Номер 2, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 Упростите выражение:

а) $-3xy^3 \cdot 2xy^2$;

б) $(-2a^2b)^3$;

в) $(-x^3y^2)^4$.

а) Чтобы упростить выражение $-3xy^3 \cdot 2xy^2$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, согласно свойству степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Сгруппируем множители по коэффициентам и переменным:
$-3xy^3 \cdot 2xy^2 = (-3 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)$
Выполним умножение для каждой группы:
$-3 \cdot 2 = -6$
$x \cdot x = x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$
$y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5$
Объединим результаты:
$-6x^2y^5$
Ответ: $-6x^2y^5$

б) Чтобы упростить выражение $(-2a^2b)^3$, нужно возвести в третью степень каждый множитель в скобках. Для этого используем свойства степени: $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^1)^3$
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^3 = -8$
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
$(b^1)^3 = b^{1 \cdot 3} = b^3$
Объединим результаты:
$-8a^6b^3$
Ответ: $-8a^6b^3$

в) Чтобы упростить выражение $(-x^3y^2)^4$, нужно возвести в четвертую степень каждый множитель в скобках, включая знак минус (который можно представить как множитель $-1$). Используем те же свойства степени, что и в предыдущем пункте.
$(-x^3y^2)^4 = (-1 \cdot x^3y^2)^4 = (-1)^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^2)^4$
Поскольку степень четная (4), то $(-1)^4 = 1$, и итоговое выражение будет положительным.
Возведем в степень переменные:
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$
$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$
Объединим результаты:
$1 \cdot x^{12} \cdot y^8 = x^{12}y^8$
Ответ: $x^{12}y^8$