Номер 6.40, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.40 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Вычислите:

а) $0.25^{40} \cdot 4^{42}$;

б) $2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{103}$;

в) $\left(\frac{3}{4}\right)^{50} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49}$;

г) $\left(-\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23}$.

а) $0,25^{40} \cdot 4^{42}$

Для решения приведем степени к одному показателю. Для этого представим множитель $4^{42}$ в виде произведения $4^{40} \cdot 4^2$. Выражение примет вид:

$0,25^{40} \cdot 4^{40} \cdot 4^2$

Сгруппируем первые два множителя и воспользуемся свойством степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(0,25 \cdot 4)^{40} \cdot 4^2$

Вычислим значение в скобках: $0,25 \cdot 4 = 1$. Тогда выражение упрощается до $1^{40} \cdot 4^2$. Так как $1$ в любой степени равен $1$, а $4^2 = 16$, получаем:

$1 \cdot 16 = 16$

Ответ: $16$.

б) $2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{103}$

Приведем степени к одному показателю. Представим множитель $(\frac{1}{2})^{103}$ как произведение $(\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$. Выражение примет вид:

$2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(2 \cdot \frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Произведение в скобках равно $1$. Выражение упрощается до $1^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$. Так как $1^{100} = 1$, а $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$, получаем:

$1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) $(\frac{3}{4})^{50} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Чтобы сгруппировать множители, приведем их к одному показателю степени. Представим $(\frac{3}{4})^{50}$ как $(\frac{3}{4})^{49} \cdot (\frac{3}{4})^1$. Выражение примет вид:

$(\frac{3}{4})^{49} \cdot \frac{3}{4} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем $49$ и применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3})^{49} \cdot \frac{3}{4}$

Произведение в скобках — это произведение взаимно обратных чисел, оно равно $1$. Выражение упрощается до $1^{49} \cdot \frac{3}{4}$. Так как $1^{49} = 1$, получаем:

$1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $(-\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Поскольку отрицательное основание $(-\frac{2}{3})$ возводится в четную степень $24$, результат будет положительным: $(-\frac{2}{3})^{24} = (\frac{2}{3})^{24}$. Перепишем выражение:

$(\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Приведем степени к одному показателю. Представим $(\frac{2}{3})^{24}$ как $(\frac{2}{3})^{23} \cdot (\frac{2}{3})^1$. Выражение примет вид:

$(\frac{2}{3})^{23} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем $23$ и применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{23} \cdot \frac{2}{3}$

Произведение в скобках равно $1$, так как дроби взаимно обратные. Выражение упрощается до $1^{23} \cdot \frac{2}{3}$. Так как $1^{23} = 1$, получаем:

$1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.