Номер 6.42, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.42 ИССЛЕДУЕМ Имеются кубики с ребром, равным 3 единицам, 4 единицам, 5 единицам и т. д. Каждый кубик покрасили и разрезали на единичные кубики. Заполните таблицу, ответив для каждого случая на вопросы:

1) Сколько получилось единичных кубиков?

2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?

3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?

4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?

5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?

Для решения задачи и заполнения таблицы рассмотрим общий случай, когда большой куб имеет ребро длиной $n$ единиц. После покраски и разрезания на единичные кубики, мы можем классифицировать их по количеству окрашенных граней.

1) Сколько получилось единичных кубиков?

Если ребро большого куба равно $n$ единицам, то он состоит из $n \times n \times n$ единичных кубиков. Таким образом, общее количество единичных кубиков равно объему большого куба.

Ответ: Общее число единичных кубиков равно $n^3$.

2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?

Три грани могут быть покрашены только у тех кубиков, которые находятся в вершинах (углах) большого куба. У любого куба 8 вершин. Следовательно, независимо от размера куба (при $n \ge 2$), количество кубиков с тремя покрашенными гранями всегда постоянно.

Ответ: 8 кубиков.

3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?

Две грани покрашены у кубиков, расположенных на ребрах большого куба, за исключением угловых кубиков. У куба 12 ребер. На каждом ребре длиной $n$ расположено $n$ кубиков. Два из них — угловые (у них 3 покрашенные грани). Таким образом, на каждом ребре остается $n-2$ кубика с двумя покрашенными гранями.

Ответ: Количество кубиков с двумя покрашенными гранями равно $12 \cdot (n-2)$.

4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?

Одна грань покрашена у кубиков, которые находятся на гранях большого куба, но не касаются его ребер. У куба 6 граней, каждая размером $n \times n$. Центральная часть каждой грани, не примыкающая к краям, представляет собой квадрат размером $(n-2) \times (n-2)$. Количество кубиков с одной покрашенной гранью на каждой такой грани равно $(n-2)^2$.

Ответ: Количество кубиков с одной покрашенной гранью равно $6 \cdot (n-2)^2$.

5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?

Непокрашенные кубики находятся полностью внутри большого куба. Они образуют внутренний, "сердцевинный" куб. Этот внутренний куб получается, если от большого куба "отрезать" по одному слою с каждой из шести сторон. В результате его ребро будет равно $n-2$. Объем этого внутреннего куба и есть число непокрашенных кубиков.

Ответ: Количество непокрашенных кубиков равно $(n-2)^3$.

Используя эти формулы, заполним таблицу: