Номер 2, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

Это правило можно записать в виде формулы для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Проиллюстрируйте на примере

Рассмотрим произведение степеней $4^2$ и $4^3$.

Согласно определению степени, число в степени $n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен этому числу.

$4^2 = 4 \cdot 4$
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$

Следовательно, произведение этих степеней можно записать как:

$4^2 \cdot 4^3 = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$

В итоговом произведении получилось 5 множителей, равных 4. Общее количество множителей равно сумме показателей степеней: $2 + 3 = 5$.

По определению степени, полученное произведение равно $4^5$. Таким образом, мы наглядно показали, что $4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3} = 4^5$.

Ответ: Пример: $4^2 \cdot 4^3 = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^5 = 4^{2+3}$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Доказательство основано на определении степени с натуральным показателем.

1. Запишем степень $a^m$ в виде произведения:
$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

2. Аналогично запишем степень $a^n$:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

3. Перемножим эти выражения:
$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}})$

4. Так как умножение ассоциативно, мы можем убрать скобки и получить одно большое произведение, состоящее из одинаковых множителей $a$. Общее число множителей в этом произведении будет равно сумме числа множителей из первого и второго выражений, то есть $m + n$.
$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ раз}}$

5. Согласно определению степени, произведение $m+n$ множителей, равных $a$, есть $a$ в степени $m+n$, то есть $a^{m+n}$.

Таким образом, мы доказали, что $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ доказывается через определение степени: произведение $a^m \cdot a^n$ содержит $(m+n)$ одинаковых множителей $a$, что по определению равно $a^{m+n}$.