Номер 3, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Правило деления степеней с одинаковыми основаниями формулируется следующим образом: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

В виде формулы это свойство записывается так:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

где $a$ — любое число, не равное нулю ($a \neq 0$), а $m$ и $n$ — натуральные числа, причем $m > n$.

Проиллюстрируем это правило на примере. Разделим $5^6$ на $5^4$.

Согласно правилу, мы должны оставить основание $5$ без изменений и вычесть показатели степеней:

$\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$

Проверим результат, вычислив значения степеней напрямую:

$5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 15625$

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$

Теперь выполним деление:

$\frac{15625}{625} = 25$

Результаты совпали, что подтверждает верность правила.

Ответ: Правило деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (для $a \neq 0$ и натуральных чисел $m, n$ при $m>n$). Пример: $\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

Докажите соответствующее свойство степени

Для доказательства свойства $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ воспользуемся определением степени с натуральным показателем. Пусть $a$ — ненулевое число, $m$ и $n$ — натуральные числа, и $m > n$.

По определению степени, $a^m$ — это произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a$, а $a^n$ — это произведение $n$ таких же множителей.

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Запишем частное $\frac{a^m}{a^n}$ в виде дроби, расписав числитель и знаменатель:

$\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m \text{ раз}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}}$

Так как $a \neq 0$, мы можем сократить эту дробь. В числителе находится $m$ множителей, а в знаменателе — $n$ множителей. Поскольку по условию $m > n$, мы можем сократить дробь на $n$ множителей $a$.

После сокращения в знаменателе останется $1$, а в числителе останется $m - n$ множителей $a$:

$\frac{a^m}{a^n} = \overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m-n \text{ раз}}$

Произведение $m-n$ множителей $a$ по определению степени равно $a^{m-n}$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство свойства основано на определении степени с натуральным показателем. Частное степеней записывается в виде дроби. В числителе оказывается $m$ множителей, равных основанию $a$, а в знаменателе — $n$ таких же множителей. При условии $a \neq 0$ и $m > n$, дробь можно сократить на $n$ множителей, в результате чего в числителе останется $m-n$ множителей $a$, что по определению равно $a^{m-n}$.