Номер 6.33, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.33 Возведите дробь в степень:

a) $$\left(\frac{2x}{5}\right)^2$$;

б) $$\left(\frac{1}{x^4}\right)^5$$;

в) $$\left(\frac{3}{2a}\right)^3$$;

г) $$\left(-\frac{y^2}{3}\right)^3$$;

д) $$\left(-\frac{1}{ab}\right)^2$$;

е) $$\left(\frac{x^2y}{2}\right)^4$$;

ж) $$\left(-\frac{ab}{c}\right)^5$$;

з) $$\left(-\frac{3a}{4b}\right)^2$$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Применяем правило возведения в степень дроби $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $ и правило возведения в степень произведения $ (ab)^n = a^n b^n $.
$ (\frac{2x}{5})^2 = \frac{(2x)^2}{5^2} = \frac{2^2 \cdot x^2}{25} = \frac{4x^2}{25} $.
Ответ: $ \frac{4x^2}{25} $

б) Используем правило возведения дроби в степень, а также правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.
$ (\frac{1}{x^4})^5 = \frac{1^5}{(x^4)^5} = \frac{1}{x^{4 \cdot 5}} = \frac{1}{x^{20}} $.
Ответ: $ \frac{1}{x^{20}} $

в) Возводим в куб (третью степень) числитель и знаменатель дроби.
$ (\frac{3}{2a})^3 = \frac{3^3}{(2a)^3} = \frac{27}{2^3 \cdot a^3} = \frac{27}{8a^3} $.
Ответ: $ \frac{27}{8a^3} $

г) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным. Далее возводим в степень числитель и знаменатель.
$ (-\frac{y^2}{3})^3 = -(\frac{y^2}{3})^3 = -\frac{(y^2)^3}{3^3} = -\frac{y^{2 \cdot 3}}{27} = -\frac{y^6}{27} $.
Ответ: $ -\frac{y^6}{27} $

д) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным.
$ (-\frac{1}{ab})^2 = (\frac{1}{ab})^2 = \frac{1^2}{(ab)^2} = \frac{1}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^2b^2} $

е) Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель, используя свойства степеней.
$ (\frac{x^2y}{2})^4 = \frac{(x^2y)^4}{2^4} = \frac{(x^2)^4 \cdot y^4}{16} = \frac{x^{2 \cdot 4} y^4}{16} = \frac{x^8y^4}{16} $.
Ответ: $ \frac{x^8y^4}{16} $

ж) Так как степень нечетная (5), знак минус сохраняется в итоговом выражении.
$ (-\frac{ab}{c})^5 = -(\frac{ab}{c})^5 = -\frac{(ab)^5}{c^5} = -\frac{a^5b^5}{c^5} $.
Ответ: $ -\frac{a^5b^5}{c^5} $

з) Так как степень четная (2), знак минус исчезает (отрицательное число в квадрате дает положительное).
$ (-\frac{3a}{4b})^2 = (\frac{3a}{4b})^2 = \frac{(3a)^2}{(4b)^2} = \frac{3^2 \cdot a^2}{4^2 \cdot b^2} = \frac{9a^2}{16b^2} $.
Ответ: $ \frac{9a^2}{16b^2} $