Страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.184 Прогулочный речной катер на маршрут к базе отдыха и обратно затрачивает $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$. На каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха, если собственная скорость катера $35 \text{ км/ч}$, скорость течения реки $5 \text{ км/ч}$ и возле базы отдыха катер делает остановку на $1,5 \text{ ч}$?

1. Сначала найдем чистое время движения катера, вычтя из общего времени продолжительность остановки. Общее время, затраченное на весь маршрут, составляет 2 часа 40 минут.

Переведем минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Следовательно, общее время равно $2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

Время остановки составляет 1,5 часа или $\frac{3}{2}$ часа.

Время, которое катер находился в движении: $t_{движ} = \frac{8}{3} - \frac{3}{2} = \frac{16}{6} - \frac{9}{6} = \frac{7}{6}$ часа.

2. Теперь определим скорость катера при движении по течению и против течения.

Собственная скорость катера: $v_{соб} = 35 \text{ км/ч}$.

Скорость течения реки: $v_{теч} = 5 \text{ км/ч}$.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 35 + 5 = 40 \text{ км/ч}$.

Скорость катера против течения: $v_{пр} = v_{соб} - v_{теч} = 35 - 5 = 30 \text{ км/ч}$.

3. Обозначим искомое расстояние от начала маршрута до базы отдыха через $S$. Время, затраченное на путь в одну сторону, равно $\frac{S}{v}$. Составим уравнение, используя общее время движения:

$\frac{S}{v_{по}} + \frac{S}{v_{пр}} = t_{движ}$

$\frac{S}{40} + \frac{S}{30} = \frac{7}{6}$

4. Решим полученное уравнение относительно $S$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 120:

$\frac{3 \cdot S}{120} + \frac{4 \cdot S}{120} = \frac{7}{6}$

$\frac{3S + 4S}{120} = \frac{7}{6}$

$\frac{7S}{120} = \frac{7}{6}$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на $\frac{120}{7}$:

$S = \frac{7}{6} \cdot \frac{120}{7}$

$S = \frac{120}{6}$

$S = 20$

Расстояние до базы отдыха составляет 20 км.

Ответ: 20 км.

6.185 Вниз по течению реки мимо пристани проплыл плот. Через 10 мин от этой пристани отошёл катер в том же направлении. Собственная скорость катера $35 \text{ км/ч}$, скорость течения реки $5 \text{ км/ч}$. Катер обогнал плот и причалил к следующей пристани, а через 11 мин мимо неё проплыл плот. Чему равно расстояние между пристанями?

Для решения задачи определим скорости объектов и составим уравнение на основе времени их движения.

1. Определение скоростей.

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя.$V_{плота} = V_{теч} = 5$ км/ч.

Катер движется вниз по течению, поэтому его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения.$V_{катера} = V_{соб} + V_{теч} = 35 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 40$ км/ч.

2. Анализ времени движения.

Пусть $S$ — искомое расстояние между пристанями в километрах.Время, за которое плот пройдет расстояние $S$, составляет:$T_{плота} = \frac{S}{V_{плота}} = \frac{S}{5}$ часов.

Время, за которое катер пройдет расстояние $S$, составляет:$T_{катера} = \frac{S}{V_{катера}} = \frac{S}{40}$ часов.

3. Составление уравнения.

Возьмем за точку отсчета момент, когда плот проплыл мимо первой пристани.Катер отошел от этой же пристани через 10 минут, то есть с задержкой.Задержка катера: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ часа} = \frac{1}{6}$ часа.

Плот прибыл ко второй пристани на 11 минут позже катера.Разница в прибытии: $t_2 = 11 \text{ мин} = \frac{11}{60}$ часа.

Общее время движения плота от первой до второй пристани ($T_{плота}$) можно выразить через общее время движения катера. Катер начал движение позже на $t_1$ и закончил раньше на $t_2$. Следовательно, плот был в пути на $t_1 + t_2$ дольше, чем катер.

Разница во времени движения плота и катера составляет:$T_{плота} - T_{катера} = t_1 + t_2$$T_{плота} - T_{катера} = 10 \text{ мин} + 11 \text{ мин} = 21 \text{ мин} = \frac{21}{60}$ часа.

Подставим выражения для $T_{плота}$ и $T_{катера}$:

$\frac{S}{5} - \frac{S}{40} = \frac{21}{60}$

4. Решение уравнения.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю (40):

$\frac{8S}{40} - \frac{S}{40} = \frac{21}{60}$

$\frac{7S}{40} = \frac{21}{60}$

Теперь выразим $S$:

$S = \frac{21}{60} \cdot \frac{40}{7}$

Сократим множители:

$S = \frac{21 \cdot 40}{60 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Таким образом, расстояние между пристанями составляет 2 км.

Ответ: 2 км.

6.186 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу, в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на $460 \text{ см}^2$ больше, чем она занимала без окантовки. Найдите размеры и площадь картинки.

Обозначим сторону квадратной картинки через $x$ см.

Тогда площадь картинки без окантовки составляет $S_{картинки} = x^2$ см².

После того как картинку наклеили на бумагу, вокруг нее образовалась окантовка шириной 5 см. Это значит, что размеры нового, большего квадрата (картинка вместе с окантовкой) увеличились. Новая сторона стала равна исходной стороне плюс ширина окантовки с двух сторон:

Сторона с окантовкой $= x + 5 + 5 = x + 10$ см.

Площадь картинки вместе с окантовкой составляет $S_{общая} = (x + 10)^2$ см².

По условию задачи, площадь с окантовкой стала на 460 см² больше, чем площадь без окантовки. Это означает, что площадь самой окантовки равна 460 см². Площадь окантовки можно вычислить как разность общей площади и площади картинки.

Составим и решим уравнение:

$S_{общая} - S_{картинки} = 460$

$(x + 10)^2 - x^2 = 460$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) - x^2 = 460$

$x^2 + 20x + 100 - x^2 = 460$

Сократим $x^2$ и $-x^2$:

$20x + 100 = 460$

Перенесем 100 в правую часть уравнения:

$20x = 460 - 100$

$20x = 360$

$x = \frac{360}{20}$

$x = 18$

Итак, мы нашли сторону исходной квадратной картинки — она равна 18 см.

Найдем размеры и площадь картинки:

Размеры картинки (длина и ширина) равны 18 см.

Площадь картинки вычисляется по формуле $S = x^2$:

$S_{картинки} = 18^2 = 324$ см².

Ответ: размеры картинки — 18 см × 18 см, площадь картинки — 324 см².

6.187 у Наташи есть аквариум с прямоугольным дном, одна сторона которого на 16 см больше другой. Она заменила его большим аквариумом, длина и ширина дна которого на 4 см больше. Она заметила, что если заполнить этот аквариум водой на высоту 30 см, то потребуется на 6 л больше воды, чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же высоту. Найдите размеры дна нового аквариума.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ см – это ширина дна старого аквариума. Согласно условию, другая сторона (длина) на 16 см больше, то есть ее размер составляет $(x + 16)$ см.

Площадь дна старого аквариума можно выразить как произведение его сторон: $S_{старый} = x \cdot (x + 16)$ см².

Наташа заменила аквариум на новый, у которого длина и ширина дна на 4 см больше соответствующих размеров старого. Таким образом, размеры дна нового аквариума будут:

Ширина нового аквариума: $x + 4$ см.

Длина нового аквариума: $(x + 16) + 4 = x + 20$ см.

Площадь дна нового аквариума: $S_{новый} = (x + 4) \cdot (x + 20)$ см².

Объем воды в аквариуме вычисляется по формуле $V = S_{дна} \cdot h$, где $h$ – высота уровня воды. По условию, в оба аквариума наливают воду до высоты $h = 30$ см.

Объем воды в старом аквариуме: $V_{старый} = S_{старый} \cdot h = x(x + 16) \cdot 30$ см³.

Объем воды в новом аквариуме: $V_{новый} = S_{новый} \cdot h = (x + 4)(x + 20) \cdot 30$ см³.

Известно, что для заполнения нового аквариума потребовалось на 6 литров воды больше. Прежде всего, переведем литры в кубические сантиметры, зная, что 1 л = 1000 см³: $6$ л $= 6 \cdot 1000 = 6000$ см³.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу в объемах: $V_{новый} - V_{старый} = 6000$

Подставим выражения для объемов: $30 \cdot (x + 4)(x + 20) - 30 \cdot x(x + 16) = 6000$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30: $(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = \frac{6000}{30}$ $(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = 200$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $(x^2 + 20x + 4x + 80) - (x^2 + 16x) = 200$

Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 24x + 80 - x^2 - 16x = 200$ $(x^2 - x^2) + (24x - 16x) + 80 = 200$ $8x + 80 = 200$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$: $8x = 200 - 80$ $8x = 120$ $x = \frac{120}{8}$ $x = 15$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой ширину дна старого аквариума. Теперь, используя это значение, найдем размеры дна нового аквариума.

Ширина дна нового аквариума: $x + 4 = 15 + 4 = 19$ см.

Длина дна нового аквариума: $x + 20 = 15 + 20 = 35$ см.

Ответ: Размеры дна нового аквариума составляют 19 см и 35 см.

6.188 Друзья Томаса Эдисона удивлялись, почему калитка перед его домом открывается с трудом. «Калитка отрегулирована так, как надо, — смеясь, ответил Эдисон, — я сделал от неё привод к цистерне, и каждый входящий накачивает в цистерну 20 л воды». Если бы каждый посетитель накачивал в цистерну на 5 л воды больше, то для заполнения цистерны понадобилось бы на 12 человек меньше. Сколько воды вмещала цистерна?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $V$ — это искомый объем цистерны в литрах, а $n$ — это первоначальное количество посетителей, необходимое для ее заполнения.

Из первого условия известно, что каждый посетитель накачивает 20 литров воды. Значит, объем цистерны можно выразить формулой:
$V = 20 \cdot n$

Согласно второму условию, если бы каждый посетитель накачивал на 5 литров больше, то есть $20 + 5 = 25$ литров, то для заполнения цистерны потребовалось бы на 12 человек меньше, то есть $n - 12$ посетителей. Тогда объем цистерны можно выразить так:
$V = 25 \cdot (n - 12)$

Так как объем цистерны $V$ — это одна и та же величина, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений, чтобы найти количество посетителей $n$:
$20n = 25(n - 12)$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$20n = 25n - 25 \cdot 12$
$20n = 25n - 300$
$25n - 20n = 300$
$5n = 300$
$n = \frac{300}{5}$
$n = 60$
Итак, первоначально для заполнения цистерны требовалось 60 человек.

Теперь, зная количество посетителей $n$, мы можем вычислить объем цистерны $V$, подставив это значение в первое уравнение:
$V = 20 \cdot n = 20 \cdot 60 = 1200$ литров.

Для проверки можно подставить $n=60$ и во второе уравнение:
$V = 25 \cdot (60 - 12) = 25 \cdot 48 = 1200$ литров.
Оба расчета дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: Объем цистерны составляет 1200 литров.

6.189 (Старинная задача.) По контракту работникам причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали за этот период?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть $x$ — количество дней, которые работники отработали.

Тогда количество неотработанных дней будет равно разности общего числа дней и отработанных, то есть $30 - x$.

Сумма, которую работники заработали за отработанные дни, составляет $48 \times x$ франков.

Сумма, которую с них взыскали за неотработанные дни, составляет $12 \times (30 - x)$ франков.

По условию задачи, через 30 дней итоговая сумма оказалась равной нулю. Это значит, что заработанная сумма равна взысканной сумме. Составим уравнение:

$48x = 12(30 - x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

Разделим обе части уравнения на 12 для упрощения:

$\frac{48x}{12} = \frac{12(30 - x)}{12}$

$4x = 30 - x$

Перенесем $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$4x + x = 30$

$5x = 30$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Таким образом, работники отработали 6 дней.

Проверим решение:
Отработано дней: 6. Заработано: $6 \times 48 = 288$ франков.
Неотработано дней: $30 - 6 = 24$. Взыскано: $24 \times 12 = 288$ франков.
Итоговая выплата: $288 - 288 = 0$ франков. Решение верное.

Ответ: 6 дней.