Страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.90 МОДЕЛИРУЕМ

Найдите двумя способами площадь прямоугольника (рис. 6.2) и запишите соответствующее равенство.

$x$

$y$

$2x$

Рис. 6.2

Задача состоит в том, чтобы найти площадь прямоугольника, изображенного на рисунке, двумя разными способами и на основе этого составить равенство.

Способ 1

Найдем площадь прямоугольника как единой фигуры. Его высота равна $2x$. Ширина состоит из двух отрезков длиной $x$ и $y$, поэтому общая ширина равна $x + y$. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его высоты на ширину.

Площадь $S$ равна: $S = 2x \cdot (x + y)$

Ответ: $S = 2x(x + y)$.

Способ 2

Найдем площадь большого прямоугольника как сумму площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит. Фигура разделена на два прямоугольника: левый и правый.

Площадь левого прямоугольника с высотой $2x$ и шириной $x$ равна: $S_1 = 2x \cdot x = 2x^2$

Площадь правого прямоугольника с высотой $2x$ и шириной $y$ равна: $S_2 = 2x \cdot y = 2xy$

Общая площадь равна сумме площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = 2x^2 + 2xy$

Ответ: $S = 2x^2 + 2xy$.

Соответствующее равенство

Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравняв результаты, полученные первым и вторым способами, мы получим искомое равенство. Это равенство является иллюстрацией распределительного свойства умножения относительно сложения.

Ответ: $2x(x + y) = 2x^2 + 2xy$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (6.91–6.93)

6.91 Раскройте скобки:

а) $c(2a + b);$

б) $2a(3b + 5);$

в) $-2c(4c + 1);$

г) $3x(4y - z);$

д) $-z(x - y);$

е) $(m - 3n)(-a);$

ж) $m(1 - m);$

з) $-3x(2x + 5);$

и) $(-a - 4bc)(-b).$

а) Для раскрытия скобок используется распределительный закон умножения. Умножим множитель $c$, стоящий перед скобками, на каждый член, находящийся в скобках ($2a$ и $b$).

$c(2a + b) = c \cdot 2a + c \cdot b = 2ac + bc$

Ответ: $2ac + bc$

б) Умножим множитель $2a$ на каждый член в скобках ($3b$ и $5$).

$2a(3b + 5) = 2a \cdot 3b + 2a \cdot 5 = 6ab + 10a$

Ответ: $6ab + 10a$

в) Умножим множитель $-2c$ на каждый член в скобках ($4c$ и $1$), учитывая знаки.

$-2c(4c + 1) = (-2c) \cdot 4c + (-2c) \cdot 1 = -8c^2 - 2c$

Ответ: $-8c^2 - 2c$

г) Умножим множитель $3x$ на каждый член в скобках ($4y$ и $-z$).

$3x(4y - z) = 3x \cdot 4y - 3x \cdot z = 12xy - 3xz$

Ответ: $12xy - 3xz$

д) Умножим множитель $-z$ на каждый член в скобках ($x$ и $-y$). При умножении двух отрицательных чисел получается положительное.

$-z(x - y) = (-z) \cdot x - (-z) \cdot y = -xz + yz$

Ответ: $yz - xz$

е) Умножим каждый член в скобках ($m$ и $-3n$) на множитель $(-a)$.

$(m - 3n)(-a) = m \cdot (-a) - 3n \cdot (-a) = -am + 3an$

Ответ: $3an - am$

ж) Умножим множитель $m$ на каждый член в скобках ($1$ и $-m$).

$m(1 - m) = m \cdot 1 - m \cdot m = m - m^2$

Ответ: $m - m^2$

з) Умножим множитель $-3x$ на каждый член в скобках ($2x$ и $5$).

$-3x(2x + 5) = (-3x) \cdot 2x + (-3x) \cdot 5 = -6x^2 - 15x$

Ответ: $-6x^2 - 15x$

и) Умножим каждый член в скобках ($-a$ и $-4bc$) на множитель $(-b)$.

$(-a - 4bc)(-b) = (-a) \cdot (-b) - 4bc \cdot (-b) = ab + 4b^2c$

Ответ: $ab + 4b^2c$

6.92 Выполните умножение:

а) $a(3a^2 + a)$;

б) $b(2b^3 - 7)$;

в) $-p^2(3q - 2p)$;

г) $(6k^2 - a)(-2k)$;

д) $4m^3(n - 5m)$;

е) $-2y^2(y^3 - 1)$;

ж) $-5p^2(2p^4 - 3)$;

з) $(b - 2ac) \cdot 5ab$;

и) $x^5(-x^3 - x^2)$.

а) Чтобы выполнить умножение, необходимо умножить одночлен $a$ на каждый член многочлена $(3a^2 + a)$, используя распределительное свойство умножения.

$a(3a^2 + a) = a \cdot 3a^2 + a \cdot a = 3a^{1+2} + a^{1+1} = 3a^3 + a^2$.

Ответ: $3a^3 + a^2$.

б) Умножим одночлен $b$ на каждый член многочлена $(2b^3 - 7)$, применяя распределительное свойство.

$b(2b^3 - 7) = b \cdot 2b^3 + b \cdot (-7) = 2b^{1+3} - 7b = 2b^4 - 7b$.

Ответ: $2b^4 - 7b$.

в) Умножим одночлен $-p^2$ на каждый член многочлена $(3q - 2p)$, обращая внимание на знаки.

$-p^2(3q - 2p) = (-p^2) \cdot 3q + (-p^2) \cdot (-2p) = -3p^2q + 2p^{2+1} = -3p^2q + 2p^3$.

Для удобства можно записать результат в порядке убывания степени переменной $p$: $2p^3 - 3p^2q$.

Ответ: $2p^3 - 3p^2q$.

г) Умножим каждый член многочлена $(6k^2 - a)$ на одночлен $(-2k)$.

$(6k^2 - a)(-2k) = 6k^2 \cdot (-2k) + (-a) \cdot (-2k) = -12k^{2+1} + 2ak = -12k^3 + 2ak$.

Ответ: $-12k^3 + 2ak$.

д) Раскроем скобки, умножив одночлен $4m^3$ на каждый член многочлена $(n - 5m)$.

$4m^3(n - 5m) = 4m^3 \cdot n + 4m^3 \cdot (-5m) = 4m^3n - 20m^{3+1} = 4m^3n - 20m^4$.

Ответ: $4m^3n - 20m^4$.

е) Умножим одночлен $-2y^2$ на каждый член многочлена $(y^3 - 1)$.

$-2y^2(y^3 - 1) = (-2y^2) \cdot y^3 + (-2y^2) \cdot (-1) = -2y^{2+3} + 2y^2 = -2y^5 + 2y^2$.

Ответ: $-2y^5 + 2y^2$.

ж) Умножим одночлен $-5p^2$ на многочлен $(2p^4 - 3)$.

$-5p^2(2p^4 - 3) = (-5p^2) \cdot 2p^4 + (-5p^2) \cdot (-3) = -10p^{2+4} + 15p^2 = -10p^6 + 15p^2$.

Ответ: $-10p^6 + 15p^2$.

з) Умножим каждый член многочлена $(b - 2ac)$ на одночлен $5ab$.

$(b - 2ac) \cdot 5ab = b \cdot 5ab + (-2ac) \cdot 5ab = 5ab^{1+1} - 10a^{1+1}bc = 5ab^2 - 10a^2bc$.

Ответ: $5ab^2 - 10a^2bc$.

и) Умножим одночлен $x^5$ на каждый член многочлена $(-x^3 - x^2)$.

$x^5(-x^3 - x^2) = x^5 \cdot (-x^3) + x^5 \cdot (-x^2) = -x^{5+3} - x^{5+2} = -x^8 - x^7$.

Ответ: $-x^8 - x^7$.

6.93 Представьте в виде многочлена:

а) $5(a^2 - 2ab + b^2);$

б) $2m(m^2 - 3m + 3);$

в) $-3(x^2 + xy + y^2);$

г) $4n^2(1 - 2n^2 - 3n^3);$

д) $2b^2(b - ab + 4a^2);$

е) $-3c^3(4d + 3cd - c^2).$

а) Чтобы представить выражение $5(a^2 - 2ab + b^2)$ в виде многочлена, необходимо умножить множитель $5$ на каждый член многочлена, стоящего в скобках, используя распределительный закон умножения $a(b+c) = ab+ac$.

Выполним умножение последовательно для каждого члена в скобках:

$5 \cdot a^2 = 5a^2$

$5 \cdot (-2ab) = -10ab$

$5 \cdot b^2 = 5b^2$

Теперь сложим полученные произведения, чтобы получить итоговый многочлен:

$5(a^2 - 2ab + b^2) = 5a^2 - 10ab + 5b^2$

Ответ: $5a^2 - 10ab + 5b^2$

б) Умножим одночлен $2m$ на многочлен $m^2 - 3m + 3$. Для этого умножим $2m$ на каждый член многочлена в скобках.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^n \cdot a^k = a^{n+k}$).

$2m \cdot m^2 = 2m^{1+2} = 2m^3$

$2m \cdot (-3m) = -6m^{1+1} = -6m^2$

$2m \cdot 3 = 6m$

Собрав все члены вместе, получим многочлен:

$2m(m^2 - 3m + 3) = 2m^3 - 6m^2 + 6m$

Ответ: $2m^3 - 6m^2 + 6m$

в) Умножим число $-3$ на многочлен $x^2 + xy + y^2$.

Применим распределительный закон, умножая $-3$ на каждый член в скобках:

$-3 \cdot x^2 = -3x^2$

$-3 \cdot xy = -3xy$

$-3 \cdot y^2 = -3y^2$

Сложим полученные результаты:

$-3(x^2 + xy + y^2) = -3x^2 - 3xy - 3y^2$

Ответ: $-3x^2 - 3xy - 3y^2$

г) Представим выражение $4n^2(1 - 2n^2 - 3n^3)$ в виде многочлена. Умножим одночлен $4n^2$ на каждый член многочлена в скобках.

Выполняем умножение:

$4n^2 \cdot 1 = 4n^2$

$4n^2 \cdot (-2n^2) = -8n^{2+2} = -8n^4$

$4n^2 \cdot (-3n^3) = -12n^{2+3} = -12n^5$

Записываем итоговый многочлен, складывая полученные члены:

$4n^2(1 - 2n^2 - 3n^3) = 4n^2 - 8n^4 - 12n^5$

Ответ: $4n^2 - 8n^4 - 12n^5$

д) Умножим одночлен $2b^2$ на многочлен $b - ab + 4a^2$.

Выполним умножение $2b^2$ на каждый член в скобках:

$2b^2 \cdot b = 2b^{2+1} = 2b^3$

$2b^2 \cdot (-ab) = -2ab^{2+1} = -2ab^3$

$2b^2 \cdot 4a^2 = 8a^2b^2$

Объединяем полученные члены в многочлен:

$2b^2(b - ab + 4a^2) = 2b^3 - 2ab^3 + 8a^2b^2$

Ответ: $2b^3 - 2ab^3 + 8a^2b^2$

е) Представим выражение $-3c^3(4d + 3cd - c^2)$ в виде многочлена. Для этого умножим одночлен $-3c^3$ на каждый член многочлена в скобках.

Выполняем умножение:

$-3c^3 \cdot 4d = -12c^3d$

$-3c^3 \cdot 3cd = -9c^{3+1}d = -9c^4d$

$-3c^3 \cdot (-c^2) = 3c^{3+2} = 3c^5$

Записываем результат, складывая полученные произведения:

$-3c^3(4d + 3cd - c^2) = -12c^3d - 9c^4d + 3c^5$

Ответ: $-12c^3d - 9c^4d + 3c^5$

6.94 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Иногда удобно вести запись умножения в столбик:

$\begin{array}{r} -5a^2 \\\times (3a^3 - a + 4) \\\hline-15a^5 + 5a^3 - 20a^2\end{array}$

Умножьте одночлен на многочлен:

а) $3n^4(n^2 + 2n - 4)$;

б) $-2m^3(3m - 2m^2 + m^3)$;

в) $5xy^2(2x - x^2y - x^3)$.

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это называется распределительным свойством умножения.
$3n^4(n^2 + 2n - 4) = 3n^4 \cdot n^2 + 3n^4 \cdot 2n + 3n^4 \cdot (-4)$
Выполним умножение для каждого слагаемого, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3n^4 \cdot n^2 = 3n^{4+2} = 3n^6$
$3n^4 \cdot 2n = (3 \cdot 2)n^{4+1} = 6n^5$
$3n^4 \cdot (-4) = -12n^4$
Теперь сложим полученные одночлены:
$3n^6 + 6n^5 - 12n^4$
Ответ: $3n^6 + 6n^5 - 12n^4$.

б) Умножим одночлен $-2m^3$ на многочлен $(3m - 2m^2 + m^3)$, используя распределительное свойство умножения.
$-2m^3(3m - 2m^2 + m^3) = (-2m^3) \cdot 3m + (-2m^3) \cdot (-2m^2) + (-2m^3) \cdot m^3$
Вычислим каждое произведение:
$(-2m^3) \cdot 3m = (-2 \cdot 3)m^{3+1} = -6m^4$
$(-2m^3) \cdot (-2m^2) = ((-2) \cdot (-2))m^{3+2} = 4m^5$
$(-2m^3) \cdot m^3 = -2m^{3+3} = -2m^6$
Сложим результаты и для приведения к стандартному виду запишем многочлен, расположив его члены по убыванию степеней переменной $m$:
$-6m^4 + 4m^5 - 2m^6 = -2m^6 + 4m^5 - 6m^4$
Ответ: $-2m^6 + 4m^5 - 6m^4$.

в) Умножим одночлен $5xy^2$ на многочлен $(2x - x^2y - x^3)$.
$5xy^2(2x - x^2y - x^3) = 5xy^2 \cdot 2x + 5xy^2 \cdot (-x^2y) + 5xy^2 \cdot (-x^3)$
Последовательно умножаем одночлен на каждый член многочлена:
$5xy^2 \cdot 2x = (5 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot y^2 = 10x^{1+1}y^2 = 10x^2y^2$
$5xy^2 \cdot (-x^2y) = -5 \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y) = -5x^{1+2}y^{2+1} = -5x^3y^3$
$5xy^2 \cdot (-x^3) = -5 \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^2 = -5x^{1+3}y^2 = -5x^4y^2$
Суммируем полученные выражения:
$10x^2y^2 - 5x^3y^3 - 5x^4y^2$
Для стандартного вида можно упорядочить члены, например, по убыванию степени переменной $x$:
$-5x^4y^2 - 5x^3y^3 + 10x^2y^2$
Ответ: $-5x^4y^2 - 5x^3y^3 + 10x^2y^2$.

Упростите выражение (6.95–6.96).

6.95 а) $3n^2 - n(4n - 6m)$

б) $5a + 2a(3a - 2)$

в) $5c^3 - 3c^2(2c - 1)$

а) Чтобы упростить выражение $3n^2 - n(4n - 6m)$, необходимо сначала раскрыть скобки. Для этого умножим одночлен $-n$ на каждый член многочлена в скобках $(4n - 6m)$, используя распределительное свойство умножения.

$ -n \cdot (4n - 6m) = (-n) \cdot 4n + (-n) \cdot (-6m) = -4n^2 + 6nm $

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ 3n^2 + (-4n^2 + 6nm) = 3n^2 - 4n^2 + 6nm $

Далее приведем подобные слагаемые. Подобными являются $3n^2$ и $-4n^2$.

$ (3 - 4)n^2 + 6nm = -1n^2 + 6nm = -n^2 + 6nm $

Ответ: $-n^2 + 6nm$

б) Чтобы упростить выражение $5a + 2a(3a - 2)$, сначала раскроем скобки, умножив одночлен $2a$ на каждый член многочлена $(3a - 2)$.

$ 2a \cdot (3a - 2) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot (-2) = 6a^2 - 4a $

Подставим полученное выражение в исходное:

$ 5a + (6a^2 - 4a) = 5a + 6a^2 - 4a $

Приведем подобные слагаемые $5a$ и $-4a$.

$ (5a - 4a) + 6a^2 = a + 6a^2 $

Для стандартного вида многочлена запишем его в порядке убывания степеней переменной:

$ 6a^2 + a $

Ответ: $6a^2 + a$

в) Чтобы упростить выражение $5c^3 - 3c^2(2c - 1)$, раскроем скобки, умножив одночлен $-3c^2$ на многочлен $(2c - 1)$. Обращаем внимание на знак минус перед множителем.

$ -3c^2 \cdot (2c - 1) = (-3c^2) \cdot 2c + (-3c^2) \cdot (-1) = -6c^{2+1} + 3c^2 = -6c^3 + 3c^2 $

Подставим результат в исходное выражение:

$ 5c^3 + (-6c^3 + 3c^2) = 5c^3 - 6c^3 + 3c^2 $

Приведем подобные слагаемые $5c^3$ и $-6c^3$.

$ (5 - 6)c^3 + 3c^2 = -1c^3 + 3c^2 = -c^3 + 3c^2 $

Ответ: $-c^3 + 3c^2$

6.96 a) $2x(x-y) - y(y-2x)$;

Б) $a(a^2-1) + a^2(a-1)$;

В) $2(x^2-7) + (7-2x^2)$;

Г) $3x(x-y) + 3y(x+y)$.

а) Чтобы упростить выражение $2x(x - y) - y(y - 2x)$, раскроем скобки. Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на каждый член внутри скобки.

$2x \cdot x + 2x \cdot (-y) - y \cdot y - y \cdot (-2x) = 2x^2 - 2xy - y^2 + 2xy$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-2xy$ и $2xy$ являются противоположными, и их сумма равна нулю.

$2x^2 - y^2 + (-2xy + 2xy) = 2x^2 - y^2$

Ответ: $2x^2 - y^2$

б) Упростим выражение $a(a^2 - 1) + a^2(a - 1)$. Сначала раскроем скобки.

$a \cdot a^2 + a \cdot (-1) + a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-1) = a^3 - a + a^3 - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сложим $a^3$ и $a^3$.

$(a^3 + a^3) - a^2 - a = 2a^3 - a^2 - a$

Ответ: $2a^3 - a^2 - a$

в) Рассмотрим выражение $2(x^2 - 7) + (7 - 2x^2)$. Раскроем скобки.

$2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-7) + 7 - 2x^2 = 2x^2 - 14 + 7 - 2x^2$

Сгруппируем подобные слагаемые.

$(2x^2 - 2x^2) + (-14 + 7)$

Сумма $2x^2$ и $-2x^2$ равна нулю, а сумма $-14$ и $7$ равна $-7$.

$0 - 7 = -7$

Ответ: $-7$

г) Упростим выражение $3x(x - y) + 3y(x + y)$, раскрыв скобки.

$3x \cdot x + 3x \cdot (-y) + 3y \cdot x + 3y \cdot y = 3x^2 - 3xy + 3xy + 3y^2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-3xy$ и $3xy$ взаимно уничтожаются.

$3x^2 + 3y^2 + (-3xy + 3xy) = 3x^2 + 3y^2$

Ответ: $3x^2 + 3y^2$

6.97 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

a) $a(a + b) - b(a - b)$ при $a = -2,5, b = -3;$

б) $4m(m - 2) - (4m^2 - 1)$ при $m = \frac{1}{16};$

а) Найдем значение выражения $a(a + b) - b(a - b)$ при $a = -2,5$ и $b = -3$.

Для начала упростим исходное выражение. Для этого раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

$a(a + b) - b(a - b) = a^2 + ab - (ba - b^2) = a^2 + ab - ab + b^2$.

Теперь приведем подобные слагаемые ($ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются):

$a^2 + (ab - ab) + b^2 = a^2 + b^2$.

Мы получили упрощенное выражение $a^2 + b^2$. Теперь подставим в него заданные значения переменных $a = -2,5$ и $b = -3$:

$(-2,5)^2 + (-3)^2 = 6,25 + 9 = 15,25$.

Ответ: 15,25

б) Найдем значение выражения $4m(m - 2) - (4m^2 - 1)$ при $m = \frac{1}{16}$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Обратите внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при ее раскрытии знаки слагаемых изменятся на противоположные:

$4m(m - 2) - (4m^2 - 1) = 4m \cdot m - 4m \cdot 2 - 4m^2 + 1 = 4m^2 - 8m - 4m^2 + 1$.

Приведем подобные слагаемые ($4m^2$ и $-4m^2$ взаимно уничтожаются):

$(4m^2 - 4m^2) - 8m + 1 = -8m + 1$.

Теперь подставим в упрощенное выражение $-8m + 1$ значение $m = \frac{1}{16}$:

$-8 \cdot \frac{1}{16} + 1 = -\frac{8}{16} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = 0,5$.

Ответ: 0,5