Номер 6.185, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.185 Вниз по течению реки мимо пристани проплыл плот. Через 10 мин от этой пристани отошёл катер в том же направлении. Собственная скорость катера $35 \text{ км/ч}$, скорость течения реки $5 \text{ км/ч}$. Катер обогнал плот и причалил к следующей пристани, а через 11 мин мимо неё проплыл плот. Чему равно расстояние между пристанями?

Для решения задачи определим скорости объектов и составим уравнение на основе времени их движения.

1. Определение скоростей.

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя.$V_{плота} = V_{теч} = 5$ км/ч.

Катер движется вниз по течению, поэтому его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения.$V_{катера} = V_{соб} + V_{теч} = 35 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 40$ км/ч.

2. Анализ времени движения.

Пусть $S$ — искомое расстояние между пристанями в километрах.Время, за которое плот пройдет расстояние $S$, составляет:$T_{плота} = \frac{S}{V_{плота}} = \frac{S}{5}$ часов.

Время, за которое катер пройдет расстояние $S$, составляет:$T_{катера} = \frac{S}{V_{катера}} = \frac{S}{40}$ часов.

3. Составление уравнения.

Возьмем за точку отсчета момент, когда плот проплыл мимо первой пристани.Катер отошел от этой же пристани через 10 минут, то есть с задержкой.Задержка катера: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ часа} = \frac{1}{6}$ часа.

Плот прибыл ко второй пристани на 11 минут позже катера.Разница в прибытии: $t_2 = 11 \text{ мин} = \frac{11}{60}$ часа.

Общее время движения плота от первой до второй пристани ($T_{плота}$) можно выразить через общее время движения катера. Катер начал движение позже на $t_1$ и закончил раньше на $t_2$. Следовательно, плот был в пути на $t_1 + t_2$ дольше, чем катер.

Разница во времени движения плота и катера составляет:$T_{плота} - T_{катера} = t_1 + t_2$$T_{плота} - T_{катера} = 10 \text{ мин} + 11 \text{ мин} = 21 \text{ мин} = \frac{21}{60}$ часа.

Подставим выражения для $T_{плота}$ и $T_{катера}$:

$\frac{S}{5} - \frac{S}{40} = \frac{21}{60}$

4. Решение уравнения.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю (40):

$\frac{8S}{40} - \frac{S}{40} = \frac{21}{60}$

$\frac{7S}{40} = \frac{21}{60}$

Теперь выразим $S$:

$S = \frac{21}{60} \cdot \frac{40}{7}$

Сократим множители:

$S = \frac{21 \cdot 40}{60 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Таким образом, расстояние между пристанями составляет 2 км.

Ответ: 2 км.