Страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.68 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $(x - y) + (y - x) - (x + y)$; $x = -5$; $y = 3,2$;

б) $(m + n) - (n + p) - (m + p)$; $m = \frac{3}{4}$; $n = -\frac{1}{3}$; $p = 4$;

в) $(m - n) + (n - c) - (m - c)$; $m = \frac{1}{6}$; $n = \frac{1}{7}$; $c = \frac{1}{4}$;

г) $(a + b - c) + (a - b + c) - (a - b - c)$; $a = 1,2$; $b = -0,8$; $c = 0,6$.

а)

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$(x - y) + (y - x) - (x + y) = x - y + y - x - x - y$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x - x - x) + (-y + y - y) = -x - y$

Подставим заданные значения $x = -5$ и $y = 3,2$ в упрощенное выражение:

$-x - y = -(-5) - 3,2 = 5 - 3,2 = 1,8$

Ответ: 1,8

б)

Упростим данное выражение, раскрыв скобки:

$(m + n) - (n + p) - (m + p) = m + n - n - p - m - p$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(m - m) + (n - n) + (-p - p) = 0 + 0 - 2p = -2p$

Теперь подставим значение $p = 4$ в полученное выражение:

$-2p = -2 \cdot 4 = -8$

Обратите внимание, что значения $m$ и $n$ не влияют на конечный результат.

Ответ: -8

в)

Начнем с упрощения выражения, раскрыв скобки. Помним, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.

$(m - n) + (n - c) - (m - c) = m - n + n - c - m + c$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(m - m) + (-n + n) + (-c + c) = 0 + 0 + 0 = 0$

Результат выражения равен нулю независимо от значений переменных $m$, $n$ и $c$.

Ответ: 0

г)

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$(a + b - c) + (a - b + c) - (a - b - c) = a + b - c + a - b + c - a + b + c$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a + a - a) + (b - b + b) + (-c + c + c) = a + b + c$

Подставим заданные значения $a = 1,2$, $b = -0,8$ и $c = 0,6$ в упрощенное выражение:

$a + b + c = 1,2 + (-0,8) + 0,6 = 1,2 - 0,8 + 0,6 = 0,4 + 0,6 = 1$

Ответ: 1

6.69 РАССУЖДАЕМ

Запишите многочлен, который надо прибавить к трёхчлену $3a^3 - 2a^2 + 1$, чтобы сумма оказалась равной:

а) 10;

б) $a^3$;

в) $-3a^2$.

Пусть искомый многочлен равен $X$. Тогда, по условию задачи, сумма трёхчлена $3a^3 - 2a^2 + 1$ и многочлена $X$ должна быть равна заданному выражению. Чтобы найти $X$, нужно из заданной суммы вычесть исходный трёхчлен.

$X = (\text{требуемая сумма}) - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

а) Требуемая сумма равна 10.

Найдём многочлен $X$:

$X = 10 - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$X = 10 - 3a^3 + 2a^2 - 1$

Приведём подобные слагаемые:

$X = -3a^3 + 2a^2 + (10 - 1)$

$X = -3a^3 + 2a^2 + 9$

Ответ: $-3a^3 + 2a^2 + 9$

б) Требуемая сумма равна $a^3$.

Найдём многочлен $X$:

$X = a^3 - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Раскроем скобки:

$X = a^3 - 3a^3 + 2a^2 - 1$

Приведём подобные слагаемые:

$X = (1 - 3)a^3 + 2a^2 - 1$

$X = -2a^3 + 2a^2 - 1$

Ответ: $-2a^3 + 2a^2 - 1$

в) Требуемая сумма равна $-3a^2$.

Найдём многочлен $X$:

$X = -3a^2 - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Раскроем скобки:

$X = -3a^2 - 3a^3 + 2a^2 - 1$

Приведём подобные слагаемые, сгруппировав их:

$X = -3a^3 + (-3a^2 + 2a^2) - 1$

$X = -3a^3 - a^2 - 1$

Ответ: $-3a^3 - a^2 - 1$

6.70 Раскройте скобки:

а) $-(a + b)$;

б) $-(m - n)$;

в) $-(-c - b)$;

г) $-(x - y - z)$;

д) $-(3a + 2b - c)$;

е) $-(5z - x + y)$.

а) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», необходимо знаки всех слагаемых в скобках поменять на противоположные. В выражении $-(a + b)$ слагаемые $a$ и $b$ имеют знак «плюс». При раскрытии скобок их знаки меняются на «минус».

$-(a + b) = -a - b$

Ответ: $-a - b$

б) В выражении $-(m - n)$ слагаемое $m$ имеет знак «плюс», а слагаемое $n$ — знак «минус». Меняем их знаки на противоположные: $m$ становится $-m$, а $-n$ становится $+n$.

$-(m - n) = -m + n$

Ответ: $-m + n$

в) В выражении $-(-c - b)$ оба слагаемых, $-c$ и $-b$, имеют знак «минус». При раскрытии скобок меняем их знаки на «плюс».

$-(-c - b) = c + b$

Ответ: $c + b$

г) В выражении $-(x - y - z)$ слагаемое $x$ имеет знак «плюс», а слагаемые $y$ и $z$ — знак «минус». Меняем знаки на противоположные: $x$ на $-x$, $-y$ на $+y$, и $-z$ на $+z$.

$-(x - y - z) = -x + y + z$

Ответ: $-x + y + z$

д) В выражении $-(3a + 2b - c)$ слагаемые $3a$ и $2b$ имеют знак «плюс», а слагаемое $c$ — знак «минус». Меняем знаки всех слагаемых на противоположные.

$-(3a + 2b - c) = -3a - 2b + c$

Ответ: $-3a - 2b + c$

е) В выражении $-(5z - x + y)$ слагаемое $5z$ имеет знак «плюс», слагаемое $x$ — «минус», а слагаемое $y$ — «плюс». Меняем каждый знак на противоположный.

$-(5z - x + y) = -5z + x - y$

Ответ: $-5z + x - y$

6.71 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену, чтобы в сумме получился 0:

а) $a + b$;

б) $x - y$;

в) $m - n$?

Чтобы в сумме с данным двучленом получился 0, необходимо прибавить к нему противоположный двучлен. Двучлен, противоположный данному, можно получить, изменив знак каждого его члена на противоположный.

а)
Данный двучлен: $a + b$.
Чтобы найти противоположный ему двучлен, изменим знаки у одночленов $a$ и $b$. Получим двучлен $-a - b$.
Выполним проверку, сложив исходный и полученный двучлены:
$(a + b) + (-a - b) = a + b - a - b = (a - a) + (b - b) = 0 + 0 = 0$.
Сумма равна нулю, значит, искомый двучлен найден верно.
Ответ: $-a - b$

б)
Данный двучлен: $x - y$.
Чтобы найти противоположный ему двучлен, изменим знаки у одночленов $x$ и $-y$. Получим двучлен $-x - (-y) = -x + y$. Его также можно записать как $y - x$.
Выполним проверку, сложив исходный и полученный двучлены:
$(x - y) + (-x + y) = x - y - x + y = (x - x) + (-y + y) = 0 + 0 = 0$.
Сумма равна нулю, значит, искомый двучлен найден верно.
Ответ: $-x + y$

в)
Данный двучлен: $m - n$.
Чтобы найти противоположный ему двучлен, изменим знаки у одночленов $m$ и $-n$. Получим двучлен $-m - (-n) = -m + n$. Его также можно записать как $n - m$.
Выполним проверку, сложив исходный и полученный двучлены:
$(m - n) + (-m + n) = m - n - m + n = (m - m) + (-n + n) = 0 + 0 = 0$.
Сумма равна нулю, значит, искомый двучлен найден верно.
Ответ: $-m + n$

6.72 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны;

б) двучлены $a + b$ и $-a - b$ противоположны.

а) двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны;

По определению, два выражения называются противоположными, если их сумма равна нулю. Чтобы доказать, что двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны, найдем их сумму.

Сложим эти два выражения:
$(a - b) + (b - a)$

Раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не меняются:
$a - b + b - a$

Теперь сгруппируем подобные члены, используя переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется):
$(a - a) + (-b + b)$

Вычислим значение в каждой из скобок:
$0 + 0 = 0$

Поскольку сумма двучленов $a - b$ и $b - a$ равна нулю, они являются противоположными, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма выражений равна $(a - b) + (b - a) = a - b + b - a = (a - a) + (b - b) = 0$. Так как сумма равна нулю, двучлены являются противоположными.

б) двучлены $a + b$ и $-a - b$ противоположны.

Аналогично предыдущему пункту, докажем, что сумма данных двучленов равна нулю.

Сложим выражения $a + b$ и $-a - b$:
$(a + b) + (-a - b)$

Раскроем скобки:
$a + b - a - b$

Сгруппируем подобные члены:
$(a - a) + (b - b)$

Вычислим результат:
$0 + 0 = 0$

Сумма двучленов $a + b$ и $-a - b$ равна нулю, следовательно, эти выражения являются противоположными. Другой способ это увидеть — вынести знак минус за скобки во втором выражении: $-a - b = -(a + b)$. Это показывает, что второе выражение является противоположным первому.

Ответ: Сумма выражений равна $(a + b) + (-a - b) = a + b - a - b = (a - a) + (b - b) = 0$. Так как сумма равна нулю, двучлены являются противоположными.

6.73 РАССУЖДАЕМ

Убедитесь в том, что данные многочлены противоположны, и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных:

a) $x - y - z$ и $y + z - x$ при $x = 0,3$, $y = -0,2$, $z = -0,1$;

б) $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ при $x = -\frac{1}{3}$.

а) Чтобы убедиться, что многочлены $x - y - z$ и $y + z - x$ противоположны, найдем их сумму. Два многочлена называются противоположными, если их сумма равна нулю.

$(x - y - z) + (y + z - x) = x - x - y + y - z + z = 0$

Сумма равна нулю, следовательно, многочлены являются противоположными.

Теперь найдем значение каждого многочлена при заданных значениях переменных $x = 0,3$, $y = -0,2$, $z = -0,1$.

Для первого многочлена $x - y - z$:

$0,3 - (-0,2) - (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6$

Для второго многочлена $y + z - x$:

$(-0,2) + (-0,1) - 0,3 = -0,2 - 0,1 - 0,3 = -0,6$

Значения многочленов (0,6 и -0,6) также являются противоположными числами, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: многочлены противоположны; значение первого многочлена равно 0,6, а второго — -0,6.

б) Проверим, являются ли многочлены $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ противоположными, найдя их сумму.

$(x^2 + 2x - 1) + (1 - 2x - x^2) = x^2 - x^2 + 2x - 2x - 1 + 1 = 0$

Сумма равна нулю, значит, многочлены противоположны.

Теперь найдем значение каждого из них при $x = -\frac{1}{3}$.

Для первого многочлена $x^2 + 2x - 1$:

$(-\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = \frac{1 - 6 - 9}{9} = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9}$

Для второго многочлена $1 - 2x - x^2$:

$1 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 - 1}{9} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$

Значения многочленов ($-1\frac{5}{9}$ и $1\frac{5}{9}$) также являются противоположными числами.

Ответ: многочлены противоположны; значение первого многочлена равно $-1\frac{5}{9}$, а второго — $1\frac{5}{9}$.

6.74 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких-либо двучленов (проверьте, раскрыв мысленно скобки, правильно ли вы выполнили задание):

а) $a - b - c + d$;

б) $m + n - p + q$.

а) $a - b - c + d$

Задача состоит в том, чтобы сгруппировать четыре члена многочлена в два двучлена. Это можно сделать несколькими способами.

Представление в виде суммы:

Сгруппируем члены попарно и поставим между группами знак «+». Например, сгруппируем $(a - b)$ и $(-c + d)$.

$a - b - c + d = (a - b) + (-c + d)$

Для более удобной записи можно поменять члены во второй скобке местами:

$(a - b) + (d - c)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $a - b + d - c$, что равно исходному многочлену.

Представление в виде разности:

Сгруппируем члены так, чтобы между скобками стоял знак «−». Когда мы выносим знак минус за скобку, знаки всех членов внутри этой скобки меняются на противоположные. Возьмем первую группу $(a - b)$. Чтобы получить оставшиеся члены $-c + d$, мы должны вычесть двучлен $(c - d)$.

$a - b - c + d = (a - b) - (c - d)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $a - b - c - (-d) = a - b - c + d$. Выражение верно.

Ответ: в виде суммы: $(a - b) + (d - c)$; в виде разности: $(a - b) - (c - d)$.

б) $m + n - p + q$

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем члены данного многочлена.

Представление в виде суммы:

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$m + n - p + q = (m + n) + (-p + q)$

Поменяв местами члены во второй скобке, получим:

$(m + n) + (q - p)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $m + n + q - p$, что соответствует исходному многочлену.

Представление в виде разности:

Возьмем первую группу $(m + n)$. Чтобы из нее получить исходный многочлен, нужно вычесть такой двучлен, который при раскрытии скобок даст $-p + q$. Этим двучленом является $(p - q)$.

$m + n - p + q = (m + n) - (p - q)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $m + n - p - (-q) = m + n - p + q$. Выражение верно.

Ответ: в виде суммы: $(m + n) + (q - p)$; в виде разности: $(m + n) - (p - q)$.

6.75 Многочлен $x^3 - x^2 - x + 1$ представили в виде разности двучленов. Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений.

1) $(x^3 - x^2) - (x + 1)$

2) $(x^3 - x) - (x^2 + 1)$

3) $(x^3 + 1) - (x^2 - x)$

4) $(1 - x) - (x^2 - x^3)$

Чтобы найти, какая из предложенных разностей двучленов равна многочлену $x^3 - x^2 - x + 1$, необходимо раскрыть скобки в каждом выражении и сравнить полученный результат с исходным многочленом.

1) Проверим выражение $(x^3 - x^2) - (x + 1)$.
Раскрываем скобки: $(x^3 - x^2) - (x + 1) = x^3 - x^2 - x - 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 - x - 1$ не совпадает с исходным $x^3 - x^2 - x + 1$.
Ответ: неверно.

2) Проверим выражение $(x^3 - x) - (x^2 + 1)$.
Раскрываем скобки: $(x^3 - x) - (x^2 + 1) = x^3 - x - x^2 - 1$.
Приведем многочлен к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней: $x^3 - x^2 - x - 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 - x - 1$ не совпадает с исходным $x^3 - x^2 - x + 1$.
Ответ: неверно.

3) Проверим выражение $(x^3 + 1) - (x^2 - x)$.
Раскрываем скобки: $(x^3 + 1) - (x^2 - x) = x^3 + 1 - x^2 + x$.
Приведем многочлен к стандартному виду: $x^3 - x^2 + x + 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 + x + 1$ не совпадает с исходным $x^3 - x^2 - x + 1$.
Ответ: неверно.

4) Проверим выражение $(1 - x) - (x^2 - x^3)$.
Раскрываем скобки: $(1 - x) - (x^2 - x^3) = 1 - x - x^2 + x^3$.
Приведем многочлен к стандартному виду: $x^3 - x^2 - x + 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 - x + 1$ полностью совпадает с исходным.
Ответ: верно.

Таким образом, правильное представление многочлена в виде разности двучленов — это выражение под номером 4.

6.76 Упростите выражение, расположив слагаемые в столбик:

a) $(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2);$

б) $(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d);$

в) $(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1).$

а) Чтобы упростить выражение, раскроем все скобки. Так как между скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются. Затем сгруппируем подобные слагаемые, что соответствует методу сложения в столбик.

$(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2) = p^2 + q^2 - r^2 + q^2 + r^2 - p^2 + r^2 + p^2 - q^2 + r^2 - p^2 - q^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Для $p^2$: $p^2 - p^2 + p^2 - p^2 = (1-1+1-1)p^2 = 0$.

Для $q^2$: $q^2 + q^2 - q^2 - q^2 = (1+1-1-1)q^2 = 0$.

Для $r^2$: $-r^2 + r^2 + r^2 + r^2 = (-1+1+1+1)r^2 = 2r^2$.

Сумма всех групп слагаемых равна: $0 + 0 + 2r^2 = 2r^2$.

Ответ: $2r^2$

б) Раскроем скобки в выражении. Если перед скобкой стоит знак «-», знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные.

$(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d) = a - b + c - a + b - d + a - c + d - b + c - d$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Для $a$: $a - a + a = a$.

Для $b$: $-b + b - b = -b$.

Для $c$: $c - c + c = c$.

Для $d$: $-d + d - d = -d$.

Собрав все упрощенные группы вместе, получаем итоговое выражение: $a - b + c - d$.

Ответ: $a - b + c - d$

в) Раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобками стоит минус.

$(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1) = x + y + z - 1 - x + y - z - 1 + x - y - z + 1 - x + y + z + 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Для $x$: $x - x + x - x = 0$.

Для $y$: $y + y - y + y = 2y$.

Для $z$: $z - z - z + z = 0$.

Для констант: $-1 - 1 + 1 + 1 = 0$.

Сумма всех групп равна: $0 + 2y + 0 + 0 = 2y$.

Ответ: $2y$