Номер 13, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. Чему вы научились. Это надо знать - номер 13, страница 185.

Условие.

13 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их.

Формула квадрата суммы:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Формула квадрата разности:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Решение 6.

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула выглядит следующим образом:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Доказательство:

По определению, квадрат выражения — это произведение этого выражения на само себя. Следовательно, мы можем записать:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго, используя распределительный закон умножения:

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$, а также то, что умножение коммутативно ($a \cdot b = b \cdot a$), приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что тождество $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ верно.

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Формула квадрата разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула выглядит следующим образом:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство:

Доказательство аналогично предыдущему. Представим квадрат разности как произведение выражения на само себя:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

Раскроем скобки:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что тождество $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ верно.

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$