Номер 6.193, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.193 а) Числа $a$ и $b$ при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4. Докажите, что $a + b$ делится на 7.

б) Числа $a$ и $b$ при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3. Докажите, что их сумма есть число чётное.

а) По определению деления с остатком, если число $a$ при делении на 7 дает в остатке 3, то его можно представить в виде $a = 7k + 3$, где $k$ – это неполное частное (целое число). Аналогично, если число $b$ при делении на 7 дает в остатке 4, то его можно представить в виде $b = 7m + 4$, где $m$ – также целое число.
Найдем сумму этих чисел:
$a + b = (7k + 3) + (7m + 4)$
Сгруппируем слагаемые:
$a + b = 7k + 7m + 3 + 4 = 7k + 7m + 7$
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$a + b = 7(k + m + 1)$
Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то их сумма, увеличенная на единицу, $(k + m + 1)$, также является целым числом. Таким образом, сумма $a + b$ представляет собой произведение числа 7 на целое число, что означает, что $a + b$ делится на 7 без остатка.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) По условию, число $a$ при делении на 6 дает в остатке 1. Это можно записать в виде $a = 6k + 1$, где $k$ – целое число. Число $b$ при делении на 6 дает в остатке 3, что можно записать как $b = 6m + 3$, где $m$ – целое число.
Найдем их сумму:
$a + b = (6k + 1) + (6m + 3)$
Сгруппируем слагаемые:
$a + b = 6k + 6m + 1 + 3 = 6k + 6m + 4$
Чтобы доказать, что их сумма является чётным числом, нужно показать, что она делится на 2. Для этого вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(3k + 3m + 2)$
Так как $k$ и $m$ – целые числа, то выражение в скобках $(3k + 3m + 2)$ также является целым числом. Следовательно, сумма $a + b$ является произведением числа 2 и целого числа, что по определению означает, что сумма $a + b$ – чётное число.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.