Страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.34 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите значение выражения, воспользовавшись формулой $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$:

а) $\frac{10^3}{2^3}$;

б) $100^4 : 50^4$;

в) $\frac{6^6}{3^6}$;

г) $7^3 : 14^3$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{10^3}{2^3}$, воспользуемся свойством степени частного $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. В данном случае $a=10$, $b=2$ и $n=3$.

Применяем формулу:

$\frac{10^3}{2^3} = (\frac{10}{2})^3 = 5^3$

Вычисляем результат:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125.

б) Выражение $100^4 : 50^4$ можно записать в виде дроби $\frac{100^4}{50^4}$. Применим то же свойство степени, где $a=100$, $b=50$ и $n=4$.

Применяем формулу:

$100^4 : 50^4 = \frac{100^4}{50^4} = (\frac{100}{50})^4 = 2^4$

Вычисляем результат:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16.

в) Для выражения $\frac{6^6}{3^6}$ применяем формулу $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, где $a=6$, $b=3$ и $n=6$.

Применяем формулу:

$\frac{6^6}{3^6} = (\frac{6}{3})^6 = 2^6$

Вычисляем результат:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Ответ: 64.

г) Выражение $7^3 : 14^3$ преобразуем в дробь $\frac{7^3}{14^3}$ и используем свойство степени частного. В этом примере $a=7$, $b=14$ и $n=3$.

Применяем формулу:

$7^3 : 14^3 = \frac{7^3}{14^3} = (\frac{7}{14})^3 = (\frac{1}{2})^3$

Вычисляем результат:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Упростите (6.35–6.36).

6.35 а) $3x \cdot (2x)^3;$

б) $4b \cdot (3b)^3;$

в) $-2a \cdot (ab)^2;$

г) $(x^2y)^3 \cdot (-x);$

д) $2y \cdot (-4y)^2;$

е) $(-b)^3 \cdot 5ab;$

ж) $-x \cdot (x^2y)^4;$

з) $10a \cdot (10a)^3;$

и) $(-2m^3)^2 \cdot 5mn.$

а) Для упрощения выражения $3x \cdot (2x)^3$ сначала возведем в степень одночлен в скобках. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
Теперь умножим полученный результат на $3x$. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$3x \cdot 8x^3 = (3 \cdot 8) \cdot (x^1 \cdot x^3) = 24x^{1+3} = 24x^4$.
Ответ: $24x^4$

б) Упростим выражение $4b \cdot (3b)^3$.
Возведем в куб выражение в скобках:
$(3b)^3 = 3^3 \cdot b^3 = 27b^3$.
Теперь выполним умножение:
$4b \cdot 27b^3 = (4 \cdot 27) \cdot (b^1 \cdot b^3) = 108b^{1+3} = 108b^4$.
Ответ: $108b^4$

в) Упростим выражение $-2a \cdot (ab)^2$.
Возведем в квадрат выражение в скобках:
$(ab)^2 = a^2 \cdot b^2 = a^2b^2$.
Выполним умножение:
$-2a \cdot a^2b^2 = -2 \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot b^2 = -2a^{1+2}b^2 = -2a^3b^2$.
Ответ: $-2a^3b^2$

г) Упростим выражение $(x^2y)^3 \cdot (-x)$.
Возведем в куб первый множитель, используя свойства степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^2y)^3 = (x^2)^3 \cdot y^3 = x^{2 \cdot 3}y^3 = x^6y^3$.
Теперь умножим полученный результат на $(-x)$:
$x^6y^3 \cdot (-x) = - (x^6 \cdot x^1) \cdot y^3 = -x^{6+1}y^3 = -x^7y^3$.
Ответ: $-x^7y^3$

д) Упростим выражение $2y \cdot (-4y)^2$.
Возведем в квадрат выражение в скобках. Обратите внимание, что при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:
$(-4y)^2 = (-4)^2 \cdot y^2 = 16y^2$.
Выполним умножение:
$2y \cdot 16y^2 = (2 \cdot 16) \cdot (y^1 \cdot y^2) = 32y^{1+2} = 32y^3$.
Ответ: $32y^3$

е) Упростим выражение $(-b)^3 \cdot 5ab$.
Возведем в куб первый множитель. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:
$(-b)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 = -b^3$.
Выполним умножение:
$-b^3 \cdot 5ab = -5 \cdot a \cdot (b^3 \cdot b^1) = -5ab^{3+1} = -5ab^4$.
Ответ: $-5ab^4$

ж) Упростим выражение $-x \cdot (x^2y)^4$.
Возведем в четвертую степень выражение в скобках:
$(x^2y)^4 = (x^2)^4 \cdot y^4 = x^{2 \cdot 4}y^4 = x^8y^4$.
Выполним умножение:
$-x \cdot x^8y^4 = -(x^1 \cdot x^8) \cdot y^4 = -x^{1+8}y^4 = -x^9y^4$.
Ответ: $-x^9y^4$

з) Упростим выражение $10a \cdot (10a)^3$.
Можно представить $10a$ как $(10a)^1$ и использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием:
$(10a)^1 \cdot (10a)^3 = (10a)^{1+3} = (10a)^4$.
Теперь возведем в степень:
$(10a)^4 = 10^4 \cdot a^4 = 10000a^4$.
Альтернативный способ: сначала возвести в степень, а потом умножить.
$(10a)^3 = 10^3 \cdot a^3 = 1000a^3$.
$10a \cdot 1000a^3 = (10 \cdot 1000) \cdot (a^1 \cdot a^3) = 10000a^{1+3} = 10000a^4$.
Ответ: $10000a^4$

и) Упростим выражение $(-2m^3)^2 \cdot 5mn$.
Возведем в квадрат первый множитель:
$(-2m^3)^2 = (-2)^2 \cdot (m^3)^2 = 4m^{3 \cdot 2} = 4m^6$.
Выполним умножение:
$4m^6 \cdot 5mn = (4 \cdot 5) \cdot (m^6 \cdot m^1) \cdot n = 20m^{6+1}n = 20m^7n$.
Ответ: $20m^7n$

6.36 a) $(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3;$

б) $(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3;$

в) $(-\frac{1}{2} m^2n)^2 \cdot (4mn^3)^2.$

г) $(-yz)^2 \cdot (2yz)^3 \cdot 0,5z;$

д) $((-0,1a^4b)^2)^3;$

е) $-0,01c^3(-10ac^2)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3$, применим свойства степеней. Сначала возведем в степень каждый одночлен в скобках, используя правила $(xy)^n=x^ny^n$ и $(x^m)^n=x^{mn}$:
$(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3 = ((a^2)^2 \cdot b^2) \cdot (a^3 \cdot (b^2)^3) = (a^{2 \cdot 2}b^2) \cdot (a^3b^{2 \cdot 3}) = (a^4b^2) \cdot (a^3b^6)$.
Теперь перемножим полученные одночлены, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями и сложив их показатели по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^4b^2 \cdot a^3b^6 = a^{4+3}b^{2+6} = a^7b^8$.
Ответ: $a^7b^8$

б) Упростим выражение $(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3$. Сначала возведем в степень каждый из одночленов в скобках:
$(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3 = ((x^3)^3 \cdot y^3) \cdot (x^3 \cdot (y^2)^3) = (x^{3 \cdot 3}y^3) \cdot (x^3y^{2 \cdot 3}) = (x^9y^3) \cdot (x^3y^6)$.
Далее перемножим результаты, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:
$x^9y^3 \cdot x^3y^6 = (x^9 \cdot x^3)(y^3 \cdot y^6) = x^{9+3}y^{3+6} = x^{12}y^9$.
Ответ: $x^{12}y^9$

в) Упростим выражение $(-\frac{1}{2}m^2n)^2 \cdot (4mn^3)^2$. Возведем в квадрат каждый множитель:
$(-\frac{1}{2}m^2n)^2 = (-\frac{1}{2})^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = \frac{1}{4}m^4n^2$.
$(4mn^3)^2 = 4^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = 16m^2n^6$.
Теперь перемножим полученные выражения, сгруппировав числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{1}{4}m^4n^2) \cdot (16m^2n^6) = (\frac{1}{4} \cdot 16) \cdot (m^4m^2) \cdot (n^2n^6) = 4m^{4+2}n^{2+6} = 4m^6n^8$.
Ответ: $4m^6n^8$

г) Упростим выражение $(-yz)^2 \cdot (2yz)^3 \cdot 0,5z$. Сначала раскроем скобки, возводя в степень:
$(-yz)^2 = (-1)^2 \cdot y^2 \cdot z^2 = y^2z^2$.
$(2yz)^3 = 2^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = 8y^3z^3$.
Подставим полученные выражения обратно и перемножим все члены:
$y^2z^2 \cdot 8y^3z^3 \cdot 0,5z = (8 \cdot 0,5) \cdot (y^2y^3) \cdot (z^2z^3z^1) = 4y^{2+3}z^{2+3+1} = 4y^5z^6$.
Ответ: $4y^5z^6$

д) Упростим выражение $((-0,1a^4b)^2)^3$. Будем раскрывать скобки последовательно, изнутри наружу. Сначала возведем в квадрат внутреннее выражение:
$(-0,1a^4b)^2 = (-0,1)^2 \cdot (a^4)^2 \cdot b^2 = 0,01a^{4 \cdot 2}b^2 = 0,01a^8b^2$.
Теперь возведем полученный результат в куб:
$(0,01a^8b^2)^3 = (0,01)^3 \cdot (a^8)^3 \cdot (b^2)^3 = 0,000001 \cdot a^{8 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 0,000001a^{24}b^6$.
Ответ: $0,000001a^{24}b^6$

е) Упростим выражение $-0,01c^3(-10ac^2)^2$. В первую очередь выполним возведение в степень выражения в скобках:
$(-10ac^2)^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot (c^2)^2 = 100a^2c^{2 \cdot 2} = 100a^2c^4$.
Теперь подставим это в исходное выражение и выполним умножение:
$-0,01c^3 \cdot (100a^2c^4) = (-0,01 \cdot 100) \cdot a^2 \cdot (c^3c^4) = -1a^2c^{3+4} = -a^2c^7$.
Ответ: $-a^2c^7$

6.37 РАССУЖДАЕМ

a) Докажите, что если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то его площадь увеличится в 100 раз.

б) Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в $n$ раз?

a) Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = a^2$. После увеличения стороны в 10 раз новая сторона квадрата станет равной $10a$. Площадь нового квадрата $S_2$ будет равна: $S_2 = (10a)^2 = 10^2 \cdot a^2 = 100a^2$. Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к старой: $$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{100a^2}{a^2} = 100 $$ Таким образом, площадь квадрата увеличится в 100 раз, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что площадь увеличится в 100 раз.

б) Пусть ребро исходного куба равно $a$. Тогда его объём $V_1$ вычисляется по формуле: $V_1 = a^3$. Если ребро куба увеличить в $n$ раз, то новое ребро будет равно $na$. Объём нового куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (na)^3 = n^3 \cdot a^3$. Найдем отношение нового объёма к старому, чтобы определить, во сколько раз он увеличился: $$ \frac{V_2}{V_1} = \frac{n^3a^3}{a^3} = n^3 $$ Следовательно, объём куба увеличится в $n^3$ раз.
Ответ: в $n^3$ раз.

6.38 Вычислите:

a) $\frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4}$;

б) $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4}$;

в) $\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2}$;

г) $\frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Сначала упростим числитель и знаменатель дроби, используя правило возведения степени в степень:
$(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$
$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4} = \frac{5^{12} \cdot 5^8}{5^{20}}$
В числителе применим правило умножения степеней, сложив их показатели:
$5^{12} \cdot 5^8 = 5^{12+8} = 5^{20}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{5^{20}}{5^{20}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$\frac{5^{20}}{5^{20}} = 5^{20-20} = 5^0 = 1$
Ответ: 1

б) Приведем все числа в выражении к основанию 2. Нам известно, что $64 = 2^6$.
Подставим это значение в исходную дробь:
$\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4} = \frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{(2^6)^4}$
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ к числителю и знаменателю:
$(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$
$(2^6)^4 = 2^{6 \cdot 4} = 2^{24}$
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{2^6 \cdot 2^{15}}{2^{24}}$
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$2^6 \cdot 2^{15} = 2^{6+15} = 2^{21}$
Теперь выполним деление степеней, вычитая показатели $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{21-24} = 2^{-3}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Приведем все числа к основанию 3. Нам известно, что $27 = 3^3$ и $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.
Заменим числа в выражении их степенными представлениями:
$\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot 3^3}{(3^4)^2}$
Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$
Подставим в дробь:
$\frac{3^6 \cdot 3^3}{3^8}$
В числителе применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^6 \cdot 3^3 = 3^{6+3} = 3^9$
Теперь выполним деление:
$\frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3$
Ответ: 3

г) Приведем все множители к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125} = \frac{(5^2)^6}{(5^3)^3 \cdot 5^3}$
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
В числителе: $(5^2)^6 = 5^{2 \cdot 6} = 5^{12}$
В знаменателе: $(5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9$
Подставим полученные результаты в дробь:
$\frac{5^{12}}{5^9 \cdot 5^3}$
В знаменателе используем правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^9 \cdot 5^3 = 5^{9+3} = 5^{12}$
Теперь выражение принимает вид:
$\frac{5^{12}}{5^{12}} = 5^{12-12} = 5^0 = 1$
Ответ: 1

6.39 Найдите значение выражения:

а) $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$;

б) $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$;

в) $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$;

г) $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$, представим знаменатель $10$ как произведение простых множителей $2 \cdot 5$.
$\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} = \frac{5^2 \cdot 2^4}{(2 \cdot 5)^4}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{5^2 \cdot 2^4}{2^4 \cdot 5^4}$
Сократим одинаковые множители $2^4$ в числителе и знаменателе. Затем применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^2}{5^4} = 5^{2-4} = 5^{-2}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$, представим основания $4$ и $6$ в виде произведения простых множителей.
$4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2)^3 \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^7}$
Применим свойства степени: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7} = \frac{2^6 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^6}{2^7} \cdot \frac{3^8}{3^7} = 2^{6-7} \cdot 3^{8-7} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$, разложим основания $27$, $25$ и $15$ на простые множители.
$27 = 3^3$, $25 = 5^2$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим в выражение:
$\frac{(3^3)^3 \cdot (5^2)^5}{(3 \cdot 5)^8}$
Применим свойства степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 5^{2 \cdot 5}}{3^8 \cdot 5^8} = \frac{3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^8}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{9-8} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: $75$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$, представим числа $125$, $49$ и $35$ в виде степеней простых чисел.
$125 = 5^3$, $49 = 7^2$ и $35 = 5 \cdot 7$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(5^3 \cdot 7^2)^3}{(5 \cdot 7)^6}$
Раскроем скобки, используя свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(5^3)^3 \cdot (7^2)^3}{5^6 \cdot 7^6} = \frac{5^{3 \cdot 3} \cdot 7^{2 \cdot 3}}{5^6 \cdot 7^6} = \frac{5^9 \cdot 7^6}{5^6 \cdot 7^6}$
Сократим $7^6$ в числителе и знаменателе, а затем применим правило деления степеней для основания $5$:
$\frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3 = 125$.
Ответ: $125$.

6.40 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Вычислите:

а) $0.25^{40} \cdot 4^{42}$;

б) $2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{103}$;

в) $\left(\frac{3}{4}\right)^{50} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49}$;

г) $\left(-\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23}$.

а) $0,25^{40} \cdot 4^{42}$

Для решения приведем степени к одному показателю. Для этого представим множитель $4^{42}$ в виде произведения $4^{40} \cdot 4^2$. Выражение примет вид:

$0,25^{40} \cdot 4^{40} \cdot 4^2$

Сгруппируем первые два множителя и воспользуемся свойством степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(0,25 \cdot 4)^{40} \cdot 4^2$

Вычислим значение в скобках: $0,25 \cdot 4 = 1$. Тогда выражение упрощается до $1^{40} \cdot 4^2$. Так как $1$ в любой степени равен $1$, а $4^2 = 16$, получаем:

$1 \cdot 16 = 16$

Ответ: $16$.

б) $2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{103}$

Приведем степени к одному показателю. Представим множитель $(\frac{1}{2})^{103}$ как произведение $(\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$. Выражение примет вид:

$2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(2 \cdot \frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Произведение в скобках равно $1$. Выражение упрощается до $1^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$. Так как $1^{100} = 1$, а $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$, получаем:

$1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) $(\frac{3}{4})^{50} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Чтобы сгруппировать множители, приведем их к одному показателю степени. Представим $(\frac{3}{4})^{50}$ как $(\frac{3}{4})^{49} \cdot (\frac{3}{4})^1$. Выражение примет вид:

$(\frac{3}{4})^{49} \cdot \frac{3}{4} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем $49$ и применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3})^{49} \cdot \frac{3}{4}$

Произведение в скобках — это произведение взаимно обратных чисел, оно равно $1$. Выражение упрощается до $1^{49} \cdot \frac{3}{4}$. Так как $1^{49} = 1$, получаем:

$1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $(-\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Поскольку отрицательное основание $(-\frac{2}{3})$ возводится в четную степень $24$, результат будет положительным: $(-\frac{2}{3})^{24} = (\frac{2}{3})^{24}$. Перепишем выражение:

$(\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Приведем степени к одному показателю. Представим $(\frac{2}{3})^{24}$ как $(\frac{2}{3})^{23} \cdot (\frac{2}{3})^1$. Выражение примет вид:

$(\frac{2}{3})^{23} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем $23$ и применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{23} \cdot \frac{2}{3}$

Произведение в скобках равно $1$, так как дроби взаимно обратные. Выражение упрощается до $1^{23} \cdot \frac{2}{3}$. Так как $1^{23} = 1$, получаем:

$1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6.41 РАССУЖДАЕМ При каких значениях $x$ выполняется равенство:

а) $2^{x+4} = 64$, $2^x \cdot 2^3 = 64$, $(2^x)^3 = 64$;

б) $10^{3x+1} = 10 000$, $10^x \cdot 10^{x+1} = 100 000$, $(10^{x+1})^2 = 1 000 000?$

a) Решим первое уравнение: $2^{x+4} = 64$.
Чтобы решить показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.
Представим число 64 в виде степени числа 2: $64 = 2^6$.
Теперь уравнение выглядит так: $2^{x+4} = 2^6$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x+4 = 6$
$x = 6 - 4$
$x = 2$
Ответ: 2.

Решим второе уравнение: $2^x \cdot 2^3 = 64$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для упрощения левой части:
$2^{x+3} = 64$
Снова представим 64 как $2^6$:
$2^{x+3} = 2^6$
Приравниваем показатели:
$x+3 = 6$
$x = 6 - 3$
$x = 3$
Ответ: 3.

Решим третье уравнение: $(2^x)^3 = 64$.
Используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$) для упрощения левой части:
$2^{3x} = 64$
Заменяем 64 на $2^6$:
$2^{3x} = 2^6$
Приравниваем показатели:
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Ответ: 2.

б) Решим первое уравнение: $10^{3x+1} = 10\,000$.
Приведем обе части к основанию 10.
Правая часть: $10\,000 = 10^4$.
Уравнение принимает вид: $10^{3x+1} = 10^4$.
Приравниваем показатели степеней:
$3x+1 = 4$
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: 1.

Решим второе уравнение: $10^x \cdot 10^{x+1} = 100\,000$.
Упростим левую часть по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{x + (x+1)} = 10^{2x+1}$
Представим правую часть как степень 10: $100\,000 = 10^5$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x+1} = 10^5$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x+1 = 5$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: 2.

Решим третье уравнение: $(10^{x+1})^2 = 1\,000\,000$.
Упростим левую часть по свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:
$10^{(x+1) \cdot 2} = 10^{2x+2}$
Представим правую часть как степень 10: $1\,000\,000 = 10^6$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x+2} = 10^6$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x+2 = 6$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: 2.