Страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Правило деления степеней с одинаковыми основаниями формулируется следующим образом: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

В виде формулы это свойство записывается так:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

где $a$ — любое число, не равное нулю ($a \neq 0$), а $m$ и $n$ — натуральные числа, причем $m > n$.

Проиллюстрируем это правило на примере. Разделим $5^6$ на $5^4$.

Согласно правилу, мы должны оставить основание $5$ без изменений и вычесть показатели степеней:

$\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$

Проверим результат, вычислив значения степеней напрямую:

$5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 15625$

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$

Теперь выполним деление:

$\frac{15625}{625} = 25$

Результаты совпали, что подтверждает верность правила.

Ответ: Правило деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (для $a \neq 0$ и натуральных чисел $m, n$ при $m>n$). Пример: $\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

Докажите соответствующее свойство степени

Для доказательства свойства $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ воспользуемся определением степени с натуральным показателем. Пусть $a$ — ненулевое число, $m$ и $n$ — натуральные числа, и $m > n$.

По определению степени, $a^m$ — это произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a$, а $a^n$ — это произведение $n$ таких же множителей.

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Запишем частное $\frac{a^m}{a^n}$ в виде дроби, расписав числитель и знаменатель:

$\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m \text{ раз}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}}$

Так как $a \neq 0$, мы можем сократить эту дробь. В числителе находится $m$ множителей, а в знаменателе — $n$ множителей. Поскольку по условию $m > n$, мы можем сократить дробь на $n$ множителей $a$.

После сокращения в знаменателе останется $1$, а в числителе останется $m - n$ множителей $a$:

$\frac{a^m}{a^n} = \overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m-n \text{ раз}}$

Произведение $m-n$ множителей $a$ по определению степени равно $a^{m-n}$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство свойства основано на определении степени с натуральным показателем. Частное степеней записывается в виде дроби. В числителе оказывается $m$ множителей, равных основанию $a$, а в знаменателе — $n$ таких же множителей. При условии $a \neq 0$ и $m > n$, дробь можно сократить на $n$ множителей, в результате чего в числителе останется $m-n$ множителей $a$, что по определению равно $a^{m-n}$.

4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

Это правило можно записать в виде формулы для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $n$ и $m$:

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Ответ: Правило возведения степени в степень: чтобы возвести степень в степень, основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Формула: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.

Проиллюстрируйте на примере

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере. Пусть нам нужно вычислить $(2^3)^2$.

Согласно правилу, мы должны умножить показатели степеней 3 и 2, оставив основание 2 без изменений:

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$

Для проверки выполним вычисления напрямую, без использования правила:

$(2^3)^2 = 8^2 = 64$

Теперь вычислим $2^6$:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Результаты совпали, что подтверждает верность правила.

Ответ: Пример: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Докажите соответствующее свойство степени

Докажем свойство $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ для любого числа $a$ и для любых натуральных показателей $n$ и $m$.

Исходя из определения степени, выражение $(a^n)^m$ означает, что степень $a^n$ умножается сама на себя $m$ раз:

$(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \dots \cdot a^n}_{m \text{ множителей}}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), мы можем сложить все показатели:

$\underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \dots \cdot a^n}_{m \text{ множителей}} = a^{\overbrace{n + n + \dots + n}^{m \text{ слагаемых}}}$

Сумма $m$ слагаемых, каждое из которых равно $n$, является произведением $n$ на $m$.

$a^{\overbrace{n + n + \dots + n}^{m \text{ слагаемых}}} = a^{n \cdot m}$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Свойство доказано.

Ответ: Доказательство: $(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}} = a^{\overbrace{n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}} = a^{n \cdot m}$.

5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения. Докажите соответствующее свойство степени.

Формулировка правила возведения в степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем полученные результаты перемножить.

В виде формулы это свойство степени для любых чисел $a$, $b$ и любого натурального числа $n$ записывается так:

$$(ab)^n = a^n b^n$$

Иллюстрация правила на примере

Проиллюстрируем это правило на примере выражения $(3 \cdot 4)^2$.

1-й способ. Сначала выполним умножение в скобках, а затем возведем в степень:

$$(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144$$

2-й способ. Воспользуемся сформулированным правилом:

$$(3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$$

Как видно, результаты совпадают, что и показывает справедливость правила.

Доказательство соответствующего свойства степени

Докажем, что для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$ справедливо равенство $(ab)^n = a^n b^n$.

Исходя из определения степени с натуральным показателем, $(ab)^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $(ab)$.

$$(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ множителей}}$$

Раскроем скобки. В силу переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного) свойств умножения, мы можем изменить порядок множителей и сгруппировать их:

$$ \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ раз}} $$

Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, по определению степени равно $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $b$, равно $b^n$.

$$(\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ раз}}) = a^n \cdot b^n$$

Таким образом, мы получили, что $(ab)^n = a^n b^n$. Свойство доказано.

Ответ: Правило возведения произведения в степень гласит: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Это правило выражается формулой $(ab)^n = a^n b^n$, которая доказывается на основе определения степени с натуральным показателем и свойств умножения.

6. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения в степень дроби

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно ее числитель и знаменатель, и первый результат записать в числитель новой дроби, а второй — в ее знаменатель.
В виде формулы это правило для любых чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$) и любого натурального числа $n$ можно записать так:
$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.

Проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби

Возьмем дробь $ \frac{3}{4} $ и возведем ее во вторую степень (в квадрат).
Согласно правилу, мы должны возвести в квадрат числитель и знаменатель по отдельности:
$ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $
Этот же результат можно получить, если воспользоваться определением степени и умножить дробь саму на себя:
$ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16} $
Совпадение результатов наглядно иллюстрирует справедливость правила.

Ответ: Например, $ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $.

Докажите соответствующее свойство степени

Докажем, что для любых чисел $a$ и $b$ (при $b \neq 0$) и любого натурального числа $n$ справедливо равенство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $.
1. По определению степени с натуральным показателем, выражение $ (\frac{a}{b})^n $ представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен дроби $ \frac{a}{b} $:
$ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} $
2. Согласно правилу умножения дробей, произведение нескольких дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
$ \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} $
3. Произведение $n$ множителей, равных $a$, по определению степени есть $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, равных $b$, есть $b^n$. Таким образом, мы получаем:
$ \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n} $
4. Сопоставляя начало и конец цепочки равенств, приходим к выводу, что $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $. Свойство доказано.

Ответ: Доказательство основано на определении степени как многократного умножения и правиле умножения дробей: $ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n} = \frac{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n}}{\underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n}} = \frac{a^n}{b^n} $.

7 Приведите пример одночлена стандартного вида. Чему равен его коэффициент?

Приведите пример одночлена стандартного вида.

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней.

Одночлен называется записанным в стандартном виде, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. На первом месте стоит единственный числовой множитель, называемый коэффициентом.

2. За ним следуют переменные в виде степеней, причем каждая переменная встречается в записи только один раз. Обычно переменные располагают в алфавитном порядке.

Например, выражение $3x \cdot 5y \cdot x^2$ не является одночленом стандартного вида. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями:

$3x \cdot 5y \cdot x^2 = (3 \cdot 5) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = 15x^3y$

Теперь выражение $15x^3y$ является одночленом стандартного вида.

Ответ: Примером одночлена стандартного вида является $15x^3y$.

Чему равен его коэффициент?

Коэффициент одночлена стандартного вида — это его числовой множитель.

В нашем примере, $15x^3y$, числовым множителем является число $15$. Это и есть коэффициент данного одночлена.

Следует помнить, что:

• Если у одночлена, содержащего переменные, нет видимого числового множителя (например, $a^2b$), то его коэффициент равен $1$, так как $a^2b$ — это то же самое, что и $1 \cdot a^2b$.
• Если перед одночленом стоит только знак минус (например, $-c^4$), то его коэффициент равен $-1$, так как $-c^4$ — это то же самое, что и $-1 \cdot c^4$.

Ответ: Коэффициент одночлена $15x^3y$ равен $15$.

8 Какое выражение называют многочленом? Приведите пример двучлена; трёхчлена.

Многочленом называют алгебраическое выражение, которое представляет собой сумму одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Сам одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями.
Например, в многочлене $4a^2b - 3ab^2 + b - 5$ членами являются одночлены $4a^2b$, $-3ab^2$, $b$ и $-5$.

двучлена
Двучлен (или бином) — это многочлен, который состоит из двух членов.
Например, выражения $x+y$ или $7a^3 - 2b^2$ являются двучленами.
Ответ: $x+y$

трехчлена
Трехчлен — это многочлен, который состоит из трех членов.
Например, выражения $a+b+c$ или $x^2 - 5x + 6$ являются трехчленами.
Ответ: $x^2 - 5x + 6$

9 На примере многочлена $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо последовательно выполнить два действия: привести каждый член многочлена к стандартному виду и затем привести подобные члены (слагаемые).

Рассмотрим данный в задаче многочлен: $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$.

Шаг 1. Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду.

Одночлен (член многочлена) считается записанным в стандартном виде, если он представляет собой произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Проанализируем каждый член нашего многочлена:

Члены $5xy^2$, $-x^2y$ и $7x^2y$ уже находятся в стандартном виде.

Член $-2xy \cdot 3y$ не в стандартном виде, поскольку в нем есть два числовых множителя ($-2$ и $3$) и переменная $y$ встречается дважды. Чтобы привести его к стандартному виду, нужно перемножить числовые множители и сгруппировать одинаковые переменные:

$-2xy \cdot 3y = (-2 \cdot 3) \cdot x \cdot (y \cdot y) = -6xy^2$.

Теперь многочлен можно переписать, заменив член $-2xy \cdot 3y$ его стандартным видом:

$5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$.

Шаг 2. Приведение подобных членов.

Подобными членами называются члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть. В полученном многочлене $5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$ найдем и сгруппируем подобные члены.

Первая группа подобных членов имеет буквенную часть $x^2y$: это $-x^2y$ и $7x^2y$.

Вторая группа подобных членов имеет буквенную часть $xy^2$: это $5xy^2$ и $-6xy^2$.

Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Для первой группы: $-x^2y + 7x^2y = (-1 + 7)x^2y = 6x^2y$.

Для второй группы: $5xy^2 - 6xy^2 = (5 - 6)xy^2 = -1xy^2 = -xy^2$.

Шаг 3. Запись итогового многочлена стандартного вида.

Многочлен стандартного вида — это сумма одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных. Запишем полученные на предыдущем шаге результаты в виде одного многочлена. Обычно члены многочлена стандартного вида располагают в порядке убывания их степеней. Степень каждого из наших членов ($6x^2y$ и $-xy^2$) равна $3$, поэтому их можно расположить в любом порядке. Традиционно их располагают в лексикографическом порядке (по алфавиту).

Итоговый многочлен в стандартном виде: $6x^2y - xy^2$.

Ответ: Процесс приведения многочлена к стандартному виду заключается в приведении каждого его члена к стандартному виду и последующем сложении подобных членов. В результате многочлен $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ приводится к стандартному виду $6x^2y - xy^2$.

10 На примере многочленов $3x^2 - 8x + 4$ и $2x^2 + 6x - 3$ покажите, как находят сумму и разность многочленов.

Для того чтобы показать, как находят сумму и разность многочленов $3x^2 - 8x + 4$ и $2x^2 + 6x - 3$, выполним эти действия пошагово.

Сумма многочленов

Чтобы найти сумму многочленов, необходимо сложить их, затем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называются члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть (в данном случае, одинаковую степень переменной $x$).

Запишем сумму данных многочленов:

$(3x^2 - 8x + 4) + (2x^2 + 6x - 3)$

Так как перед скобками стоит знак плюс (или он отсутствует), мы можем просто убрать скобки, сохранив знаки всех слагаемых:

$3x^2 - 8x + 4 + 2x^2 + 6x - 3$

Теперь сгруппируем подобные члены:

$(3x^2 + 2x^2) + (-8x + 6x) + (4 - 3)$

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$5x^2 - 2x + 1$

Ответ: $5x^2 - 2x + 1$

Разность многочленов

Чтобы найти разность многочленов, необходимо из первого многочлена вычесть второй. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные.

Запишем разность данных многочленов:

$(3x^2 - 8x + 4) - (2x^2 + 6x - 3)$

Раскроем скобки, меняя знаки у членов второго многочлена:

$3x^2 - 8x + 4 - 2x^2 - 6x + 3$

Сгруппируем подобные члены:

$(3x^2 - 2x^2) + (-8x - 6x) + (4 + 3)$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

$x^2 - 14x + 7$

Ответ: $x^2 - 14x + 7$

11 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению $2ab(4a - 5b - 1)$.

Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Примените его к выражению $2ab(4a - 5b - 1)$

Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $2ab(4a - 5b - 1)$, мы применим правило умножения одночлена на многочлен. Мы умножим одночлен $2ab$ на каждый член многочлена $(4a - 5b - 1)$ поочередно.

1. Умножаем $2ab$ на первый член многочлена $4a$:
$2ab \cdot 4a = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 8a^2b$

2. Умножаем $2ab$ на второй член многочлена $-5b$ (умножаем с учетом знака):
$2ab \cdot (-5b) = (2 \cdot -5) \cdot a \cdot (b \cdot b) = -10ab^2$

3. Умножаем $2ab$ на третий член многочлена $-1$ (умножаем с учетом знака):
$2ab \cdot (-1) = -2ab$

Теперь сложим все полученные произведения, чтобы получить итоговый многочлен: $8a^2b + (-10ab^2) + (-2ab) = 8a^2b - 10ab^2 - 2ab$

Ответ: $8a^2b - 10ab^2 - 2ab$.

12 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению $(4x - 3y)(2y + x)$.

Правило умножения многочлена на многочлен

Правило умножения многочлена на многочлен выводится из распределительного закона умножения. Чтобы перемножить два многочлена, например $(a+b)$ и $(c+d)$, можно представить это как умножение многочлена $(c+d)$ на каждый член многочлена $(a+b)$ поочередно, а затем сложить результаты:

$(a+b)(c+d) = a \cdot (c+d) + b \cdot (c+d) = ac + ad + bc + bd$

Этот пример иллюстрирует общее правило.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Применение правила к выражению $(4x - 3y)(2y + x)$

Чтобы перемножить многочлены $(4x - 3y)$ и $(2y + x)$, применим сформулированное выше правило. Нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго.

1. Умножим $4x$ (первый член первого многочлена) на многочлен $(2y + x)$:

$4x \cdot (2y + x) = (4x)(2y) + (4x)(x) = 8xy + 4x^2$

2. Умножим $-3y$ (второй член первого многочлена) на многочлен $(2y + x)$:

$(-3y) \cdot (2y + x) = (-3y)(2y) + (-3y)(x) = -6y^2 - 3xy$

3. Сложим полученные выражения:

$(4x - 3y)(2y + x) = (8xy + 4x^2) + (-6y^2 - 3xy)$

Раскроем скобки и получим многочлен:

$8xy + 4x^2 - 6y^2 - 3xy$

4. Приведём подобные слагаемые. Подобными являются $8xy$ и $-3xy$. Сгруппируем их и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $x$):

$4x^2 + (8xy - 3xy) - 6y^2$

Выполним вычитание в скобках:

$4x^2 + 5xy - 6y^2$

Ответ: $4x^2 + 5xy - 6y^2$.

13 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их.

Формула квадрата суммы:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Формула квадрата разности:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула выглядит следующим образом:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Доказательство:

По определению, квадрат выражения — это произведение этого выражения на само себя. Следовательно, мы можем записать:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго, используя распределительный закон умножения:

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$, а также то, что умножение коммутативно ($a \cdot b = b \cdot a$), приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что тождество $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ верно.

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Формула квадрата разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула выглядит следующим образом:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство:

Доказательство аналогично предыдущему. Представим квадрат разности как произведение выражения на само себя:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

Раскроем скобки:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что тождество $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ верно.

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1 Выполните действие, воспользовавшись соответствующим свойством степени:

a) $a^5 \cdot a^3$

б) $a^8 : a^6$

в) $(a^2)^4$

г) $(ab)^6$

д) $\left(\frac{a}{b}\right)^3$

а) Для выполнения этого действия воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. В данном случае основание — это $a$, а показатели — 5 и 3.

$a^5 \cdot a^3 = a^{5+3} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

б) Здесь применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя. Основание — $a$, показатели — 8 и 6.

$a^8 : a^6 = a^{8-6} = a^2$.

Ответ: $a^2$.

в) Для этого примера используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Основание — $a$, показатели — 2 и 4.

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

г) В этом случае применяется свойство возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$. Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Множители — $a$ и $b$, показатель степени — 6.

$(ab)^6 = a^6 b^6$.

Ответ: $a^6 b^6$.

д) Здесь используется свойство возведения частного (дроби) в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Числитель — $a$, знаменатель — $b$, показатель степени — 3.

$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$.

Ответ: $\frac{a^3}{b^3}$.

2 Упростите выражение:

а) $-3xy^3 \cdot 2xy^2$;

б) $(-2a^2b)^3$;

в) $(-x^3y^2)^4$.

а) Чтобы упростить выражение $-3xy^3 \cdot 2xy^2$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, согласно свойству степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Сгруппируем множители по коэффициентам и переменным:
$-3xy^3 \cdot 2xy^2 = (-3 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)$
Выполним умножение для каждой группы:
$-3 \cdot 2 = -6$
$x \cdot x = x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$
$y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5$
Объединим результаты:
$-6x^2y^5$
Ответ: $-6x^2y^5$

б) Чтобы упростить выражение $(-2a^2b)^3$, нужно возвести в третью степень каждый множитель в скобках. Для этого используем свойства степени: $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^1)^3$
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^3 = -8$
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
$(b^1)^3 = b^{1 \cdot 3} = b^3$
Объединим результаты:
$-8a^6b^3$
Ответ: $-8a^6b^3$

в) Чтобы упростить выражение $(-x^3y^2)^4$, нужно возвести в четвертую степень каждый множитель в скобках, включая знак минус (который можно представить как множитель $-1$). Используем те же свойства степени, что и в предыдущем пункте.
$(-x^3y^2)^4 = (-1 \cdot x^3y^2)^4 = (-1)^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^2)^4$
Поскольку степень четная (4), то $(-1)^4 = 1$, и итоговое выражение будет положительным.
Возведем в степень переменные:
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$
$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$
Объединим результаты:
$1 \cdot x^{12} \cdot y^8 = x^{12}y^8$
Ответ: $x^{12}y^8$

3 Сократите дробь:

а) $\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 x}$;

б) $\frac{12a^3 c}{18a^2 c^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 x}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители. Воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Сократим степени с основанием $c$:
$\frac{c^5}{c^3} = c^{5-3} = c^2$
Сократим степени с основанием $x$ (учитывая, что $x = x^1$):
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x^1 = x$
Теперь перемножим полученные результаты: $c^2 \cdot x = c^2x$.
Следовательно, исходная дробь сокращается до $c^2x$.
Ответ: $c^2x$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{12a^3c}{18a^2c^3}$, мы сократим отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала сократим числовые коэффициенты 12 и 18. Их наибольший общий делитель равен 6:
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
Теперь сократим степени переменных, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
Для переменной $a$:
$\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a^1 = a$
Для переменной $c$ (учитывая, что $c = c^1$):
$\frac{c}{c^3} = \frac{c^1}{c^3} = c^{1-3} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$
Объединим все полученные части: $\frac{2}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{c^2}$.
В результате получаем: $\frac{2a}{3c^2}$.
Ответ: $\frac{2a}{3c^2}$

4 Найдите значение выражения:

а) $1,5x - 2y$ при $x = \frac{1}{3}$, $y = 0,3$;

б) $0,5x^3$ при $x = -2$;

в) $3x^2 - 5x + 4$ при $x = -1$;

г) $-0,4x^3 + 2,5y$ при $x = -5$, $y = -8$.

а) Чтобы найти значение выражения $1,5x - 2y$ при $x = \frac{1}{3}$ и $y = 0,3$, нужно подставить указанные значения переменных в выражение и выполнить вычисления.
Подставляем значения:
$1,5 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot 0,3$
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot 0,3$
Выполним умножение:
1) $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} = 0,5$
2) $2 \cdot 0,3 = 0,6$
Теперь выполним вычитание:
$0,5 - 0,6 = -0,1$
Ответ: $-0,1$.

б) Подставим значение $x = -2$ в выражение $0,5x^3$.
$0,5 \cdot (-2)^3$
Сначала возведем в степень:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$
Теперь выполним умножение:
$0,5 \cdot (-8) = -4$
Ответ: $-4$.

в) Подставим значение $x = -1$ в выражение $3x^2 - 5x + 4$.
$3 \cdot (-1)^2 - 5 \cdot (-1) + 4$
Выполним действия в соответствии с их порядком:
1) Возведение в степень: $(-1)^2 = 1$
2) Умножение: $3 \cdot 1 = 3$ и $-5 \cdot (-1) = 5$
3) Сложение: $3 + 5 + 4 = 12$
Итоговое значение: $3 + 5 + 4 = 12$.
Ответ: $12$.

г) Подставим значения $x = -5$ и $y = -8$ в выражение $-0,4x^3 + 2,5y$.
$-0,4 \cdot (-5)^3 + 2,5 \cdot (-8)$
Выполним действия по порядку:
1) Возведение в степень: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$
2) Первое умножение: $-0,4 \cdot (-125) = 0,4 \cdot 125 = 50$
3) Второе умножение: $2,5 \cdot (-8) = -20$
4) Сложение: $50 + (-20) = 50 - 20 = 30$
Итоговое значение: $50 - 20 = 30$.
Ответ: $30$.