
Например: $(-8)^1 = -8$.

Ответ: Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, если $n > 1$, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Степенью числа $a$ с показателем $n=1$ называется само число $a$.

2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

Это правило можно записать в виде формулы для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Проиллюстрируйте на примере

Рассмотрим произведение степеней $4^2$ и $4^3$.

Согласно определению степени, число в степени $n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен этому числу.

$4^2 = 4 \cdot 4$
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$

Следовательно, произведение этих степеней можно записать как:

$4^2 \cdot 4^3 = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$

В итоговом произведении получилось 5 множителей, равных 4. Общее количество множителей равно сумме показателей степеней: $2 + 3 = 5$.

По определению степени, полученное произведение равно $4^5$. Таким образом, мы наглядно показали, что $4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3} = 4^5$.

Ответ: Пример: $4^2 \cdot 4^3 = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^5 = 4^{2+3}$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Доказательство основано на определении степени с натуральным показателем.

1. Запишем степень $a^m$ в виде произведения:
$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

2. Аналогично запишем степень $a^n$:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

3. Перемножим эти выражения:
$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}})$

4. Так как умножение ассоциативно, мы можем убрать скобки и получить одно большое произведение, состоящее из одинаковых множителей $a$. Общее число множителей в этом произведении будет равно сумме числа множителей из первого и второго выражений, то есть $m + n$.
$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ раз}}$

5. Согласно определению степени, произведение $m+n$ множителей, равных $a$, есть $a$ в степени $m+n$, то есть $a^{m+n}$.

Таким образом, мы доказали, что $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ доказывается через определение степени: произведение $a^m \cdot a^n$ содержит $(m+n)$ одинаковых множителей $a$, что по определению равно $a^{m+n}$.