Номер 6.194, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.194 Докажите, что если числа $a$ и $b$ при делении на число $c$ дают один и тот же остаток, то их разность делится на $c$.

По определению деления с остатком, если число a при делении на число c дает неполное частное $q_1$ и остаток r, то это можно записать в виде равенства:

$a = c \cdot q_1 + r$

Аналогично, если число b при делении на то же число c дает неполное частное $q_2$ и тот же остаток r, то это записывается как:

$b = c \cdot q_2 + r$

Здесь $q_1$ и $q_2$ — целые числа (неполные частные), а r — остаток, для которого выполняется условие $0 \le r < |c|$.

Найдем разность чисел a и b, вычитая второе равенство из первого:

$a - b = (c \cdot q_1 + r) - (c \cdot q_2 + r)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a - b = c \cdot q_1 + r - c \cdot q_2 - r = c \cdot q_1 - c \cdot q_2$

Вынесем общий множитель c за скобки:

$a - b = c \cdot (q_1 - q_2)$

Поскольку $q_1$ и $q_2$ — целые числа, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как k, то есть $k = q_1 - q_2$.

Тогда разность a - b можно представить в виде:

$a - b = c \cdot k$

Это равенство по определению означает, что разность $(a - b)$ является произведением числа c и некоторого целого числа k. Следовательно, разность $(a - b)$ делится на c нацело (без остатка). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если числа a и b при делении на число c дают один и тот же остаток, их разность $(a-b)$ всегда делится на c.