Номер 6.41, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Многочлены - номер 6.41, страница 152.

Условие.

6.41 РАССУЖДАЕМ При каких значениях $x$ выполняется равенство:

а) $2^{x+4} = 64$, $2^x \cdot 2^3 = 64$, $(2^x)^3 = 64$;

б) $10^{3x+1} = 10 000$, $10^x \cdot 10^{x+1} = 100 000$, $(10^{x+1})^2 = 1 000 000?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

a) Решим первое уравнение: $2^{x+4} = 64$.
Чтобы решить показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.
Представим число 64 в виде степени числа 2: $64 = 2^6$.
Теперь уравнение выглядит так: $2^{x+4} = 2^6$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x+4 = 6$
$x = 6 - 4$
$x = 2$
Ответ: 2.

Решим второе уравнение: $2^x \cdot 2^3 = 64$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для упрощения левой части:
$2^{x+3} = 64$
Снова представим 64 как $2^6$:
$2^{x+3} = 2^6$
Приравниваем показатели:
$x+3 = 6$
$x = 6 - 3$
$x = 3$
Ответ: 3.

Решим третье уравнение: $(2^x)^3 = 64$.
Используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$) для упрощения левой части:
$2^{3x} = 64$
Заменяем 64 на $2^6$:
$2^{3x} = 2^6$
Приравниваем показатели:
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Ответ: 2.

б) Решим первое уравнение: $10^{3x+1} = 10\,000$.
Приведем обе части к основанию 10.
Правая часть: $10\,000 = 10^4$.
Уравнение принимает вид: $10^{3x+1} = 10^4$.
Приравниваем показатели степеней:
$3x+1 = 4$
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: 1.

Решим второе уравнение: $10^x \cdot 10^{x+1} = 100\,000$.
Упростим левую часть по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{x + (x+1)} = 10^{2x+1}$
Представим правую часть как степень 10: $100\,000 = 10^5$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x+1} = 10^5$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x+1 = 5$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: 2.

Решим третье уравнение: $(10^{x+1})^2 = 1\,000\,000$.
Упростим левую часть по свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:
$10^{(x+1) \cdot 2} = 10^{2x+2}$
Представим правую часть как степень 10: $1\,000\,000 = 10^6$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x+2} = 10^6$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x+2 = 6$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: 2.