Номер 4, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

Это правило можно записать в виде формулы для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $n$ и $m$:

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Ответ: Правило возведения степени в степень: чтобы возвести степень в степень, основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Формула: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.

Проиллюстрируйте на примере

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере. Пусть нам нужно вычислить $(2^3)^2$.

Согласно правилу, мы должны умножить показатели степеней 3 и 2, оставив основание 2 без изменений:

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$

Для проверки выполним вычисления напрямую, без использования правила:

$(2^3)^2 = 8^2 = 64$

Теперь вычислим $2^6$:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Результаты совпали, что подтверждает верность правила.

Ответ: Пример: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Докажите соответствующее свойство степени

Докажем свойство $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ для любого числа $a$ и для любых натуральных показателей $n$ и $m$.

Исходя из определения степени, выражение $(a^n)^m$ означает, что степень $a^n$ умножается сама на себя $m$ раз:

$(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \dots \cdot a^n}_{m \text{ множителей}}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), мы можем сложить все показатели:

$\underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \dots \cdot a^n}_{m \text{ множителей}} = a^{\overbrace{n + n + \dots + n}^{m \text{ слагаемых}}}$

Сумма $m$ слагаемых, каждое из которых равно $n$, является произведением $n$ на $m$.

$a^{\overbrace{n + n + \dots + n}^{m \text{ слагаемых}}} = a^{n \cdot m}$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Свойство доказано.

Ответ: Доказательство: $(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}} = a^{\overbrace{n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}} = a^{n \cdot m}$.