Номер 6.38, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.38 Вычислите:

a) $\frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4}$;

б) $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4}$;

в) $\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2}$;

г) $\frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Сначала упростим числитель и знаменатель дроби, используя правило возведения степени в степень:
$(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$
$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4} = \frac{5^{12} \cdot 5^8}{5^{20}}$
В числителе применим правило умножения степеней, сложив их показатели:
$5^{12} \cdot 5^8 = 5^{12+8} = 5^{20}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{5^{20}}{5^{20}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$\frac{5^{20}}{5^{20}} = 5^{20-20} = 5^0 = 1$
Ответ: 1

б) Приведем все числа в выражении к основанию 2. Нам известно, что $64 = 2^6$.
Подставим это значение в исходную дробь:
$\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4} = \frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{(2^6)^4}$
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ к числителю и знаменателю:
$(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$
$(2^6)^4 = 2^{6 \cdot 4} = 2^{24}$
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{2^6 \cdot 2^{15}}{2^{24}}$
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$2^6 \cdot 2^{15} = 2^{6+15} = 2^{21}$
Теперь выполним деление степеней, вычитая показатели $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{21-24} = 2^{-3}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Приведем все числа к основанию 3. Нам известно, что $27 = 3^3$ и $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.
Заменим числа в выражении их степенными представлениями:
$\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot 3^3}{(3^4)^2}$
Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$
Подставим в дробь:
$\frac{3^6 \cdot 3^3}{3^8}$
В числителе применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^6 \cdot 3^3 = 3^{6+3} = 3^9$
Теперь выполним деление:
$\frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3$
Ответ: 3

г) Приведем все множители к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125} = \frac{(5^2)^6}{(5^3)^3 \cdot 5^3}$
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
В числителе: $(5^2)^6 = 5^{2 \cdot 6} = 5^{12}$
В знаменателе: $(5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9$
Подставим полученные результаты в дробь:
$\frac{5^{12}}{5^9 \cdot 5^3}$
В знаменателе используем правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^9 \cdot 5^3 = 5^{9+3} = 5^{12}$
Теперь выражение принимает вид:
$\frac{5^{12}}{5^{12}} = 5^{12-12} = 5^0 = 1$
Ответ: 1