Страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.105 Решите уравнение:

а) $\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{2}{3}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 3);$

б) $\frac{1}{2}(3x + 7) - \frac{3}{4}(2x - 2) = \frac{3}{4}(x + 1);$

в) $x(x - 3) + x(2x - 1) = 3x(x - 2) - 3;$

г) $3 + 2x(3x - 4) = 4x(2x + 5) - 2x(x - 1);$

д) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5);$

е) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2.$

а) $\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{2}{3}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 3)$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель 3:
$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 1) - 3 \cdot \frac{2}{3}(x - 1) = 3 \cdot \frac{2}{3}(x - 3)$
$1(x + 1) - 2(x - 1) = 2(x - 3)$
Раскроем скобки:
$x + 1 - 2x + 2 = 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$-x + 3 = 2x - 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$3 + 6 = 2x + x$
$9 = 3x$
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
Ответ: 3

б) $\frac{1}{2}(3x + 7) - \frac{3}{4}(2x - 2) = \frac{3}{4}(x + 1)$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель 4:
$4 \cdot \frac{1}{2}(3x + 7) - 4 \cdot \frac{3}{4}(2x - 2) = 4 \cdot \frac{3}{4}(x + 1)$
$2(3x + 7) - 3(2x - 2) = 3(x + 1)$
Раскроем скобки:
$6x + 14 - 6x + 6 = 3x + 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$20 = 3x + 3$
Перенесем 3 в левую часть:
$20 - 3 = 3x$
$17 = 3x$
$x = \frac{17}{3}$
Ответ: $\frac{17}{3}$

в) $x(x - 3) + x(2x - 1) = 3x(x - 2) - 3$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 3x + 2x^2 - x = 3x^2 - 6x - 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 - 4x = 3x^2 - 6x - 3$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$-4x = -6x - 3$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:
$-4x + 6x = -3$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
$x = -1.5$
Ответ: -1,5

г) $3 + 2x(3x - 4) = 4x(2x + 5) - 2x(x - 1)$
Раскроем скобки:
$3 + 6x^2 - 8x = 8x^2 + 20x - 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$3 + 6x^2 - 8x = 6x^2 + 22x$
Вычтем $6x^2$ из обеих частей:
$3 - 8x = 22x$
Перенесем слагаемое с $x$ в правую часть:
$3 = 22x + 8x$
$3 = 30x$
$x = \frac{3}{30}$
$x = \frac{1}{10}$
$x = 0.1$
Ответ: 0,1

д) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Начнем с левой части:
$x(x^2 - 10x + x - 10) = x(x^2 - 9x - 10) = x^3 - 9x^2 - 10x$
Теперь правая часть:
$(x^2 - 3x - x + 3)(x - 5) = (x^2 - 4x + 3)(x - 5)$
$= x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$
Приравняем левую и правую части:
$x^3 - 9x^2 - 10x = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$
Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $-9x^2$ в обеих частях:
$-10x = 23x - 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$15 = 23x + 10x$
$15 = 33x$
$x = \frac{15}{33}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{5}{11}$
Ответ: $\frac{5}{11}$

е) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$
Раскроем скобки в обеих частях. Левая часть:
$(x^2 - 4x - x + 4)(x + 7) = (x^2 - 5x + 4)(x + 7)$
$= x^3 + 7x^2 - 5x^2 - 35x + 4x + 28 = x^3 + 2x^2 - 31x + 28$
Правая часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$
Приравняем левую и правую части:
$x^3 + 2x^2 - 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x$
Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $2x^2$ в обеих частях:
$-31x + 28 = x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$28 = x + 31x$
$28 = 32x$
$x = \frac{28}{32}$
Сократим дробь на 4:
$x = \frac{7}{8}$
Ответ: $\frac{7}{8}$

6.106 Докажите, что:

а) $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) = 0;$

б) $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz = xyz(x - y - z).$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) =$

$= (ab - ac + ad) - (bc - bd + ab) + (ac + bc - cd) - (ad + bd - cd) =$

Теперь раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобкой стоит минус:

$= ab - ac + ad - bc + bd - ab + ac + bc - cd - ad - bd + cd$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (ab - ab) + (-ac + ac) + (ad - ad) + (-bc + bc) + (bd - bd) + (-cd + cd) =$

$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть выражения равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) = 0$ является верным.

б) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что каждый член левой части содержит общий множитель $xyz$. Вынесем его за скобки:

$xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz =$

$= xyz \cdot [(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) - 1]$

Теперь упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) - 1 = x - 1 - y + 1 - z + 1 - 1$

Приведем подобные слагаемые (числа):

$x - y - z + (-1 + 1 + 1 - 1) = x - y - z + 0 = x - y - z$

Подставим полученное выражение обратно в преобразованную левую часть:

$xyz \cdot (x - y - z) = xyz(x - y - z)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz = xyz(x - y - z)$ является верным.

6.107 Докажите, что:

а) если $a + b + c = 0$, то

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc;$

б) если $ab + ac + bc = 0$, то

$a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2.$

а)

Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в выражении $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1)$:

$a \cdot bc - a \cdot 1 + b \cdot ac - b \cdot 1 + c \cdot ab - c \cdot 1 = abc - a + abc - b + abc - c$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) + (-a - b - c) = 3abc - (a + b + c)$

По условию задачи нам дано, что $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$ верно при условии $a + b + c = 0$.

б)

Требуется доказать, что если $ab + ac + bc = 0$, то $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в выражении $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a)$:

$a \cdot a - a \cdot b + b \cdot b - b \cdot c + c \cdot c - c \cdot a = a^2 - ab + b^2 - bc + c^2 - ca$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + b^2 + c^2) - ab - bc - ca = (a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ac)$

По условию задачи нам дано, что $ab + ac + bc = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(a^2 + b^2 + c^2) - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2$ верно при условии $ab + ac + bc = 0$.

6.108 Докажите, что если $a^2 = b^2 + c^2$, то $(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c = -abc.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть.

Начнем с раскрытия скобок в выражении $(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c$:

$(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c = abc - a^2 - (abc - b^2) - (abc - c^2)$

$ = abc - a^2 - abc + b^2 - abc + c^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(abc - abc - abc) - a^2 + b^2 + c^2 = -abc - a^2 + b^2 + c^2$

Сгруппируем члены с квадратами, вынеся знак минус за скобку:

$-abc - (a^2 - b^2 - c^2)$

По условию задачи нам дано, что $a^2 = b^2 + c^2$.

Из этого равенства следует, что выражение $a^2 - b^2 - c^2$ равно нулю:

$a^2 - b^2 - c^2 = 0$

Подставим это значение в преобразованную левую часть:

$-abc - (0) = -abc$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна $-abc$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.109 Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $; б) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $; в) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $.

Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.

а)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.

Начнем с исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$

После сложения дробей получаем:

$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

б)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

Снова используем исходное равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Вычтем из обеих частей равенства единицу:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

После вычитания дробей получаем:

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

в)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$.

Из этого соотношения можно выразить $a$ и $c$: $a = bk$ и $c = dk$.

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d}$

Вынесем общий множитель $k$ в числителе за скобки:

$\frac{k(b+d)}{b+d}$

При условии, что $b+d \neq 0$, сократим дробь на $(b+d)$ и получим $k$.

Поскольку по определению $k = \frac{a}{b}$, мы доказали, что:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

Иллюстрация на примере

Проиллюстрируем доказанные утверждения, взяв верную пропорцию $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$. Здесь $a=8, b=4, c=6, d=3$. Обе части пропорции равны 2.

а) Проверяем равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:

Левая часть: $\frac{8+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Правая часть: $\frac{6+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

$3=3$, равенство выполняется.

б) Проверяем равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:

Левая часть: $\frac{8-4}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Правая часть: $\frac{6-3}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

$1=1$, равенство выполняется.

в) Проверяем равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$:

Левая часть: $\frac{8+6}{4+3} = \frac{14}{7} = 2$.

Правая часть: $\frac{8}{4} = 2$.

$2=2$, равенство выполняется.

Пример подтверждает справедливость всех трех доказанных утверждений.

6.110 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Найдите значение выражения при заданном значении переменной:

a) $c(3c^2 - 5c - 1) - 4c(3c^2 - 5c - 2) + 3c(3c^2 - 5c + 1); c = 2,75;$

б) $2m(3 - m + 5m^2) + 3m(1 - m + 5m^2) - 5m(5m^2 - m); m = \frac{1}{6};$

в) $3a(a^2 + 3a + 2) - 4a(a^2 + 3a + 1) + 2a(a^2 + 3a - 1); a = -5.$

Образец.

Преобразования можно сделать проще, если ввести замену. Например, в п. а обозначьте $3c^2 - 5c$ буквой $x$ и запишите выражение в виде

$c(x - 1) - 4c(x - 2) + 3c(x + 1) = \dots$

Закончите преобразование.

а) $c(3c^2 - 5c - 1) - 4c(3c^2 - 5c - 2) + 3c(3c^2 - 5c + 1)$; при $c = 2,75$.

Чтобы упростить выражение, введем замену, как предложено в образце. Пусть $x = 3c^2 - 5c$. Тогда выражение можно переписать в следующем виде:

$c(x - 1) - 4c(x - 2) + 3c(x + 1)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cx - c - 4cx + 8c + 3cx + 3c$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и без нее:

$(cx - 4cx + 3cx) + (-c + 8c + 3c) = 0 \cdot x + 10c = 10c$

Выражение упростилось до $10c$. Теперь подставим заданное значение $c = 2,75$:

$10 \cdot 2,75 = 27,5$

Ответ: 27,5

б) $2m(3 - m + 5m^2) + 3m(1 - m + 5m^2) - 5m(5m^2 - m)$; при $m = \frac{1}{6}$.

Заметим, что во всех слагаемых присутствует выражение $5m^2 - m$. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы это стало очевиднее:

$2m(3 + (5m^2 - m)) + 3m(1 + (5m^2 - m)) - 5m(5m^2 - m)$

Введем замену. Пусть $y = 5m^2 - m$. Подставим $y$ в выражение:

$2m(3 + y) + 3m(1 + y) - 5my$

Раскроем скобки:

$6m + 2my + 3m + 3my - 5my$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6m + 3m) + (2my + 3my - 5my) = 9m + 0 \cdot y = 9m$

Выражение упростилось до $9m$. Подставим значение $m = \frac{1}{6}$:

$9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

в) $3a(a^2 + 3a + 2) - 4a(a^2 + 3a + 1) + 2a(a^2 + 3a - 1)$; при $a = -5$.

В этом выражении общая часть в скобках — это $a^2 + 3a$. Введем замену. Пусть $z = a^2 + 3a$. Тогда выражение примет вид:

$3a(z + 2) - 4a(z + 1) + 2a(z - 1)$

Раскроем скобки:

$3az + 6a - 4az - 4a + 2az - 2a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3az - 4az + 2az) + (6a - 4a - 2a) = (3 - 4 + 2)az + (6 - 4 - 2)a = 1 \cdot az + 0 \cdot a = az$

Выражение упростилось до $az$. Теперь выполним обратную замену, подставив $a^2 + 3a$ вместо $z$:

$a(a^2 + 3a) = a^3 + 3a^2$

Теперь подставим заданное значение $a = -5$ в упрощенное выражение:

$(-5)^3 + 3(-5)^2 = -125 + 3 \cdot 25 = -125 + 75 = -50$

Ответ: -50