Номер 6.196, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.9. Деление с остатком (Узнайте больше). Глава 6. Многочлены - номер 6.196, страница 184.

Условие.

6.196 Докажите, что если числа $a$ и $b$ не делятся на $3$, то либо их сумма, либо их разность делится на $3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Это означает, что при делении на 3 они дают остаток, не равный нулю. Возможные остатки при делении любого целого числа на 3 — это 0, 1 или 2. Следовательно, остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.

Любое число, не кратное 3, можно представить в одном из двух видов: $3k+1$ или $3k+2$, где $k$ — некоторое целое число.

Рассмотрим все возможные случаи для чисел $a$ и $b$.

1. Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на 3.

В этом случае возможны два варианта:

• Оба числа имеют вид $3k+1$. Пусть $a = 3k_1 + 1$ и $b = 3k_2 + 1$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
  Найдем их разность: $a - b = (3k_1 + 1) - (3k_2 + 1) = 3k_1 - 3k_2 = 3(k_1 - k_2)$.
  Так как $k_1 - k_2$ — целое число, то разность $a - b$ делится на 3.
• Оба числа имеют вид $3k+2$. Пусть $a = 3k_1 + 2$ и $b = 3k_2 + 2$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
  Найдем их разность: $a - b = (3k_1 + 2) - (3k_2 + 2) = 3k_1 - 3k_2 = 3(k_1 - k_2)$.
  В этом случае разность $a - b$ также делится на 3.

Таким образом, если остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 одинаковы, то их разность делится на 3.

2. Числа $a$ и $b$ имеют различные остатки при делении на 3.

Поскольку возможные остатки — это 1 и 2, то одно из чисел должно иметь вид $3k+1$, а другое — $3k+2$.
Пусть $a = 3k_1 + 1$ и $b = 3k_2 + 2$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
Найдем их сумму: $a + b = (3k_1 + 1) + (3k_2 + 2) = 3k_1 + 3k_2 + 3 = 3(k_1 + k_2 + 1)$.
Так как $k_1 + k_2 + 1$ — целое число, то сумма $a + b$ делится на 3.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи. Если остатки от деления $a$ и $b$ на 3 одинаковы, то их разность делится на 3. Если остатки разные, то их сумма делится на 3. Следовательно, всегда либо сумма, либо разность чисел $a$ и $b$ будет делиться на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Если числа $a$ и $b$ не делятся на 3, они могут иметь остаток 1 или 2 при делении на 3. Если остатки у чисел $a$ и $b$ одинаковые, то их разность ($a-b$) будет кратна 3. Если остатки разные (одно дает остаток 1, другое — 2), то их сумма ($a+b$) будет кратна 3.