Страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Составьте уравнение по условию задачи, взяв за образец пример 1:

«Автомобиль и автобус, находящиеся на расстоянии 30 км друг от друга, одновременно начали движение навстречу друг другу. Они встретились через 12 мин. Скорость автомобиля в 1,5 раза больше скорости автобуса. Чему равна скорость автобуса?»

Если скорость автобуса $x$ км/ч, то уравнение будет:

$(1.5x + x) \cdot \frac{12}{60} = 30$

Для решения задачи составим уравнение. Пусть искомая скорость автобуса равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость автомобиля в 1,5 раза больше, следовательно, она составляет $1.5x$ км/ч.

Автомобиль и автобус движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения — это сумма их скоростей:

$v_{сбл} = x + 1.5x = 2.5x$ км/ч.

По условию, они встретились через 12 минут. Для согласования единиц измерения переведем время в часы:

$t = 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = 0.2 \text{ ч}$.

За это время они вместе преодолели всё начальное расстояние между ними, равное 30 км. Расстояние равно произведению скорости сближения на время ($S = v_{сбл} \cdot t$). Составим уравнение, подставив известные значения:

$(2.5x) \cdot 0.2 = 30$

Теперь решим это уравнение:

$0.5x = 30$

Разделим обе части уравнения на 0.5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{30}{0.5}$

$x = 60$

Таким образом, скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

Как иначе можно переформулировать условие о восьми минутах в задаче, разобранной в примере 2? Составьте уравнение по условию этой задачи, обозначив буквой x время движения Ивана.

Как иначе можно переформулировать условие о восьми минутах в задаче, разобранной в примере 2?

Поскольку полный текст задачи из примера 2 не предоставлен, будем исходить из наиболее типичного для таких задач контекста. Предположим, в задаче говорится о двух участниках движения (например, Иване и Петре), которые преодолевают одинаковое расстояние, и в условии сказано: «Иван прибыл на 8 минут раньше Петра» или «Иван затратил на путь на 8 минут меньше времени, чем Петр».
Это условие, в котором точкой отсчета является Иван, можно переформулировать, сделав точкой отсчета Петра. Если Иван прибыл раньше, это означает, что Петр прибыл позже на то же самое время. Таким образом, альтернативная формулировка будет звучать так: «Петр прибыл на 8 минут позже Ивана» или «Петр затратил на дорогу на 8 минут больше времени, чем Иван».

Ответ: Условие можно переформулировать так: «Второй участник движения затратил на дорогу на 8 минут больше времени, чем Иван».

Составьте уравнение по условию этой задачи, обозначив буквой x время движения Ивана.

Для составления уравнения будем использовать следующие допущения и обозначения:
Пусть $x$ – время движения Ивана, в часах.
Пусть $v_И$ и $v_П$ – постоянные скорости Ивана и второго участника (Петра) соответственно, в км/ч.
Пусть $S$ – одинаковое расстояние, которое они оба преодолели, в км.

Сначала необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Переведем разницу во времени из минут в часы:
$8 \text{ минут} = \frac{8}{60} \text{ часа} = \frac{2}{15} \text{ часа}$.

Согласно условию, Иван был в пути на 8 минут ($\frac{2}{15}$ часа) меньше. Если время Ивана равно $x$, то время второго участника (Петра) на $\frac{2}{15}$ часа больше. Время Петра можно выразить как:
$t_П = x + \frac{2}{15}$.

Теперь запишем основную формулу движения $S = v \cdot t$ для каждого участника:
Для Ивана: $S = v_И \cdot x$.
Для Петра: $S = v_П \cdot t_П = v_П \cdot (x + \frac{2}{15})$.

Поскольку расстояние, которое они проехали, одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух выражений. В результате получаем искомое уравнение:
$v_И \cdot x = v_П \cdot (x + \frac{2}{15})$.
Данное уравнение связывает время движения Ивана $x$ со скоростями обоих участников. Для нахождения численного значения $x$ необходимо знать значения скоростей $v_И$ и $v_П$ из полного условия задачи.

Ответ: $v_И \cdot x = v_П \cdot (x + \frac{2}{15})$, где $x$ – время движения Ивана в часах, а $v_И$ и $v_П$ – скорости Ивана и второго участника соответственно.

■ По образцу примера 3 сделайте рисунок, моделирующий условие задачи, и составьте уравнение:

«Имеется кусок стекла, одна из сторон которого в 2 раза больше другой. Чтобы вставить его в оконную раму, его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила $3800 \text{ см}^2$. Чему были равны первоначальные размеры стекла?»

Сделайте рисунок, моделирующий условие задачи

Чтобы смоделировать условие задачи, представим исходный кусок стекла как большой прямоугольник. Пусть его меньшая сторона (ширина) равна $x$ см, тогда, согласно условию, большая сторона (длина) будет $2x$ см. Внутри этого прямоугольника нарисуем второй, меньший прямоугольник — это стекло, которое вставили в раму. Его размеры получили, уменьшив каждую сторону исходного прямоугольника на 20 см, то есть его ширина равна $(x-20)$ см, а длина — $(2x-20)$ см. Область между контурами этих двух прямоугольников представляет собой обрезки, площадь которых нам известна.
Ответ: Рисунок представляет собой два прямоугольника, один в другом, где стороны внешнего равны $x$ и $2x$, а стороны внутреннего — $(x-20)$ и $(2x-20)$.

Составьте уравнение

Пусть $x$ см — первоначальная ширина куска стекла (меньшая сторона).
Тогда $2x$ см — его первоначальная длина (большая сторона).
Площадь первоначального куска стекла: $S_1 = x \cdot 2x = 2x^2$ см².

После уменьшения сторон на 20 см новые размеры составили:
Новая ширина: $(x-20)$ см.
Новая длина: $(2x-20)$ см.
Площадь стекла, вставленного в раму: $S_2 = (x-20)(2x-20)$ см².

Площадь обрезков — это разность между первоначальной площадью и новой площадью. По условию, она равна 3800 см². Составим уравнение:
$S_1 - S_2 = 3800$
$2x^2 - (x-20)(2x-20) = 3800$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в произведении:
$(x-20)(2x-20) = 2x^2 - 20x - 40x + 400 = 2x^2 - 60x + 400$

Подставим это выражение обратно в уравнение:
$2x^2 - (2x^2 - 60x + 400) = 3800$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$2x^2 - 2x^2 + 60x - 400 = 3800$

Приведем подобные слагаемые:
$60x - 400 = 3800$

Перенесем -400 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$60x = 3800 + 400$
$60x = 4200$

Найдем $x$:
$x = \frac{4200}{60} = \frac{420}{6} = 70$

Итак, первоначальная ширина стекла равна 70 см.
Найдем первоначальную длину: $2x = 2 \cdot 70 = 140$ см.
Проверим, что размеры позволяют отрезать по 20 см: $70 > 20$ и $140 > 20$. Условие выполняется.
Ответ: Первоначальные размеры стекла были 70 см и 140 см.

Решите задачу (чтобы легче было составить уравнение, сделайте рисунок, 6.167–6.169).

6.167 а) Турист вышел из пункта А по направлению к пункту В, расстояние до которого равно 9 км. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист, скорость которого на 10 км/ч больше скорости туриста. Через 0,5 ч они встретились. Определите скорость, с которой шёл турист.

б) Два мальчика выбегают одновременно навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 660 м, и встречаются через 2 мин. Один из них пробегает на 30 м в минуту меньше, чем другой. Сколько метров в минуту пробегает каждый из них?

а) Обозначим скорость туриста за $x$ км/ч. Поскольку скорость велосипедиста на 10 км/ч больше, она составляет $(x + 10)$ км/ч.Турист и велосипедист движутся навстречу друг другу из пунктов A и B. Это означает, что их суммарная скорость, или скорость сближения, определяет, как быстро они преодолеют расстояние между собой.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:$v_{сбл} = v_{туриста} + v_{велосипедиста} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

За время $t = 0,5$ ч они вместе преодолели всё расстояние $S = 9$ км. Расстояние равно произведению скорости сближения на время: $S = v_{сбл} \cdot t$.Подставим известные значения в формулу:

$9 = (2x + 10) \cdot 0,5$

Чтобы решить это уравнение, можно сначала разделить обе части на 0,5 (что эквивалентно умножению на 2):

$9 / 0,5 = 2x + 10$

$18 = 2x + 10$

Теперь вычтем 10 из обеих частей:

$18 - 10 = 2x$

$8 = 2x$

И разделим на 2, чтобы найти $x$:

$x = 8 / 2$

$x = 4$

Таким образом, скорость туриста равна 4 км/ч.

Ответ: скорость, с которой шёл турист, равна 4 км/ч.

б) Пусть скорость одного мальчика равна $v_1$ м/мин, а скорость второго — $v_2$ м/мин. Они бегут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.Им нужно преодолеть общее расстояние $S = 660$ м, и они встречаются через $t = 2$ мин.

Найдем их скорость сближения по формуле $v_{сбл} = S / t$:

$v_{сбл} = 660 / 2 = 330$ м/мин.

Значит, сумма скоростей мальчиков равна 330 м/мин:

$v_1 + v_2 = 330$

По условию, один из них пробегает на 30 м в минуту меньше, чем другой. Допустим, первый мальчик бежит медленнее. Тогда его скорость $v_1$ связана со скоростью второго мальчика $v_2$ следующим образом:

$v_1 = v_2 - 30$ или, что то же самое, $v_2 = v_1 + 30$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $v_1 + v_2 = 330$

2. $v_2 = v_1 + 30$

Подставим выражение для $v_2$ из второго уравнения в первое:

$v_1 + (v_1 + 30) = 330$

Решим полученное уравнение:

$2v_1 + 30 = 330$

$2v_1 = 330 - 30$

$2v_1 = 300$

$v_1 = 300 / 2$

$v_1 = 150$ м/мин.

Это скорость более медленного мальчика. Теперь найдем скорость второго мальчика, используя уравнение $v_2 = v_1 + 30$:

$v_2 = 150 + 30 = 180$ м/мин.

Скорости мальчиков равны 150 м/мин и 180 м/мин.

Ответ: один мальчик пробегает 150 метров в минуту, а другой — 180 метров в минуту.

6.168 а) Расстояние между двумя железнодорожными станциями A и B равно 300 км. От станции A по направлению к станции B вышел пассажирский поезд. Одновременно навстречу ему от станции B вышел электропоезд, скорость которого на 30 км/ч меньше скорости пассажирского поезда. Они встретились через 2 ч на разъезде. На каком расстоянии от A и от B находится разъезд?

б) Расстояние между домами Андрея и Бориса, расположенными на одном шоссе, 2 км. Они выходят одновременно из своих домов навстречу друг другу и встречаются через 0,2 ч. Скорость Андрея на 1 км/ч больше скорости Бориса. На каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча?

Подсказка. Задачу легче решить, если обозначить буквой какую-нибудь из скоростей.

а)

Пусть скорость пассажирского поезда, вышедшего из станции А, равна $v_п$ км/ч. Согласно условию, скорость электропоезда, вышедшего из станции В, на 30 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v_п - 30)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_п + (v_п - 30) = 2v_п - 30$ км/ч.

Общее расстояние между станциями составляет 300 км. Поезда встретились через 2 часа. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $S$ — общее расстояние, $v$ — скорость сближения, а $t$ — время, составим уравнение:

$300 = (2v_п - 30) \cdot 2$

Решим это уравнение, чтобы найти скорость пассажирского поезда:

$300 = 4v_п - 60$

$300 + 60 = 4v_п$

$360 = 4v_п$

$v_п = 360 / 4 = 90$ км/ч.

Скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч. Теперь найдем скорость электропоезда:

$v_э = v_п - 30 = 90 - 30 = 60$ км/ч.

Чтобы найти, на каком расстоянии от станций А и В находится разъезд, нужно рассчитать путь, пройденный каждым поездом за 2 часа.

Расстояние от станции А до разъезда (путь пассажирского поезда):

$S_А = v_п \cdot t = 90 \cdot 2 = 180$ км.

Расстояние от станции В до разъезда (путь электропоезда):

$S_В = v_э \cdot t = 60 \cdot 2 = 120$ км.

Проверка: $180 \text{ км} + 120 \text{ км} = 300 \text{ км}$, что соответствует общему расстоянию между станциями.

Ответ: разъезд находится на расстоянии 180 км от станции А и 120 км от станции В.

б)

Пусть скорость Бориса равна $x$ км/ч. По условию, скорость Андрея на 1 км/ч больше, значит, она равна $(x + 1)$ км/ч.

Андрей и Борис идут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = x + (x + 1) = 2x + 1$ км/ч.

Расстояние между их домами — 2 км, а время до встречи — 0,2 часа. Используя формулу $S = v \cdot t$, составим уравнение:

$2 = (2x + 1) \cdot 0.2$

Решим полученное уравнение:

$2 = 0.4x + 0.2$

$2 - 0.2 = 0.4x$

$1.8 = 0.4x$

$x = 1.8 / 0.4 = 18 / 4 = 4.5$ км/ч.

Мы нашли скорость Бориса — она равна 4,5 км/ч. Вопрос задачи — на каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча. Для этого нужно найти расстояние, которое прошел Борис за 0,2 часа.

$S_Б = v_Б \cdot t = 4.5 \cdot 0.2 = 0.9$ км.

Ответ: встреча произошла на расстоянии 0,9 км от дома Бориса.