Номер 6.197, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.197 Какой вид имеют числа, о которых известно, что они не де- лятся ни на 2, ни на 3?

Чтобы найти вид чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, проанализируем их свойства с точки зрения теории делимости.

1. Условие, что число не делится на 2, означает, что оно является нечетным.

2. Условие, что число не делится на 3, означает, что при делении на 3 оно дает остаток 1 или 2.

Рассмотрим остатки от деления целых чисел на $2 \times 3 = 6$. Любое целое число $n$ можно представить в одном из следующих шести видов, где $k$ — целое число:

• $n = 6k$
• $n = 6k + 1$
• $n = 6k + 2$
• $n = 6k + 3$
• $n = 6k + 4$
• $n = 6k + 5$

Теперь проверим каждый из этих видов на соответствие нашим условиям (неделимость на 2 и на 3):

• Число вида $n = 6k$. Оно делится на 2 (так как $6k = 2 \cdot 3k$) и на 3 (так как $6k = 3 \cdot 2k$). Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 1$. Оно не делится на 2 (так как является нечетным). При делении на 3 оно дает остаток 1. Этот вид нам подходит.
• Число вида $n = 6k + 2 = 2(3k + 1)$. Оно делится на 2. Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 3 = 3(2k + 1)$. Оно делится на 3. Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 4 = 2(3k + 2)$. Оно делится на 2. Этот вид нам не подходит.
• Число вида $n = 6k + 5$. Оно не делится на 2 (нечетное). При делении на 3 число $6k$ делится на 3, а 5 дает остаток 2, значит, и все число дает остаток 2. Этот вид нам подходит.

Таким образом, числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, имеют вид $6k + 1$ или $6k + 5$, где $k$ — любое целое число.

Заметим, что форму $6k+5$ можно также записать в виде $6(k+1) - 1$. Если считать, что $k$ может быть любым целым числом, то обе эти формы можно объединить в одну более компактную запись: $6k \pm 1$.

Ответ: числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, имеют вид $6k + 1$ или $6k + 5$, где $k$ — целое число. Альтернативная запись: $6k \pm 1$.