Номер 6.179, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.179 От автовокзала по шоссе выехал автобус со скоростью $45 \text{ км/ч}$. Через $20 \text{ мин}$ вслед за ним выехал автомобиль со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Через какое время после выезда автомобиля расстояние между ними будет равно $10 \text{ км}$?

Данная задача имеет два решения, поскольку автомобиль, двигаясь с большей скоростью, сначала догонит автобус, а затем обгонит его. Расстояние в 10 км между ними будет в двух случаях.

1. Расчет начальных условий

Сначала определим, какое расстояние было между транспортными средствами в момент выезда автомобиля. Автобус был в пути 20 минут. Переведем это время в часы:
$t_{форы} = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

За это время автобус, двигаясь со скоростью 45 км/ч, проехал:
$S_{форы} = 45 \text{ км/ч} \times \frac{1}{3} \text{ ч} = 15 \text{ км}$.
Таким образом, в момент старта автомобиля автобус был на 15 км впереди.

2. Расчет скорости сближения

Скорость, с которой автомобиль догоняет автобус (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_{автомобиля} - v_{автобуса} = 60 \text{ км/ч} - 45 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$.

Теперь рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Автомобиль догоняет автобус.

В этом случае автомобиль еще находится позади автобуса, и расстояние между ними должно сократиться с 15 км до 10 км. Для этого автомобилю нужно "наверстать" разницу в расстоянии:
$\Delta S_1 = 15 \text{ км} - 10 \text{ км} = 5 \text{ км}$.

Время, которое для этого потребуется, находим по формуле $t = S/v$:
$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_{сближения}} = \frac{5 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Переведем полученное время в минуты:
$t_1 = \frac{1}{3} \text{ ч} \times 60 = 20 \text{ минут}$.
Ответ: через 20 минут.

Случай 2: Автомобиль обогнал автобус.

В этом случае автомобиль должен сначала полностью догнать автобус (преодолеть 15 км), а затем оторваться от него вперед на 10 км. Общее расстояние, на которое автомобиль должен опередить автобус с момента своего старта, составляет:
$\Delta S_2 = 15 \text{ км} + 10 \text{ км} = 25 \text{ км}$.

Время, которое для этого потребуется:
$t_2 = \frac{\Delta S_2}{v_{сближения}} = \frac{25 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3} \text{ ч}$.

Переведем это время в часы и минуты:
$t_2 = \frac{5}{3} \text{ ч} = 1 \frac{2}{3} \text{ ч} = 1 \text{ час } 40 \text{ минут}$ (или 100 минут).
Ответ: через 1 час 40 минут.