Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.169 а) Два поезда, встретившись на разъезде, продолжали движение каждый в своём направлении. Скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого. Через 3 ч расстояние между ними было 480 км. Найдите скорость каждого поезда.

б) Два автомобиля едут по шоссе навстречу друг другу. Скорость одного из них на 10 км/ч меньше скорости другого. Через 2 ч после того, как они встретились, расстояние между ними стало равным 260 км. Найдите скорость каждого автомобиля.

а)

Пусть скорость одного поезда равна $x$ км/ч. По условию, скорость другого поезда на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Поезда, встретившись, продолжили движение в противоположных направлениях. Это значит, что они удаляются друг от друга. Скорость удаления равна сумме их скоростей:

$v_{уд} = x + (x + 20) = (2x + 20)$ км/ч.

Расстояние, на которое они удалятся друг от друга за время $t$, вычисляется по формуле $S = v_{уд} \times t$.

По условию, через $t = 3$ ч расстояние между поездами стало $S = 480$ км. Составим и решим уравнение:

$(2x + 20) \times 3 = 480$

Делим обе части на 3:

$2x + 20 = 160$

$2x = 160 - 20$

$2x = 140$

$x = 140 / 2$

$x = 70$ (км/ч) – скорость первого поезда.

Теперь найдем скорость второго поезда:

$x + 20 = 70 + 20 = 90$ (км/ч).

Проверка: $(70 + 90) \times 3 = 160 \times 3 = 480$ км. Условие выполняется.

Ответ: скорость одного поезда 70 км/ч, а другого 90 км/ч.

б)

Пусть скорость одного автомобиля равна $y$ км/ч. По условию, скорость другого автомобиля на 10 км/ч больше (или, что то же самое, скорость первого на 10 км/ч меньше скорости второго). Тогда скорость второго автомобиля равна $(y + 10)$ км/ч.

После встречи автомобили продолжили движение в противоположных направлениях. Их скорость удаления равна сумме их скоростей:

$v_{уд} = y + (y + 10) = (2y + 10)$ км/ч.

Расстояние между ними через время $t$ вычисляется по формуле $S = v_{уд} \times t$.

По условию, через $t = 2$ ч расстояние между автомобилями стало $S = 260$ км. Составим и решим уравнение:

$(2y + 10) \times 2 = 260$

Делим обе части на 2:

$2y + 10 = 130$

$2y = 130 - 10$

$2y = 120$

$y = 120 / 2$

$y = 60$ (км/ч) – скорость первого автомобиля.

Найдем скорость второго автомобиля:

$y + 10 = 60 + 10 = 70$ (км/ч).

Проверка: $(60 + 70) \times 2 = 130 \times 2 = 260$ км. Условие выполняется.

Ответ: скорость одного автомобиля 60 км/ч, а другого 70 км/ч.

6.170 Решите задачу (переформулируйте условие так, чтобы было легче составить уравнение):

а) От станции к озеру вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним от этой же станции и по той же дороге отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч. К озеру они прибыли одновременно. Определите, сколько времени шёл пешеход и чему равно расстояние от станции до озера.

б) Из города Нового в город Молодёжный одновременно выезжают автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 60 км/ч. Автомобиль приезжает в город Молодёжный на 2 ч раньше автобуса. Определите, сколько времени ехал автобус и чему равно расстояние между городами.

а)

Переформулируем условие задачи: Пешеход и велосипедист прошли одно и то же расстояние от станции до озера. Скорость пешехода – 4 км/ч, а скорость велосипедиста – 12 км/ч. Время, затраченное пешеходом, на 0,5 часа больше, чем время, затраченное велосипедистом. Требуется найти время пешехода и расстояние до озера.

Пусть $t$ (ч) – время, которое шёл пешеход. Тогда, так как велосипедист выехал на 0,5 часа позже и прибыл одновременно с пешеходом, его время в пути составляет $(t - 0,5)$ ч.

Расстояние, которое прошёл пешеход, равно $S = v_{пеш} \cdot t = 4t$ км.

Расстояние, которое проехал велосипедист, равно $S = v_{вел} \cdot (t - 0,5) = 12(t - 0,5)$ км.

Так как они преодолели одинаковое расстояние, мы можем составить уравнение:

$4t = 12(t - 0,5)$

Решим это уравнение:

$4t = 12t - 6$

$12t - 4t = 6$

$8t = 6$

$t = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$ (ч)

Итак, время, которое шёл пешеход, составляет 0,75 часа.

Теперь найдём расстояние от станции до озера, подставив значение $t$ в формулу для пути пешехода:

$S = 4t = 4 \cdot 0,75 = 3$ (км)

Проверим, подставив в формулу для пути велосипедиста:

$S = 12(0,75 - 0,5) = 12 \cdot 0,25 = 3$ (км)

Результаты совпадают.

Ответ: пешеход шёл 0,75 часа, расстояние от станции до озера равно 3 км.

б)

Переформулируем условие задачи: Автобус и легковой автомобиль проехали одинаковое расстояние между городами. Скорость автобуса – 60 км/ч, скорость автомобиля – 80 км/ч. Время, затраченное автобусом, на 2 часа больше, чем время, затраченное автомобилем. Требуется найти время в пути автобуса и расстояние между городами.

Пусть $t$ (ч) – время, которое ехал автобус. Тогда, так как автомобиль приехал на 2 часа раньше, его время в пути составляет $(t - 2)$ ч.

Расстояние, которое проехал автобус, равно $S = v_{авт} \cdot t = 60t$ км.

Расстояние, которое проехал легковой автомобиль, равно $S = v_{легк} \cdot (t - 2) = 80(t - 2)$ км.

Так как они проехали одинаковое расстояние, составим уравнение:

$60t = 80(t - 2)$

Решим это уравнение:

$60t = 80t - 160$

$80t - 60t = 160$

$20t = 160$

$t = \frac{160}{20} = 8$ (ч)

Итак, время, которое ехал автобус, составляет 8 часов.

Теперь найдём расстояние между городами, подставив значение $t$ в формулу для пути автобуса:

$S = 60t = 60 \cdot 8 = 480$ (км)

Проверим, подставив в формулу для пути автомобиля:

$S = 80(8 - 2) = 80 \cdot 6 = 480$ (км)

Результаты совпадают.

Ответ: автобус ехал 8 часов, расстояние между городами равно 480 км.

Решите задачу на движение по реке (6.171–6.172).

6.171 а) Катер по течению реки прошёл за 3,5 ч такое же расстояние, какое он проходит за 4 ч против течения реки. Собственная скорость катера 30 км/ч. Определите скорость течения реки. Какое расстояние прошёл катер по течению реки?

б) Теплоход прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч. Чему равно расстояние между пристанями?

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки.
Собственная скорость катера $v_{соб} = 30$ км/ч.
Тогда скорость катера по течению реки равна $v_{по} = (30 + x)$ км/ч.
Скорость катера против течения реки равна $v_{пр} = (30 - x)$ км/ч.

Время движения по течению $t_{по} = 3,5$ ч.
Время движения против течения $t_{пр} = 4$ ч.

Расстояние, пройденное катером по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (30 + x) \cdot 3,5$ км.
Расстояние, пройденное катером против течения: $S_{пр} = v_{пр} \cdot t_{пр} = (30 - x) \cdot 4$ км.

По условию задачи, эти расстояния равны. Составим и решим уравнение:
$(30 + x) \cdot 3,5 = (30 - x) \cdot 4$
$105 + 3,5x = 120 - 4x$
$3,5x + 4x = 120 - 105$
$7,5x = 15$
$x = 15 / 7,5$
$x = 2$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Теперь найдем расстояние, которое прошёл катер по течению реки:
$S_{по} = (30 + 2) \cdot 3,5 = 32 \cdot 3,5 = 112$ км.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч, расстояние, пройденное катером по течению реки, — 112 км.

б)

Пусть $y$ км/ч — собственная скорость теплохода.
Скорость течения реки $v_{теч} = 2$ км/ч.
Тогда скорость теплохода по течению реки равна $v_{по} = (y + 2)$ км/ч.
Скорость теплохода против течения реки равна $v_{пр} = (y - 2)$ км/ч.

Время движения по течению $t_{по} = 4$ ч.
Время движения против течения $t_{пр} = 5$ ч.

Расстояние между пристанями можно выразить двумя способами:
Двигаясь по течению: $S = (y + 2) \cdot 4$ км.
Двигаясь против течения: $S = (y - 2) \cdot 5$ км.

Поскольку расстояние одно и то же, приравняем эти два выражения и решим уравнение:
$(y + 2) \cdot 4 = (y - 2) \cdot 5$
$4y + 8 = 5y - 10$
$8 + 10 = 5y - 4y$
$18 = y$

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.

Теперь найдем расстояние между пристанями, подставив значение $y$ в любое из выражений для $S$:
$S = (18 + 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80$ км.

Ответ: собственная скорость теплохода 18 км/ч, расстояние между пристанями — 80 км.

6.172 а) Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8 ч. Собственная скорость лодки 8 $\text{км/ч}$, а скорость течения реки 2 $\text{км/ч}$. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и чему равно всё расстояние, которое она проплыла.

б) Пловец плыл 10 мин по течению реки и 15 мин против течения и проплыл всего 2100 м. Определите собственную скорость пловца (в $\text{м/мин}$), если скорость течения реки 30 $\text{м/мин}$.

а)

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнения.

Пусть $t_1$ – время, которое лодка плыла по течению, а $t_2$ – время, которое она плыла против течения. По условию, общее время в пути составляет 8 часов: $t_1 + t_2 = 8$ ч.

Собственная скорость лодки $v_{л} = 8$ км/ч. Скорость течения реки $v_{т} = 2$ км/ч.

Скорость лодки по течению: $v_{по} = v_{л} + v_{т} = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Скорость лодки против течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т} = 8 - 2 = 6$ км/ч.

Лодка проплыла одинаковое расстояние от пристани и обратно. Обозначим это расстояние как $S$. $S = v_{по} \cdot t_1 = 10 \cdot t_1$ $S = v_{против} \cdot t_2 = 6 \cdot t_2$

Приравняем выражения для расстояния: $10 \cdot t_1 = 6 \cdot t_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. $t_1 + t_2 = 8$ 2. $10 \cdot t_1 = 6 \cdot t_2$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 8 - t_1$

Подставим это выражение во второе уравнение: $10 \cdot t_1 = 6 \cdot (8 - t_1)$ $10 \cdot t_1 = 48 - 6 \cdot t_1$ $10 \cdot t_1 + 6 \cdot t_1 = 48$ $16 \cdot t_1 = 48$ $t_1 = 48 / 16 = 3$ ч.

Таким образом, время, которое лодка плыла по течению, составляет 3 часа.

Теперь найдем расстояние, которое лодка проплыла в одну сторону: $S = v_{по} \cdot t_1 = 10 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 30$ км.

Общее расстояние, которое проплыла лодка, равно расстоянию туда и обратно: $S_{общ} = S + S = 30 + 30 = 60$ км.

Ответ: лодка плыла по течению 3 часа; всё расстояние, которое она проплыла, равно 60 км.

б)

Пусть собственная скорость пловца равна $v_c$ (в м/мин). Это значение нам нужно найти.

Скорость течения реки $v_т = 30$ м/мин. Время движения по течению $t_{по} = 10$ мин. Время движения против течения $t_{против} = 15$ мин. Общее расстояние $S_{общ} = 2100$ м.

Скорость пловца по течению: $v_{по} = v_c + v_т = v_c + 30$ м/мин.

Скорость пловца против течения: $v_{против} = v_c - v_т = v_c - 30$ м/мин.

Расстояние, которое пловец проплыл по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (v_c + 30) \cdot 10$

Расстояние, которое пловец проплыл против течения: $S_{против} = v_{против} \cdot t_{против} = (v_c - 30) \cdot 15$

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения: $S_{общ} = S_{по} + S_{против}$ $2100 = 10(v_c + 30) + 15(v_c - 30)$

Решим полученное уравнение: $2100 = 10v_c + 300 + 15v_c - 450$ $2100 = (10v_c + 15v_c) + (300 - 450)$ $2100 = 25v_c - 150$ $2100 + 150 = 25v_c$ $2250 = 25v_c$ $v_c = 2250 / 25$ $v_c = 90$ м/мин.

Ответ: собственная скорость пловца равна 90 м/мин.