Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (6.177–6.189).

6.177 Расстояние между городами А и В равно 244 км. Из А в В выехал автобус, а через 36 мин ему навстречу из В в А выехал автомобиль со скоростью, большей скорости автобуса на 30 км/ч. Через 2 ч после своего выезда автомобиль встретил автобус. Найдите скорость автомобиля.

Пусть $v$ км/ч — искомая скорость автомобиля. По условию, скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса, следовательно, скорость автобуса составляет $(v - 30)$ км/ч.

Автомобиль выехал на 36 минут позже автобуса и до момента встречи был в пути 2 часа. Переведем разницу во времени старта в часы: $36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0.6 \text{ ч}$. Таким образом, автобус до встречи находился в пути $2 + 0.6 = 2.6$ часа.

За свое время движения автомобиль проехал расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км, а автобус проехал расстояние $S_2 = 2.6 \cdot (v - 30)$ км. Поскольку они двигались навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 244 км, в момент встречи сумма пройденных ими расстояний равна этому значению. Составим уравнение на основе того, что $S_1 + S_2 = 244$:

$2v + 2.6(v - 30) = 244$

Теперь решим это уравнение:
$2v + 2.6v - 78 = 244$
$4.6v = 244 + 78$
$4.6v = 322$
$v = \frac{322}{4.6} = \frac{3220}{46}$
$v = 70$

Следовательно, скорость автомобиля составляет 70 км/ч.
Ответ: 70 км/ч.

6.178 Расстояние между городами А и В равно 240 км. Из города А в город В выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч, а через 30 мин навстречу ему из города В выехал мотоциклист со скоростью, меньшей скорости автомобиля на 20 км/ч. Через какое время после выезда мотоциклиста автомобиль и мотоцикл будут на расстоянии 20 км друг от друга?

Подсказка. Обратите внимание на то, что надо рассмотреть два случая.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость мотоциклиста. По условию, она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля:

$v_{м} = 60 \text{ км/ч} - 20 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$

2. Автомобиль выехал на 30 минут (то есть на 0,5 часа) раньше мотоциклиста. Рассчитаем, какое расстояние он успел проехать за это время:

$S_{форы} = v_{а} \cdot t_{форы} = 60 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 30 \text{ км}$

3. Когда мотоциклист выехал из города В, автомобиль уже отъехал от города А на 30 км. Таким образом, расстояние между ними в момент выезда мотоциклиста составляло:

$S' = 240 \text{ км} - 30 \text{ км} = 210 \text{ км}$

4. Автомобиль и мотоциклист движутся навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения, которая равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_{а} + v_{м} = 60 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$

Далее, как указано в подсказке, необходимо рассмотреть два возможных случая, когда расстояние между ними будет 20 км.

Случай 1: Автомобиль и мотоцикл сближаются, но еще не встретились.

Изначально между ними 210 км. Чтобы расстояние стало 20 км, им нужно вместе проехать разницу этих расстояний:

$S_{1} = 210 \text{ км} - 20 \text{ км} = 190 \text{ км}$

Найдем время, которое им для этого потребуется, разделив это расстояние на их скорость сближения. Это и будет время с момента выезда мотоциклиста.

$t_{1} = \frac{S_{1}}{v_{сбл}} = \frac{190 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 1,9 \text{ ч}$

Переведем в часы и минуты: $1,9 \text{ ч} = 1 \text{ час } 0,9 \cdot 60 \text{ мин} = 1 \text{ час } 54 \text{ минуты}$.

Ответ: через 1,9 часа (или 1 час 54 минуты).

Случай 2: Автомобиль и мотоцикл встретились, проехали мимо друг друга и удаляются.

В этом случае они сначала полностью преодолеют расстояние в 210 км (чтобы встретиться), а затем разъедутся еще на 20 км. Общее расстояние, которое они проедут вместе с момента выезда мотоциклиста, составит:

$S_{2} = 210 \text{ км} + 20 \text{ км} = 230 \text{ км}$

Найдем время, которое им для этого потребуется, разделив общее пройденное расстояние на скорость сближения/удаления:

$t_{2} = \frac{S_{2}}{v_{сбл}} = \frac{230 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 2,3 \text{ ч}$

Переведем в часы и минуты: $2,3 \text{ ч} = 2 \text{ часа } 0,3 \cdot 60 \text{ мин} = 2 \text{ часа } 18 \text{ минут}$.

Ответ: через 2,3 часа (или 2 часа 18 минут).

6.179 От автовокзала по шоссе выехал автобус со скоростью $45 \text{ км/ч}$. Через $20 \text{ мин}$ вслед за ним выехал автомобиль со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Через какое время после выезда автомобиля расстояние между ними будет равно $10 \text{ км}$?

Данная задача имеет два решения, поскольку автомобиль, двигаясь с большей скоростью, сначала догонит автобус, а затем обгонит его. Расстояние в 10 км между ними будет в двух случаях.

1. Расчет начальных условий

Сначала определим, какое расстояние было между транспортными средствами в момент выезда автомобиля. Автобус был в пути 20 минут. Переведем это время в часы:
$t_{форы} = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

За это время автобус, двигаясь со скоростью 45 км/ч, проехал:
$S_{форы} = 45 \text{ км/ч} \times \frac{1}{3} \text{ ч} = 15 \text{ км}$.
Таким образом, в момент старта автомобиля автобус был на 15 км впереди.

2. Расчет скорости сближения

Скорость, с которой автомобиль догоняет автобус (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_{автомобиля} - v_{автобуса} = 60 \text{ км/ч} - 45 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$.

Теперь рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Автомобиль догоняет автобус.

В этом случае автомобиль еще находится позади автобуса, и расстояние между ними должно сократиться с 15 км до 10 км. Для этого автомобилю нужно "наверстать" разницу в расстоянии:
$\Delta S_1 = 15 \text{ км} - 10 \text{ км} = 5 \text{ км}$.

Время, которое для этого потребуется, находим по формуле $t = S/v$:
$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_{сближения}} = \frac{5 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Переведем полученное время в минуты:
$t_1 = \frac{1}{3} \text{ ч} \times 60 = 20 \text{ минут}$.
Ответ: через 20 минут.

Случай 2: Автомобиль обогнал автобус.

В этом случае автомобиль должен сначала полностью догнать автобус (преодолеть 15 км), а затем оторваться от него вперед на 10 км. Общее расстояние, на которое автомобиль должен опередить автобус с момента своего старта, составляет:
$\Delta S_2 = 15 \text{ км} + 10 \text{ км} = 25 \text{ км}$.

Время, которое для этого потребуется:
$t_2 = \frac{\Delta S_2}{v_{сближения}} = \frac{25 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3} \text{ ч}$.

Переведем это время в часы и минуты:
$t_2 = \frac{5}{3} \text{ ч} = 1 \frac{2}{3} \text{ ч} = 1 \text{ час } 40 \text{ минут}$ (или 100 минут).
Ответ: через 1 час 40 минут.

6.180 Мотоцикл, движущийся по шоссе со скоростью $40 \text{ км/ч}$, миновал бензоколонку. Через час мимо той же бензоколонки проехал автомобиль со скоростью $90 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от бензоколонки автомобиль догнал мотоциклиста?

Для решения задачи воспользуемся понятием скорости сближения.

1. Сначала определим, на какое расстояние мотоциклист успел отъехать от бензоколонки за 1 час, пока автомобиль еще не начал движение. Обозначим скорость мотоциклиста как $v_м = 40$ км/ч.

$S_1 = v_м \times t_1 = 40 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 40 \text{ км}.$

Это расстояние является начальным преимуществом мотоциклиста в момент, когда автомобиль проезжает мимо бензоколонки.

2. Теперь найдем скорость сближения. Поскольку автомобиль движется быстрее мотоциклиста, он будет его догонять. Скорость сближения $v_{сбл}$ равна разности скоростей автомобиля ($v_а = 90$ км/ч) и мотоциклиста ($v_м = 40$ км/ч).

$v_{сбл} = v_а - v_м = 90 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}.$

3. Зная расстояние между ними (40 км) и скорость сближения (50 км/ч), можно найти время $t_2$, за которое автомобиль догонит мотоциклиста.

$t_2 = \frac{S_1}{v_{сбл}} = \frac{40 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.8 \text{ ч}.$

4. Чтобы найти расстояние от бензоколонки, на котором автомобиль догнал мотоциклиста, нужно умножить скорость автомобиля на время его движения до встречи ($t_2$).

$S = v_а \times t_2 = 90 \text{ км/ч} \times 0.8 \text{ ч} = 72 \text{ км}.$

Ответ: автомобиль догнал мотоциклиста на расстоянии 72 км от бензоколонки.

6.181 Если автомобиль будет ехать со скоростью $60 \text{ км/ч}$, он приедет из пункта $A$ в пункт $B$ в назначенное время. Проехав полпути со скоростью $60 \text{ км/ч}$, автомобиль увеличил скорость на $20 \text{ км/ч}$ и приехал в пункт $B$ на $1/4 \text{ часа}$ раньше назначенного времени. Определите, за какое время автомобиль должен был доехать от пункта $A$ до пункта $B$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние от пункта А до пункта В (в км).
• $T$ – запланированное время в пути (в часах), которое нам нужно найти.
• $v_1$ – запланированная скорость автомобиля, $v_1 = 60$ км/ч.
• $v_2$ – скорость автомобиля на второй половине пути, $v_2 = 60 + 20 = 80$ км/ч.
• $\Delta t$ – выигрыш во времени, $\Delta t = \frac{1}{4}$ часа (четверть часа).

Решение:

По условию, если бы автомобиль ехал весь путь с запланированной скоростью, он бы затратил время $T$. Связь между расстоянием, скоростью и временем выражается формулой $S = v \cdot t$. Таким образом, запланированное время равно:

$T = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{60}$

Рассмотрим реальное движение автомобиля. Весь путь можно разделить на два равных участка по $S/2$.

1. Первая половина пути:
Расстояние: $\frac{S}{2}$ км.
Скорость: $v_1 = 60$ км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути ($t_1$):
$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ часа.

2. Вторая половина пути:
Расстояние: $\frac{S}{2}$ км.
Скорость: $v_2 = 80$ км/ч.
Время, затраченное на вторую половину пути ($t_2$):
$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$ часа.

Общее время, которое автомобиль фактически затратил на весь путь, равно $T_{факт} = t_1 + t_2$.
$T_{факт} = \frac{S}{120} + \frac{S}{160}$

По условию, автомобиль приехал на четверть часа раньше запланированного времени. Это значит, что фактическое время меньше запланированного на $\frac{1}{4}$ часа.
$T - T_{факт} = \frac{1}{4}$

Подставим выражения для $T$ и $T_{факт}$ в это уравнение:

$\frac{S}{60} - (\frac{S}{120} + \frac{S}{160}) = \frac{1}{4}$

Можно заметить, что выигрыш во времени произошел только на второй половине пути. Запланированное время на вторую половину пути было бы $\frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$, а фактическое время составило $\frac{S}{160}$. Разница между ними и есть сэкономленное время:

$\frac{S}{120} - \frac{S}{160} = \frac{1}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $S$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 120 и 160 равно 480.

$\frac{4 \cdot S}{480} - \frac{3 \cdot S}{480} = \frac{1}{4}$

$\frac{4S - 3S}{480} = \frac{1}{4}$

$\frac{S}{480} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим расстояние $S$:

$S = \frac{480}{4} = 120$ км.

Теперь, зная общее расстояние, мы можем найти запланированное время $T$, за которое автомобиль должен был доехать от пункта А до пункта В.

$T = \frac{S}{v_1} = \frac{120 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

6.182 Автобус обычно проходит свой маршрут от начальной до конечной остановки за 54 мин. Однако во время часа пик его скорость была на 10 км/ч меньше, и через 45 мин ему ещё оставалось проехать 12 км. Чему равна обычная скорость автобуса?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ (км/ч) — это обычная скорость автобуса.

Длина маршрута $S$ (в км) остается постоянной. При обычной скорости автобус проходит этот маршрут за 54 минуты. Переведем минуты в часы, чтобы единицы измерения были согласованы: $t_{обычн} = 54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}$.

Тогда длину маршрута можно выразить через обычную скорость: $S = v \cdot t_{обычн} = v \cdot 0.9$

Во время часа пик скорость автобуса была на 10 км/ч меньше, то есть $v_{пик} = v - 10$ (км/ч). Автобус ехал в течение 45 минут. Переведем это время в часы: $t_{пик} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$.

За это время автобус проехал расстояние: $S_{проех} = v_{пик} \cdot t_{пик} = (v - 10) \cdot 0.75$

После этого ему еще оставалось проехать 12 км. Это означает, что вся длина маршрута $S$ равна сумме расстояния, которое он проехал, и расстояния, которое осталось проехать: $S = S_{проех} + 12 = (v - 10) \cdot 0.75 + 12$

Теперь у нас есть два выражения для одной и той же величины $S$. Мы можем их приравнять, чтобы составить уравнение и найти неизвестную скорость $v$: $0.9v = (v - 10) \cdot 0.75 + 12$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части: $0.9v = 0.75v - 10 \cdot 0.75 + 12$ $0.9v = 0.75v - 7.5 + 12$ $0.9v = 0.75v + 4.5$

Теперь перенесем все слагаемые с $v$ в левую часть уравнения: $0.9v - 0.75v = 4.5$ $0.15v = 4.5$

Чтобы найти $v$, разделим обе части уравнения на 0.15: $v = \frac{4.5}{0.15} = \frac{450}{15} = 30$

Таким образом, обычная скорость автобуса равна 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

6.183 Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 4 км, одновременно выходит пешеход и выезжает велосипедист. Велосипедист доезжает до пункта B, сразу поворачивает обратно и встречает пешехода через 24 мин после своего выезда из пункта A. Определите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что велосипедист проезжает в час на 10 км больше, чем проходит пешеход.

Дано:

Расстояние между пунктами А и В: $S = 4$ км.

Время от начала движения до встречи: $t = 24$ мин.

Скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода.

Найти:

Скорость пешехода ($v_{пеш}$) и скорость велосипедиста ($v_{вел}$).

Решение:

1. Введем переменные и приведем единицы измерения в соответствие.

Пусть $v_{пеш}$ – скорость пешехода в км/ч, а $v_{вел}$ – скорость велосипедиста в км/ч.Из условия задачи следует, что $v_{вел} = v_{пеш} + 10$.

Время движения до встречи дано в минутах. Для удобства расчетов переведем его в часы, так как скорость выражена в км/ч.

$t = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч} = 0.4 \text{ ч}$.

2. Проанализируем суммарное расстояние, пройденное участниками движения.

За время $t$ пешеход прошел расстояние $S_{пеш} = v_{пеш} \cdot t$.

Велосипедист за то же время $t$ проехал расстояние $S_{вел} = v_{вел} \cdot t$. Его путь состоял из отрезка АВ и части обратного пути от В до точки встречи.

К моменту встречи, суммарное расстояние, которое преодолели пешеход и велосипедист, равно удвоенному расстоянию между пунктами А и В. Это происходит потому, что велосипедист полностью покрыл расстояние АВ, а оставшуюся часть пути (от В до точки встречи) они с пешеходом (который шел от А до точки встречи) преодолели совместно, покрыв еще одно расстояние АВ.

Таким образом, можно составить уравнение: $S_{пеш} + S_{вел} = 2S$.

3. Составим и решим систему уравнений.

Подставив формулы для расстояний в наше равенство, получим:$v_{пеш} \cdot t + v_{вел} \cdot t = 2S$

Вынесем время $t$ за скобки:$(v_{пеш} + v_{вел}) \cdot t = 2S$

У нас есть система из двух уравнений:
1) $v_{вел} = v_{пеш} + 10$
2) $(v_{пеш} + v_{вел}) \cdot t = 2S$

Подставим выражение для $v_{вел}$ из первого уравнения во второе, а также числовые значения $S=4$ км и $t=0.4$ ч:

$(v_{пеш} + (v_{пеш} + 10)) \cdot 0.4 = 2 \cdot 4$

$(2v_{пеш} + 10) \cdot 0.4 = 8$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_{пеш}$. Разделим обе части на 0.4:

$2v_{пеш} + 10 = \frac{8}{0.4}$

$2v_{пеш} + 10 = 20$

$2v_{пеш} = 20 - 10$

$2v_{пеш} = 10$

$v_{пеш} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, скорость пешехода составляет 5 км/ч.

4. Найдем скорость велосипедиста.

Используем первое уравнение системы:$v_{вел} = v_{пеш} + 10 = 5 + 10 = 15$

Следовательно, скорость велосипедиста составляет 15 км/ч.

Ответ: скорость пешехода – 5 км/ч, скорость велосипедиста – 15 км/ч.