Страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.60 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Предложение «Число, в котором в разряде сотен записана цифра $x$, в разряде десятков — цифра $y$, в разряде единиц — цифра $z$» коротко записывают так: $\overline{xyz}$. Такое число может быть представлено в виде многочлена: $\overline{xyz} = 100x + 10y + z$. Представьте в виде многочлена число:

а) $\overline{xy}$;

б) $\overline{yz}$;

в) $\overline{abc}$;

г) $\overline{cba}$;

д) $\overline{mnpq}$;

е) $\overline{qpnm}$.

а)Число $\overline{xy}$ является двузначным. В нем цифра $x$ обозначает количество десятков, а цифра $y$ — количество единиц. Чтобы представить это число в виде многочлена, нужно каждую цифру умножить на ее разрядный вес ($10$ для десятков, $1$ для единиц) и сложить полученные произведения.Таким образом, число $\overline{xy}$ можно записать как $x \cdot 10 + y \cdot 1$.
Ответ: $\overline{xy} = 10x + y$

б)Число $\overline{yz}$ также является двузначным. В нем цифра $y$ стоит в разряде десятков, а цифра $z$ — в разряде единиц. Представляем его в виде многочлена аналогично предыдущему пункту: умножаем цифру десятков на $10$, а цифру единиц на $1$, и складываем результаты.Таким образом, получаем $y \cdot 10 + z \cdot 1$.
Ответ: $\overline{yz} = 10y + z$

в)Число $\overline{abc}$ является трехзначным. Цифра $a$ находится в разряде сотен, $b$ — в разряде десятков, и $c$ — в разряде единиц. Представление в виде многочлена будет суммой произведений каждой цифры на ее разрядный вес ($100$ для сотен, $10$ для десятков, $1$ для единиц).Запись в виде многочлена: $a \cdot 100 + b \cdot 10 + c \cdot 1$.
Ответ: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$

г)Число $\overline{cba}$ также является трехзначным. Однако здесь цифры поменялись местами. Цифра $c$ стоит в разряде сотен, $b$ — в разряде десятков, и $a$ — в разряде единиц. Применяем тот же принцип: умножаем каждую цифру на ее разрядный вес.Получаем многочлен: $c \cdot 100 + b \cdot 10 + a \cdot 1$.
Ответ: $\overline{cba} = 100c + 10b + a$

д)Число $\overline{mnpq}$ является четырехзначным. Разряды, слева направо: тысячи, сотни, десятки, единицы. Соответственно, цифра $m$ — в разряде тысяч (вес $1000$), $n$ — в разряде сотен (вес $100$), $p$ — в разряде десятков (вес $10$), и $q$ — в разряде единиц (вес $1$).Представим число в виде многочлена: $m \cdot 1000 + n \cdot 100 + p \cdot 10 + q \cdot 1$.
Ответ: $\overline{mnpq} = 1000m + 100n + 10p + q$

е)Число $\overline{qpnm}$ — это четырехзначное число, в котором цифры из предыдущего пункта записаны в обратном порядке. Здесь $q$ — цифра тысяч, $p$ — цифра сотен, $n$ — цифра десятков, и $m$ — цифра единиц.Запишем его в виде многочлена, умножая каждую цифру на вес ее разряда: $q \cdot 1000 + p \cdot 100 + n \cdot 10 + m \cdot 1$.
Ответ: $\overline{qpnm} = 1000q + 100p + 10n + m$

6.61 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11;

б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11.

а)

Пусть четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $\overline{aaaa}$, где $a$ — это цифра от 1 до 9 (цифра не может быть 0, иначе число не будет четырёхзначным).

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1000 + a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = a \cdot 1111$

Чтобы доказать, что число $\overline{aaaa}$ делится на 11, достаточно показать, что один из множителей в произведении $a \cdot 1111$ делится на 11. Проверим, делится ли число 1111 на 11:
$1111 \div 11 = 101$

Так как 1111 делится на 11 без остатка, то мы можем представить число $\overline{aaaa}$ в следующем виде:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1111 = a \cdot (11 \cdot 101) = 11 \cdot (101 \cdot a)$

Поскольку число $\overline{aaaa}$ можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 11, то оно делится на 11, что и требовалось доказать.

Также можно использовать признак делимости на 11. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (сумма цифр на нечетных местах минус сумма цифр на четных местах) делится на 11. Для числа $\overline{aaaa}$ эта сумма равна:
$(a + a) - (a + a) = a - a + a - a = 0$
Число 0 делится на 11 ($0 \div 11 = 0$), следовательно, любое число вида $\overline{aaaa}$ делится на 11.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $\overline{aaa}$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых и вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1 = a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Докажем, что число делится на 37.
Для этого проверим, делится ли число 111 на 37:
$111 \div 37 = 3$

Так как 111 делится на 37, то число $\overline{aaa}$ можно представить в виде:
$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37) = 37 \cdot (3 \cdot a)$

Поскольку число $\overline{aaa}$ можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 37, то оно делится на 37.

Докажем, что число не делится на 11.
Рассмотрим произведение $a \cdot 111$. Для того чтобы оно делилось на простое число 11, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей ($a$ или 111) делился на 11.

1. Проверим множитель 111:
$111 = 110 + 1 = 11 \cdot 10 + 1$. При делении 111 на 11 получаем остаток 1. Следовательно, 111 не делится на 11.

2. Множитель $a$ — это цифра от 1 до 9. Ни одна из этих цифр не делится на 11.

Так как ни один из множителей ($a$ и 111) не делится на 11, то и их произведение $\overline{aaa}$ не делится на 11.

Используя признак делимости на 11, для числа $\overline{aaa}$ знакопеременная сумма цифр равна:
$a - a + a = a$
Чтобы число $\overline{aaa}$ делилось на 11, необходимо, чтобы $a$ делилось на 11. Но $a$ — это цифра от 1 до 9, и ни одна из них не делится на 11. Значит, число $\overline{aaa}$ не делится на 11.

Ответ: Доказано.

6.62 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Маша решила накапливать на банковском счёте небольшие денежные суммы, которые она получала в подарок от родственников на Новый год. Она нашла банк, который начислял 10% годовых (т. е. увеличивал на 10% в год сумму, имеющуюся на счёте). В первый год она внесла 300 р., во второй — 500 р., в третий — 200 р., в четвёртый — 700 р. Как посчитать, сколько денег было на её счёте после внесения четвёртого взноса?

Будем рассуждать так. Через год после внесения суммы и далее каждый год банк увеличивал её на 10%, т. е. в 1,1 раза, плюс добавлялась новая сумма. Результат показан в таблице.

Год | Сумма на счёте (в рублях) | Итого (в рублях)

1-й | 300 | 300

2-й | $300 \cdot 1,1 + 500$ | 830

3-й | $300 \cdot (1,1)^2 + 500 \cdot 1,1 + 200$ | 1113

4-й | $300 \cdot (1,1)^3 + 500 \cdot (1,1)^2 + 200 \cdot 1,1 + 700$ | 1924,3

Рост взноса 1-го года | Рост взноса 2-го года | Рост взноса 3-го года | Взнос 4-го года

Обозначив 1,1 (коэффициент роста) буквой $x$, мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$. Если, например, коэффициент роста будет другим, то достаточно подставить в это выражение вместо $x$ его значение и выполнить вычисления.

1) Вычислите, какой была бы сумма на счёте Маши, если бы банк начислял 12% годовых.

2) Представьте, что вы открыли счёт с коэффициентом роста $x$ и один раз в год вносите на этот счёт 1000 р. Составьте выражение для вычисления суммы, которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса. Определите эту сумму, если ежегодное начисление составляет 6%.

1) Для решения этой задачи воспользуемся общей формулой, представленной в условии: $S = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$, где $x$ — это коэффициент роста.

Коэффициент роста вычисляется как $1 + \frac{\text{процентная ставка}}{100}$.

Если банк начисляет 12% годовых, то коэффициент роста $x$ будет равен:

$x = 1 + \frac{12}{100} = 1.12$

Теперь подставим это значение в общую формулу для вычисления итоговой суммы на счёте Маши после четвёртого взноса:

$S = 300 \cdot (1.12)^3 + 500 \cdot (1.12)^2 + 200 \cdot 1.12 + 700$

Выполним вычисления:

$(1.12)^2 = 1.2544$

$(1.12)^3 = 1.2544 \cdot 1.12 = 1.404928$

$S = 300 \cdot 1.404928 + 500 \cdot 1.2544 + 200 \cdot 1.12 + 700$

$S = 421.4784 + 627.2 + 224 + 700$

$S = 1972.6784$

Таким образом, если бы банк начислял 12% годовых, на счёте Маши было бы 1972,6784 рубля.

Ответ: 1972,6784 рубля.

2) Сначала составим выражение для вычисления суммы на счёте сразу после третьего взноса. Пусть ежегодный взнос равен 1000 р., а коэффициент роста — $x$.

• В конце 1-го года вы вносите 1000 р. Сумма на счёте: $1000$.
• За 2-й год на эту сумму начисляются проценты, и она становится равной $1000 \cdot x$. Вы вносите ещё 1000 р. Сумма на счёте: $1000x + 1000$.
• За 3-й год на всю имеющуюся сумму снова начисляются проценты: $(1000x + 1000) \cdot x = 1000x^2 + 1000x$. Вы вносите третий взнос 1000 р. Итоговая сумма на счёте после третьего взноса: $1000x^2 + 1000x + 1000$.

Итак, выражение для вычисления суммы: $S_3 = 1000x^2 + 1000x + 1000$.

Теперь определим эту сумму, если ежегодное начисление составляет 6%.

Коэффициент роста $x$ при ставке 6% годовых равен:

$x = 1 + \frac{6}{100} = 1.06$

Подставим значение $x = 1.06$ в полученное выражение:

$S_3 = 1000 \cdot (1.06)^2 + 1000 \cdot 1.06 + 1000$

$S_3 = 1000 \cdot 1.1236 + 1060 + 1000$

$S_3 = 1123.6 + 1060 + 1000$

$S_3 = 3183.6$

Ответ: выражение для вычисления суммы $S_3 = 1000x^2 + 1000x + 1000$; при ставке 6% годовых эта сумма составит 3183,6 рубля.