Номер 12, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. Чему вы научились. Это надо знать - номер 12, страница 185.

Условие.

12 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению $(4x - 3y)(2y + x)$.

Решение 6.

Правило умножения многочлена на многочлен

Правило умножения многочлена на многочлен выводится из распределительного закона умножения. Чтобы перемножить два многочлена, например $(a+b)$ и $(c+d)$, можно представить это как умножение многочлена $(c+d)$ на каждый член многочлена $(a+b)$ поочередно, а затем сложить результаты:

$(a+b)(c+d) = a \cdot (c+d) + b \cdot (c+d) = ac + ad + bc + bd$

Этот пример иллюстрирует общее правило.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Применение правила к выражению $(4x - 3y)(2y + x)$

Чтобы перемножить многочлены $(4x - 3y)$ и $(2y + x)$, применим сформулированное выше правило. Нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго.

1. Умножим $4x$ (первый член первого многочлена) на многочлен $(2y + x)$:

$4x \cdot (2y + x) = (4x)(2y) + (4x)(x) = 8xy + 4x^2$

2. Умножим $-3y$ (второй член первого многочлена) на многочлен $(2y + x)$:

$(-3y) \cdot (2y + x) = (-3y)(2y) + (-3y)(x) = -6y^2 - 3xy$

3. Сложим полученные выражения:

$(4x - 3y)(2y + x) = (8xy + 4x^2) + (-6y^2 - 3xy)$

Раскроем скобки и получим многочлен:

$8xy + 4x^2 - 6y^2 - 3xy$

4. Приведём подобные слагаемые. Подобными являются $8xy$ и $-3xy$. Сгруппируем их и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $x$):

$4x^2 + (8xy - 3xy) - 6y^2$

Выполним вычитание в скобках:

$4x^2 + 5xy - 6y^2$

Ответ: $4x^2 + 5xy - 6y^2$.