Номер 6.191, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.191 Докажите, что:

a) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное;

б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное;

в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное;

г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.

а) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное;
Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ – целое число.
Любое нечётное число можно представить в виде $2m + 1$, где $m$ – целое число.
Найдём сумму этих чисел:
$S = 2k + (2m + 1) = 2k + 2m + 1$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S = 2(k + m) + 1$.
Так как $k$ и $m$ – целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим эту сумму как $p = k+m$.
Тогда сумма $S$ принимает вид $2p + 1$, что является общей формулой нечётного числа.
Следовательно, сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное.
Ответ: Утверждение доказано.

б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное;
Возьмём два нечётных числа. Их можно представить в виде $2k + 1$ и $2m + 1$, где $k$ и $m$ – целые числа.
Найдём их сумму:
$S = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S = 2(k + m + 1)$.
Так как $k$ и $m$ – целые числа, то выражение в скобках $(k + m + 1)$ также является целым числом. Обозначим это выражение как $p = k + m + 1$.
Тогда сумма $S$ принимает вид $2p$, что является общей формулой чётного числа.
Следовательно, сумма двух нечётных чисел есть число чётное.
Ответ: Утверждение доказано.

в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное;
Возьмём два последовательных натуральных числа. Их можно обозначить как $n$ и $n+1$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 1$).
Найдём их сумму:
$S = n + (n+1) = 2n + 1$.
Так как $n$ – натуральное (а значит, и целое) число, то выражение $2n+1$ по определению является нечётным числом.
Это также следует из пункта а), так как из двух последовательных натуральных чисел одно всегда чётное, а другое нечётное, а их сумма, как доказано, нечётна.
Ответ: Утверждение доказано.

г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.
Возьмём два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 1$).
Рассмотрим два возможных случая для числа $n$.
Случай 1: $n$ – чётное число.
Если $n$ чётное, его можно представить в виде $n=2k$, где $k$ – натуральное число.
Тогда их произведение $P = n(n+1) = 2k(2k+1) = 2 \cdot [k(2k+1)]$.
Так как произведение целых чисел есть целое число, то $P$ делится на 2, а значит является чётным.
Случай 2: $n$ – нечётное число.
Если $n$ нечётное, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным.
Пусть $n = 2k - 1$, где $k$ – натуральное число. Тогда $n+1 = (2k-1)+1=2k$.
Их произведение $P = n(n+1) = (2k-1)(2k) = 2 \cdot [k(2k-1)]$.
Произведение $P$ снова делится на 2, то есть является чётным числом.
Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные случаи. В каждом из них произведение оказалось чётным.
Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.
Ответ: Утверждение доказано.