Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.135 Запишите выражение в виде трёхчлена, пользуясь нужной формулой:

а) $(t + v)^2;$

б) $(m - n)^2;$

в) $(p + 1)^2;$

г) $(y - 2)^2;$

д) $(c - x)^2;$

е) $(3 + a)^2;$

ж) $(z - 5)^2;$

з) $(b + 6)^2.$

Для решения данной задачи используются формулы сокращённого умножения:
Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Используем формулу квадрата суммы для выражения $(t + v)^2$, где $a = t$ и $b = v$.

$(t + v)^2 = t^2 + 2 \cdot t \cdot v + v^2 = t^2 + 2tv + v^2$.

Ответ: $t^2 + 2tv + v^2$.

б) Используем формулу квадрата разности для выражения $(m - n)^2$, где $a = m$ и $b = n$.

$(m - n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot n + n^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Ответ: $m^2 - 2mn + n^2$.

в) Используем формулу квадрата суммы для выражения $(p + 1)^2$, где $a = p$ и $b = 1$.

$(p + 1)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2 = p^2 + 2p + 1$.

Ответ: $p^2 + 2p + 1$.

г) Используем формулу квадрата разности для выражения $(y - 2)^2$, где $a = y$ и $b = 2$.

$(y - 2)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 - 4y + 4$.

Ответ: $y^2 - 4y + 4$.

д) Используем формулу квадрата разности для выражения $(c - x)^2$, где $a = c$ и $b = x$.

$(c - x)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot x + x^2 = c^2 - 2cx + x^2$.

Ответ: $c^2 - 2cx + x^2$.

е) Используем формулу квадрата суммы для выражения $(3 + a)^2$, где $a = 3$ и $b = a$.

$(3 + a)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot a + a^2 = 9 + 6a + a^2$.

Запишем результат в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной: $a^2 + 6a + 9$.

Ответ: $a^2 + 6a + 9$.

ж) Используем формулу квадрата разности для выражения $(z - 5)^2$, где $a = z$ и $b = 5$.

$(z - 5)^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^2 = z^2 - 10z + 25$.

Ответ: $z^2 - 10z + 25$.

з) Используем формулу квадрата суммы для выражения $(b + 6)^2$, где $a = b$ и $b = 6$.

$(b + 6)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2 = b^2 + 12b + 36$.

Ответ: $b^2 + 12b + 36$.

6.136 Представьте квадрат двучлена в виде трёхчлена:

а) $(2x - 1)^2$;

б) $(5y + 1)^2$;

в) $(4z - 3)^2$;

г) $(3a + 2)^2$;

д) $(4 - 2b)^2$;

е) $(3 + 6c)^2$;

ж) $(1 - 2k)^2$;

з) $(5 + 3t)^2$.

Для представления квадрата двучлена в виде трёхчлена используются формулы сокращённого умножения: квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Применяем формулу квадрата разности:
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Ответ: $4x^2 - 4x + 1$.

б) Применяем формулу квадрата суммы:
$(5y + 1)^2 = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot 1 + 1^2 = 25y^2 + 10y + 1$.
Ответ: $25y^2 + 10y + 1$.

в) Применяем формулу квадрата разности:
$(4z - 3)^2 = (4z)^2 - 2 \cdot (4z) \cdot 3 + 3^2 = 16z^2 - 24z + 9$.
Ответ: $16z^2 - 24z + 9$.

г) Применяем формулу квадрата суммы:
$(3a + 2)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 + 12a + 4$.
Ответ: $9a^2 + 12a + 4$.

д) Применяем формулу квадрата разности:
$(4 - 2b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot (2b) + (2b)^2 = 16 - 16b + 4b^2 = 4b^2 - 16b + 16$.
Ответ: $4b^2 - 16b + 16$.

е) Применяем формулу квадрата суммы:
$(3 + 6c)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (6c) + (6c)^2 = 9 + 36c + 36c^2 = 36c^2 + 36c + 9$.
Ответ: $36c^2 + 36c + 9$.

ж) Применяем формулу квадрата разности:
$(1 - 2k)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2k) + (2k)^2 = 1 - 4k + 4k^2 = 4k^2 - 4k + 1$.
Ответ: $4k^2 - 4k + 1$.

з) Применяем формулу квадрата суммы:
$(5 + 3t)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot (3t) + (3t)^2 = 25 + 30t + 9t^2 = 9t^2 + 30t + 25$.
Ответ: $9t^2 + 30t + 25$.

6.137 Выполните возведение в квадрат:

а) $(2x + 3y)^2$;

б) $(3a - 2b)^2$;

в) $(4u - 3t)^2$;

г) $(2m + \frac{1}{2}n)^2$;

д) $(ab + 2)^2$;

е) $(x - \frac{1}{x})^2$;

ж) $(1 - xz)^2$;

з) $(y + \frac{1}{y})^2$.

Для выполнения возведения в квадрат используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Воспользуемся формулой квадрата суммы для выражения $(2x + 3y)^2$. В данном случае $a = 2x$ и $b = 3y$.
$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$.
Ответ: $4x^2 + 12xy + 9y^2$

б) Воспользуемся формулой квадрата разности для выражения $(3a - 2b)^2$. В данном случае $a = 3a$ и $b = 2b$.
$(3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$.
Ответ: $9a^2 - 12ab + 4b^2$

в) Воспользуемся формулой квадрата разности для выражения $(4u - 3t)^2$. В данном случае $a = 4u$ и $b = 3t$.
$(4u - 3t)^2 = (4u)^2 - 2 \cdot (4u) \cdot (3t) + (3t)^2 = 16u^2 - 24ut + 9t^2$.
Ответ: $16u^2 - 24ut + 9t^2$

г) Воспользуемся формулой квадрата суммы для выражения $(2m + \frac{1}{2}n)^2$. В данном случае $a = 2m$ и $b = \frac{1}{2}n$.
$(2m + \frac{1}{2}n)^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot (\frac{1}{2}n) + (\frac{1}{2}n)^2 = 4m^2 + 2mn + \frac{1}{4}n^2$.
Ответ: $4m^2 + 2mn + \frac{1}{4}n^2$

д) Воспользуемся формулой квадрата суммы для выражения $(ab + 2)^2$. В данном случае $a = ab$ и $b = 2$.
$(ab + 2)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot (ab) \cdot 2 + 2^2 = a^2b^2 + 4ab + 4$.
Ответ: $a^2b^2 + 4ab + 4$

е) Воспользуемся формулой квадрата разности для выражения $(x - \frac{1}{x})^2$. В данном случае $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$.
$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.
Ответ: $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

ж) Воспользуемся формулой квадрата разности для выражения $(1 - xz)^2$. В данном случае $a = 1$ и $b = xz$.
$(1 - xz)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (xz) + (xz)^2 = 1 - 2xz + x^2z^2$.
Ответ: $1 - 2xz + x^2z^2$

з) Воспользуемся формулой квадрата суммы для выражения $(y + \frac{1}{y})^2$. В данном случае $a = y$ и $b = \frac{1}{y}$.
$(y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + (\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$.
Ответ: $y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$

6.138 Преобразуйте в многочлен:

а) $(x^2 + 3)^2;$

б) $(a^2 - 2)^2;$

в) $(1 - m^3)^2;$

г) $(5 + c^3)^2;$

д) $(2y^2 - 3x^2)^2;$

е) $(x^2y^2 + 1)^2.$

а) Чтобы преобразовать выражение $(x^2 + 3)^2$ в многочлен, используется формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = x^2$ и $b = 3$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^2 + 3)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = x^4 + 6x^2 + 9$.
Ответ: $x^4 + 6x^2 + 9$.

б) Для преобразования выражения $(a^2 - 2)^2$ в многочлен, используется формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = a^2$ и $b = 2$.
Подставим значения в формулу:
$(a^2 - 2)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 = a^4 - 4a^2 + 4$.
Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4$.

в) Выражение $(1 - m^3)^2$ преобразуется с помощью формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 1$ и $b = m^3$.
Выполним подстановку:
$(1 - m^3)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot m^3 + (m^3)^2 = 1 - 2m^3 + m^6$.
Ответ: $1 - 2m^3 + m^6$.

г) Для раскрытия скобок в выражении $(5 + c^3)^2$ применяется формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 5$ и $b = c^3$.
Подставим значения в формулу:
$(5 + c^3)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot c^3 + (c^3)^2 = 25 + 10c^3 + c^6$.
Ответ: $25 + 10c^3 + c^6$.

д) Для преобразования $(2y^2 - 3x^2)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом случае $a = 2y^2$ и $b = 3x^2$.
Выполним вычисления:
$(2y^2 - 3x^2)^2 = (2y^2)^2 - 2 \cdot (2y^2) \cdot (3x^2) + (3x^2)^2 = 4y^4 - 12x^2y^2 + 9x^4$.
Ответ: $4y^4 - 12x^2y^2 + 9x^4$.

е) Выражение $(x^2y^2 + 1)^2$ преобразуется с помощью формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x^2y^2$ и $b = 1$.
Подставим и вычислим:
$(x^2y^2 + 1)^2 = (x^2y^2)^2 + 2 \cdot x^2y^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4y^4 + 2x^2y^2 + 1$.
Ответ: $x^4y^4 + 2x^2y^2 + 1$.

6.139 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $(a-b)^2 = (b-a)^2$;

б) $(x+y)^2 = (-x-y)^2$.

а) Чтобы доказать тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$, можно преобразовать одну из частей равенства и показать, что она равна другой, или раскрыть скобки в обеих частях.

Способ 1: Раскрытие скобок по формуле сокращенного умножения.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в левой части равенства:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$.

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), а от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то $a^2 - 2ab + b^2 = b^2 - 2ba + a^2$. Таким образом, левая и правая части тождества равны.

Способ 2: Вынесение общего множителя.

Преобразуем правую часть равенства. В выражении $(b-a)$ вынесем за скобки $-1$:

$b-a = -1 \cdot (a-b) = -(a-b)$.

Тогда правая часть примет вид:

$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$.

По свойству степени, квадрат любого числа равен квадрату противоположного ему числа ($(-z)^2 = z^2$). Следовательно:

$(-(a-b))^2 = (a-b)^2$.

Мы преобразовали правую часть равенства к левой, что и доказывает тождество.

Ответ: Тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$ доказано, так как квадраты противоположных выражений $(a-b)$ и $(b-a)$ равны.

б) Чтобы доказать тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$, воспользуемся аналогичными методами.

Способ 1: Раскрытие скобок по формуле сокращенного умножения.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая часть уже имеет вид: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в правой части равенства, рассматривая ее как $(-x + (-y))^2$:

$(-x-y)^2 = (-x)^2 + 2(-x)(-y) + (-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая и правая части равенства равны, тождество доказано.

Способ 2: Вынесение общего множителя.

Преобразуем правую часть равенства. В выражении $(-x-y)$ вынесем за скобки $-1$:

$-x-y = -1 \cdot (x+y) = -(x+y)$.

Тогда правая часть примет вид:

$(-x-y)^2 = (-(x+y))^2$.

Так как $(-z)^2 = z^2$, получаем:

$(-(x+y))^2 = (x+y)^2$.

Правая часть равенства равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$ доказано, так как квадраты противоположных выражений $(x+y)$ и $(-x-y)$ равны.

6.140 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

С использованием формулы квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора. Например:

$71^2 = (70 + 1)^2 = 70^2 + 2 \cdot 70 \cdot 1 + 1^2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;$

$59^2 = (60 - 1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481.$

Вычислите таким же способом:

а) $52^2$;

б) $98^2$;

в) $(9 \frac{1}{2})^2$;

г) $(9 \frac{9}{10})^2$.

Для вычисления квадратов чисел воспользуемся формулами сокращённого умножения: формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Представим число 52 как сумму двух удобных для возведения в квадрат чисел, например, $50$ и $2$. Затем применим формулу квадрата суммы:

$52^2 = (50 + 2)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$.

Ответ: $2704$.

б) Представим число 98 как разность двух удобных чисел, например, $100$ и $2$. Затем применим формулу квадрата разности:

$98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9600 + 4 = 9604$.

Ответ: $9604$.

в) Представим смешанное число $9\frac{1}{2}$ в виде суммы целой и дробной части $9 + \frac{1}{2}$ и применим формулу квадрата суммы:

$(9\frac{1}{2})^2 = (9 + \frac{1}{2})^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = 81 + 9 + \frac{1}{4} = 90\frac{1}{4}$.

Ответ: $90\frac{1}{4}$.

г) Представим смешанное число $9\frac{9}{10}$ в виде разности $10 - \frac{1}{10}$ (поскольку $9\frac{9}{10} = 9.9 = 10 - 0.1$) и применим формулу квадрата разности:

$(9\frac{9}{10})^2 = (10 - \frac{1}{10})^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{10} + (\frac{1}{10})^2 = 100 - 2 + \frac{1}{100} = 98\frac{1}{100}$.

Ответ: $98\frac{1}{100}$.

6.141 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 + 2a + 1;$

б) $x^2 - 2x + 1;$

в) $y^2 + 10y + 25;$

г) $4 - 20c + 25c^2;$

д) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

е) $4x^2 + 4xy + y^2;$

ж) $81z^2 - 18az + a^2;$

з) $9n^2 + 12mn + 4m^2;$

и) $a^2b^2 + 2ab + 1;$

к) $x^4 - 2x^2 + 1;$

л) $y^6 + 2y^3 + 1;$

м) $a^4 - 2a^2b + b^2.$

Для того чтобы представить каждый трехчлен в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Для каждого выражения мы определим, подходит ли оно под одну из этих формул, найдем соответствующие значения для $A$ и $B$ и запишем результат.

а) Трехчлен $a^2 + 2a + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2$, откуда $A=a$.
$B^2 = 1$, откуда $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.
Так как все члены совпадают, мы можем записать: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

б) Трехчлен $x^2 - 2x + 1$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2$, значит $A=x$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot x \cdot 1 = -2x$.
Все члены совпадают. Следовательно: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Ответ: $(x-1)^2$.

в) Трехчлен $y^2 + 10y + 25$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^2$, значит $A=y$.
$B^2 = 25$, значит $B=5$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot y \cdot 5 = 10y$.
Все члены совпадают. Следовательно: $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
Ответ: $(y+5)^2$.

г) Трехчлен $4 - 20c + 25c^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 4$, значит $A=2$.
$B^2 = 25c^2$, значит $B=5c$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot 2 \cdot 5c = -20c$.
Все члены совпадают. Следовательно: $4 - 20c + 25c^2 = (2 - 5c)^2$.
Ответ: $(2 - 5c)^2$.

д) Трехчлен $a^2 - 6ab + 9b^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2$, значит $A=a$.
$B^2 = 9b^2$, значит $B=3b$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot a \cdot 3b = -6ab$.
Все члены совпадают. Следовательно: $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.
Ответ: $(a - 3b)^2$.

е) Трехчлен $4x^2 + 4xy + y^2$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 4x^2$, значит $A=2x$.
$B^2 = y^2$, значит $B=y$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 2x \cdot y = 4xy$.
Все члены совпадают. Следовательно: $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$.
Ответ: $(2x + y)^2$.

ж) Трехчлен $81z^2 - 18az + a^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 81z^2$, значит $A=9z$.
$B^2 = a^2$, значит $B=a$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot 9z \cdot a = -18az$.
Все члены совпадают. Следовательно: $81z^2 - 18az + a^2 = (9z - a)^2$.
Ответ: $(9z - a)^2$.

з) Трехчлен $9n^2 + 12mn + 4m^2$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 9n^2$, значит $A=3n$.
$B^2 = 4m^2$, значит $B=2m$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 3n \cdot 2m = 12mn$.
Все члены совпадают. Следовательно: $9n^2 + 12mn + 4m^2 = (3n + 2m)^2$.
Ответ: $(3n + 2m)^2$.

и) Трехчлен $a^2b^2 + 2ab + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, значит $A=ab$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot ab \cdot 1 = 2ab$.
Все члены совпадают. Следовательно: $a^2b^2 + 2ab + 1 = (ab + 1)^2$.
Ответ: $(ab + 1)^2$.

к) Трехчлен $x^4 - 2x^2 + 1$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, значит $A=x^2$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot x^2 \cdot 1 = -2x^2$.
Все члены совпадают. Следовательно: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.
Ответ: $(x^2 - 1)^2$.

л) Трехчлен $y^6 + 2y^3 + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^6 = (y^3)^2$, значит $A=y^3$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot y^3 \cdot 1 = 2y^3$.
Все члены совпадают. Следовательно: $y^6 + 2y^3 + 1 = (y^3 + 1)^2$.
Ответ: $(y^3 + 1)^2$.

м) Трехчлен $a^4 - 2a^2b + b^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^4 = (a^2)^2$, значит $A=a^2$.
$B^2 = b^2$, значит $B=b$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot a^2 \cdot b = -2a^2b$.
Все члены совпадают. Следовательно: $a^4 - 2a^2b + b^2 = (a^2 - b)^2$.
Ответ: $(a^2 - b)^2$.

РАССУЖДАЕМ (6.142 – 6.143)

6.142 Заполните пропуски:

а) $(2x + \dots)^2 = \dots + \dots + y^2;$

б) $(3y - \dots)^2 = \dots - 24y + \dots;$

в) $(\dots + 2m)^2 = 4n^2 + \dots + \dots;$

г) $(\dots - \dots)^2 = a^2 - \dots + 9.$

Для решения данной задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Исходное равенство: $(2x + ...)^2 = ... + ... + y^2$.
Это формула квадрата суммы. В левой части первый член $a = 2x$. В правой части последний член $b^2 = y^2$, следовательно, второй член в скобках $b=y$.
Теперь выражение в скобках имеет вид $(2x + y)$.
Возведем его в квадрат по формуле:
$(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Таким образом, пропущенные члены в правой части это $4x^2$ и $4xy$.
Ответ: $(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.

б) Исходное равенство: $(3y - ...)^2 = ... - 24y + ...$.
Это формула квадрата разности. В левой части первый член $a = 3y$. В правой части известен удвоенный член $-2ab = -24y$.
Подставим известное значение $a$: $-2 \cdot (3y) \cdot b = -24y$.
$-6yb = -24y$.
Отсюда находим второй член $b = \frac{-24y}{-6y} = 4$.
Теперь выражение в скобках имеет вид $(3y - 4)$.
Возведем его в квадрат, чтобы найти остальные пропуски:
$(3y - 4)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 4 + 4^2 = 9y^2 - 24y + 16$.
Пропущенные члены в правой части это $9y^2$ и $16$.
Ответ: $(3y - 4)^2 = 9y^2 - 24y + 16$.

в) Исходное равенство: $(... + 2m)^2 = 4n^2 + ... + ...$.
Это формула квадрата суммы. В левой части второй член $b = 2m$. В правой части первый член $a^2 = 4n^2$, следовательно, первый член в скобках $a = \sqrt{4n^2} = 2n$.
Теперь выражение в скобках имеет вид $(2n + 2m)$.
Возведем его в квадрат по формуле:
$(2n + 2m)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot (2n) \cdot (2m) + (2m)^2 = 4n^2 + 8nm + 4m^2$.
Пропущенные члены в правой части это $8nm$ и $4m^2$.
Ответ: $(2n + 2m)^2 = 4n^2 + 8nm + 4m^2$.

г) Исходное равенство: $(... - ...)^2 = a^2 - ... + 9$.
Это формула квадрата разности. В правой части нам даны первый член $a^2$ и последний член $9$.
Из $a^2$ следует, что первый член в скобках равен $a$.
Из $b^2=9$ следует, что второй член в скобках равен $b = \sqrt{9} = 3$.
Теперь выражение в скобках имеет вид $(a - 3)$.
Возведем его в квадрат, чтобы найти пропущенный средний член:
$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$.
Пропущенный член в правой части это $6a$.
Ответ: $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.

6.143 Подберите такое k, чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена:

а) $a^2 - 2a + k;$

б) $x^2 + 6x + k;$

в) $m^2 + km + 16;$

г) $y^2 + ky + 25;$

д) $k - 6n + n^2;$

е) $k + 8ab + b^2.$

Чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена, он должен соответствовать одной из формул сокращённого умножения:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $a^2 - 2a + k$

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Сравнивая с выражением $a^2 - 2a + k$, видим, что первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $x = a$.
Средний член, удвоенное произведение $-2xy$, соответствует $-2a$. Подставив $x=a$, получаем $-2ay = -2a$. Отсюда следует, что $y = 1$.
Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $y^2$.
$k = y^2 = 1^2 = 1$.
При $k=1$ трёхчлен становится $a^2 - 2a + 1$, что равно $(a-1)^2$.
Ответ: $k = 1$.

б) $x^2 + 6x + k$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a = x$.
Средний член $2ab$ соответствует $6x$. Подставив $a=x$, получаем $2xb = 6x$. Разделив обе части на $2x$, находим $b = 3$.
Третий член $k$ должен быть равен $b^2$.
$k = b^2 = 3^2 = 9$.
При $k=9$ трёхчлен становится $x^2 + 6x + 9$, что равно $(x+3)^2$.
Ответ: $k = 9$.

в) $m^2 + km + 16$

Применим формулу квадрата суммы или разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $m^2$, значит $a = m$.
Третий член $b^2$ соответствует $16$, значит $b = \sqrt{16} = 4$.
Средний член $km$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$.
$km = \pm 2 \cdot m \cdot 4 = \pm 8m$.
Следовательно, $k$ может быть равен $8$ или $-8$.
При $k=8$ получаем $m^2 + 8m + 16 = (m+4)^2$.
При $k=-8$ получаем $m^2 - 8m + 16 = (m-4)^2$.
Ответ: $k = 8$ или $k = -8$.

г) $y^2 + ky + 25$

Применим формулу квадрата суммы или разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $y^2$, значит $a = y$.
Третий член $b^2$ соответствует $25$, значит $b = \sqrt{25} = 5$.
Средний член $ky$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$.
$ky = \pm 2 \cdot y \cdot 5 = \pm 10y$.
Следовательно, $k$ может быть равен $10$ или $-10$.
При $k=10$ получаем $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
При $k=-10$ получаем $y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$.
Ответ: $k = 10$ или $k = -10$.

д) $k - 6n + n^2$

Перепишем выражение в стандартном порядке: $n^2 - 6n + k$.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $n^2$, значит $a = n$.
Средний член $-2ab$ соответствует $-6n$. Подставив $a=n$, получаем $-2nb = -6n$. Отсюда $b = 3$.
Свободный член $k$ должен быть равен $b^2$.
$k = b^2 = 3^2 = 9$.
При $k=9$ трёхчлен становится $n^2 - 6n + 9$, что равно $(n-3)^2$.
Ответ: $k = 9$.

е) $k + 8ab + b^2$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Один из квадратов, $y^2$, соответствует $b^2$, значит $y=b$.
Удвоенное произведение $2xy$ соответствует $8ab$. Подставив $y=b$, получаем $2xb = 8ab$. Отсюда $2x = 8a$, и $x = 4a$.
Член $k$ должен быть равен квадрату первого члена, то есть $x^2$.
$k = x^2 = (4a)^2 = 16a^2$.
При $k=16a^2$ трёхчлен становится $16a^2 + 8ab + b^2$, что равно $(4a+b)^2$.
Ответ: $k = 16a^2$.