Номер 5, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения. Докажите соответствующее свойство степени.

Формулировка правила возведения в степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем полученные результаты перемножить.

В виде формулы это свойство степени для любых чисел $a$, $b$ и любого натурального числа $n$ записывается так:

$$(ab)^n = a^n b^n$$

Иллюстрация правила на примере

Проиллюстрируем это правило на примере выражения $(3 \cdot 4)^2$.

1-й способ. Сначала выполним умножение в скобках, а затем возведем в степень:

$$(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144$$

2-й способ. Воспользуемся сформулированным правилом:

$$(3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$$

Как видно, результаты совпадают, что и показывает справедливость правила.

Доказательство соответствующего свойства степени

Докажем, что для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$ справедливо равенство $(ab)^n = a^n b^n$.

Исходя из определения степени с натуральным показателем, $(ab)^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $(ab)$.

$$(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ множителей}}$$

Раскроем скобки. В силу переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного) свойств умножения, мы можем изменить порядок множителей и сгруппировать их:

$$ \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ раз}} $$

Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, по определению степени равно $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $b$, равно $b^n$.

$$(\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ раз}}) = a^n \cdot b^n$$

Таким образом, мы получили, что $(ab)^n = a^n b^n$. Свойство доказано.

Ответ: Правило возведения произведения в степень гласит: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Это правило выражается формулой $(ab)^n = a^n b^n$, которая доказывается на основе определения степени с натуральным показателем и свойств умножения.