Страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.98 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

a) Чему равна площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна $x$ см, а другая на 3 см больше?

б) Чему равна площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна $x$ см, а другая на $a$ см меньше?

а) По условию задачи, одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Другая сторона на 3 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 3)$ см.
Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин его смежных сторон. Составим выражение для нахождения площади:
$S = x \cdot (x + 3)$
Чтобы преобразовать это выражение в многочлен, необходимо раскрыть скобки, умножив $x$ на каждый член в скобках:
$x \cdot (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 = x^2 + 3x$
Таким образом, площадь прямоугольника выражается многочленом $(x^2 + 3x)$ см².
Ответ: $x^2 + 3x$.

б) По условию, одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Другая сторона на $a$ см меньше, значит, ее длина равна $(x - a)$ см. (Для существования такого прямоугольника необходимо, чтобы $x > a$).
Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин его сторон. Составим соответствующее выражение:
$S = x \cdot (x - a)$
Преобразуем полученное выражение в многочлен, раскрыв скобки:
$x \cdot (x - a) = x \cdot x - x \cdot a = x^2 - ax$
Следовательно, площадь прямоугольника выражается многочленом $(x^2 - ax)$ см².
Ответ: $x^2 - ax$.

6.99 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

а) Какое расстояние проехал автомобиль, если он ехал 4 ч со скоростью $y$ км/ч, а в следующие 2 ч его скорость была на 10 км/ч больше?

б) Какое расстояние преодолел турист, если 3 ч он ехал на велосипеде со скоростью $a$ км/ч, затем 1,5 ч шёл пешком со скоростью, на $b$ км/ч меньшей?

а)

Общее расстояние, которое проехал автомобиль, складывается из двух частей. Для нахождения расстояния используется формула $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, $t$ – время.

1. Расстояние, пройденное за первые 4 часа.
Время движения $t_1 = 4$ ч, скорость $v_1 = y$ км/ч.
Расстояние $S_1 = 4 \cdot y$ км.

2. Расстояние, пройденное за следующие 2 часа.
Время движения $t_2 = 2$ ч. Скорость на этом участке была на 10 км/ч больше, то есть $v_2 = (y + 10)$ км/ч.
Расстояние $S_2 = 2 \cdot (y + 10)$ км.

3. Составим выражение для общего расстояния $S$, сложив расстояния, пройденные на двух участках:
$S = S_1 + S_2 = 4y + 2(y + 10)$.

4. Преобразуем полученное выражение в многочлен. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4y + 2(y + 10) = 4y + 2y + 20 = 6y + 20$.

Ответ: $(6y + 20)$ км.

б)

Общее расстояние, которое преодолел турист, также состоит из двух частей: пути на велосипеде и пути пешком.

1. Расстояние, которое турист проехал на велосипеде.
Время движения $t_1 = 3$ ч, скорость $v_1 = a$ км/ч.
Расстояние $S_1 = 3 \cdot a$ км.

2. Расстояние, которое турист прошел пешком.
Время движения $t_2 = 1,5$ ч. Скорость на этом участке была на $b$ км/ч меньшей, то есть $v_2 = (a - b)$ км/ч.
Расстояние $S_2 = 1,5 \cdot (a - b)$ км.

3. Составим выражение для общего расстояния $S$, сложив два полученных расстояния:
$S = S_1 + S_2 = 3a + 1,5(a - b)$.

4. Преобразуем выражение в многочлен:
$3a + 1,5(a - b) = 3a + 1,5a - 1,5b = 4,5a - 1,5b$.

Ответ: $(4,5a - 1,5b)$ км.

Решите уравнение (6.100—6.101).

6.100

а) $-7x + 5(2x - 3) = 6;$

б) $5x - 7(3 - x) = 2x + 11;$

в) $0,3 - 2(x + 1) = 0,4x + 0,1;$

г) $6x - 3,2 = 7x - 3(2x - 2,5).$

а) $-7x + 5(2x - 3) = 6$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 5 на каждый член в скобках:

$-7x + 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3 = 6$

$-7x + 10x - 15 = 6$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$3x - 15 = 6$

Перенесем свободный член (-15) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$3x = 6 + 15$

$3x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 3:

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Ответ: $x = 7$.

б) $5x - 7(3 - x) = 2x + 11$

Раскроем скобки в левой части. Обратим внимание, что мы умножаем $-7$ на каждый член в скобках:

$5x - 7 \cdot 3 - 7 \cdot (-x) = 2x + 11$

$5x - 21 + 7x = 2x + 11$

Сгруппируем подобные слагаемые в левой части:

$(5x + 7x) - 21 = 2x + 11$

$12x - 21 = 2x + 11$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть, меняя их знаки:

$12x - 2x = 11 + 21$

$10x = 32$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{32}{10}$

$x = 3,2$

Ответ: $x = 3,2$.

в) $0,3 - 2(x + 1) = 0,4x + 0,1$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$0,3 - 2x - 2 \cdot 1 = 0,4x + 0,1$

$0,3 - 2x - 2 = 0,4x + 0,1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-1,7 - 2x = 0,4x + 0,1$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-1,7 - 0,1 = 0,4x + 2x$

$-1,8 = 2,4x$

Найдем $x$, разделив $-1,8$ на $2,4$:

$x = \frac{-1,8}{2,4}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем сократим дробь:

$x = \frac{-18}{24} = -\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = -\frac{3}{4}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = -0,75$

Ответ: $x = -0,75$.

г) $6x - 3,2 = 7x - 3(2x - 2,5)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$6x - 3,2 = 7x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-2,5)$

$6x - 3,2 = 7x - 6x + 7,5$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x - 3,2 = (7x - 6x) + 7,5$

$6x - 3,2 = x + 7,5$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - x = 7,5 + 3,2$

$5x = 10,7$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{10,7}{5}$

$x = 2,14$

Ответ: $x = 2,14$.

6.101 а) $2(x + 5) - 3(x - 2) = 10;$

б) $2(5 - x) - 5(2x - 3) = 1;$

в) $5(x - 1) + 5(3x + 2) = 6x + 8;$

г) $44 - 10(3 - 4x) = 7(5x + 2).$

а) $2(x + 5) - 3(x - 2) = 10$

Сначала раскроем скобки, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобок:

$2 \cdot x + 2 \cdot 5 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-2) = 10$

$2x + 10 - 3x + 6 = 10$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(2x - 3x) + (10 + 6) = 10$

$-x + 16 = 10$

Перенесем свободный член (16) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-x = 10 - 16$

$-x = -6$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1:

$x = 6$

Ответ: $x=6$

б) $2(5 - x) - 5(2x - 3) = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2 \cdot 5 + 2 \cdot (-x) - 5 \cdot 2x - 5 \cdot (-3) = 1$

$10 - 2x - 10x + 15 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(-2x - 10x) + (10 + 15) = 1$

$-12x + 25 = 1$

Перенесем 25 в правую часть с противоположным знаком:

$-12x = 1 - 25$

$-12x = -24$

Разделим обе части уравнения на -12, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-24}{-12}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

в) $5(x - 1) + 5(3x + 2) = 6x + 8$

Раскроем скобки в левой части:

$5x - 5 + 15x + 10 = 6x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(5x + 15x) + (-5 + 10) = 6x + 8$

$20x + 5 = 6x + 8$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$20x - 6x = 8 - 5$

$14x = 3$

Разделим обе части уравнения на 14:

$x = \frac{3}{14}$

Ответ: $x=\frac{3}{14}$

г) $44 - 10(3 - 4x) = 7(5x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$44 - 10 \cdot 3 - 10 \cdot (-4x) = 7 \cdot 5x + 7 \cdot 2$

$44 - 30 + 40x = 35x + 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$14 + 40x = 35x + 14$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$40x - 35x = 14 - 14$

$5x = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{0}{5}$

$x = 0$

Ответ: $x=0$

6.102 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$;

б) $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$;

в) $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$;

г) $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$.

а) Чтобы представить выражение $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$ в виде многочлена стандартного вида, нужно выполнить следующие шаги:
1. Раскрыть скобки, умножив одночлены перед скобками на каждый член многочлена в скобках:
$x \cdot 2x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 1 + 2x \cdot 3 + 2x \cdot 2x + 2x \cdot (-x^2) = 2x^3 - 3x^2 + x + 6x + 4x^2 - 2x^3$
2. Привести подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:
$(2x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (x + 6x)$
3. Выполнить сложение и вычитание в каждой группе:
$0 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 7x = x^2 + 7x$
Полученный многочлен $x^2 + 7x$ является многочленом стандартного вида, так как все его члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней переменной.
Ответ: $x^2 + 7x$

б) Представим выражение $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$ в виде многочлена стандартного вида.
1. Раскроем скобки:
$m \cdot m^2 + m \cdot (-mn) + m \cdot n^2 - (n \cdot m^2 + n \cdot mn + n \cdot n^2) = m^3 - m^2n + mn^2 - nm^2 - n^2m - n^3$
2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены:
$m^3 + (-m^2n - m^2n) + (mn^2 - mn^2) - n^3$
3. Упростим выражение:
$m^3 - 2m^2n + 0 - n^3 = m^3 - 2m^2n - n^3$
Ответ: $m^3 - 2m^2n - n^3$

в) Представим выражение $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$ в виде многочлена стандартного вида.
1. Раскроем скобки:
$2p \cdot 1 + 2p \cdot (-p) + 2p \cdot (-3p^2) - (3p \cdot 2 + 3p \cdot (-p) + 3p \cdot (-2p^2)) = 2p - 2p^2 - 6p^3 - 6p + 3p^2 + 6p^3$
2. Сгруппируем подобные слагаемые в порядке убывания степеней:
$(-6p^3 + 6p^3) + (-2p^2 + 3p^2) + (2p - 6p)$
3. Выполним действия:
$0 \cdot p^3 + 1 \cdot p^2 - 4p = p^2 - 4p$
Ответ: $p^2 - 4p$

г) Представим выражение $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$ в виде многочлена стандартного вида.
1. Раскроем все скобки:
$2c \cdot 5a + 2c \cdot (-3c^2) - (c \cdot a + c \cdot (-6c^2)) + 3a \cdot a + 3a \cdot (-c) = 10ac - 6c^3 - ac + 6c^3 + 3a^2 - 3ac$
2. Приведем подобные слагаемые. Для стандартного вида расположим члены в лексикографическом порядке ($a$ перед $c$) и по убыванию степеней:
$3a^2 + (10ac - ac - 3ac) + (-6c^3 + 6c^3)$
3. Упростим выражение:
$3a^2 + (10-1-3)ac + (-6+6)c^3 = 3a^2 + 6ac + 0 \cdot c^3 = 3a^2 + 6ac$
Ответ: $3a^2 + 6ac$

6.103 Упростите выражение:

а) $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n$;

б) $b(a(a - b) - b(a + b)) - a(b(a - b) - a(a + b)).$

а) Для упрощения выражения $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n$ сначала выполним действия в скобках. Раскроем внутренние скобки, умножая одночлены на многочлены:

$m(3m - 2n) = m \cdot 3m - m \cdot 2n = 3m^2 - 2mn$

$m(3n - 2m) = m \cdot 3n - m \cdot 2m = 3mn - 2m^2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$( (3m^2 - 2mn) - (3mn - 2m^2) )n$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым выражением:

$(3m^2 - 2mn - 3mn + 2m^2)n$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$((3m^2 + 2m^2) + (-2mn - 3mn))n = (5m^2 - 5mn)n$

Наконец, умножим полученный многочлен на $n$:

$(5m^2 - 5mn) \cdot n = 5m^2 \cdot n - 5mn \cdot n = 5m^2n - 5mn^2$

Ответ: $5m^2n - 5mn^2$

б) Для упрощения выражения $b(a(a - b) - b(a + b)) - a(b(a - b) - a(a + b))$ раскроем внешние скобки, умножив $b$ и $-a$ на содержимое соответствующих скобок:

$b \cdot a(a - b) - b \cdot b(a + b) - a \cdot b(a - b) - a \cdot (-a(a + b))$

$ab(a - b) - b^2(a + b) - ab(a - b) + a^2(a + b)$

Видим, что выражения $ab(a - b)$ и $-ab(a - b)$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю. Они взаимно уничтожаются:

$\require{cancel} \cancel{ab(a - b)} - b^2(a + b) - \cancel{ab(a - b)} + a^2(a + b) = a^2(a + b) - b^2(a + b)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(a + b)$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b)(a + b) = (a - b)(a + b)^2$

Можно оставить ответ в таком виде или раскрыть скобки для получения многочлена стандартного вида. Раскроем скобки:

$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) - b(a^2 + 2ab + b^2)$

$= a^3 + 2a^2b + ab^2 - a^2b - 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b - a^2b) + (ab^2 - 2ab^2) - b^3 = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

Ответ: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

6.104 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

а) Катер плыл по течению реки 3 ч и против течения 4 ч. Какое расстояние прошёл катер за это время, если собственная скорость катера $x$ км/ч, а скорость течения реки $m$ км/ч?

б) Лодка отплыла от пристани и плыла по течению реки 2 ч, затем она повернула и плыла ещё 2 ч против течения. Сколько километров она не доплыла до пристани, если её собственная скорость $v$ км/ч, а скорость течения реки $a$ км/ч? Зависит ли ответ этой задачи от собственной скорости лодки?

а)

Чтобы найти общее расстояние, пройденное катером, нужно сложить расстояние, которое он прошел по течению, и расстояние, которое он прошел против течения.

1. Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = x + m$ км/ч.
За 3 часа по течению катер прошел расстояние: $S_1 = 3 \cdot (x + m)$ км.

2. Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = x - m$ км/ч.
За 4 часа против течения катер прошел расстояние: $S_2 = 4 \cdot (x - m)$ км.

3. Общее расстояние $S$ равно сумме $S_1$ и $S_2$. Составим выражение и преобразуем его в многочлен:
$S = S_1 + S_2 = 3(x + m) + 4(x - m)$
Раскроем скобки:
$S = 3x + 3m + 4x - 4m$
Приведем подобные слагаемые:
$S = (3x + 4x) + (3m - 4m) = 7x - m$

Ответ: общее расстояние, пройденное катером, составляет $7x - m$ км.

б)

Чтобы найти, на каком расстоянии от пристани оказалась лодка, нужно найти разницу между расстоянием, которое она проплыла от пристани по течению, и расстоянием, которое она проплыла обратно к пристани против течения.

1. Скорость лодки по течению реки: $v_{по~теч.} = v + a$ км/ч.
За 2 часа по течению лодка отплыла от пристани на расстояние: $S_1 = 2 \cdot (v + a)$ км.

2. Скорость лодки против течения реки: $v_{против~теч.} = v - a$ км/ч.
За 2 часа против течения лодка проплыла обратно к пристани расстояние: $S_2 = 2 \cdot (v - a)$ км.

3. Расстояние, которое лодка не доплыла до пристани, равно разности $S_1$ и $S_2$. Составим выражение и преобразуем его:
$D = S_1 - S_2 = 2(v + a) - 2(v - a)$
Раскроем скобки:
$D = 2v + 2a - 2v + 2a$
Приведем подобные слагаемые:
$D = (2v - 2v) + (2a + 2a) = 4a$

В итоговом выражении $4a$ отсутствует переменная $v$, которая обозначает собственную скорость лодки. Это означает, что результат не зависит от собственной скорости лодки.

Ответ: лодка не доплыла до пристани $4a$ км. Этот результат не зависит от собственной скорости лодки.