Номер 6.35, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упростите (6.35–6.36).

6.35 а) $3x \cdot (2x)^3;$

б) $4b \cdot (3b)^3;$

в) $-2a \cdot (ab)^2;$

г) $(x^2y)^3 \cdot (-x);$

д) $2y \cdot (-4y)^2;$

е) $(-b)^3 \cdot 5ab;$

ж) $-x \cdot (x^2y)^4;$

з) $10a \cdot (10a)^3;$

и) $(-2m^3)^2 \cdot 5mn.$

а) Для упрощения выражения $3x \cdot (2x)^3$ сначала возведем в степень одночлен в скобках. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
Теперь умножим полученный результат на $3x$. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$3x \cdot 8x^3 = (3 \cdot 8) \cdot (x^1 \cdot x^3) = 24x^{1+3} = 24x^4$.
Ответ: $24x^4$

б) Упростим выражение $4b \cdot (3b)^3$.
Возведем в куб выражение в скобках:
$(3b)^3 = 3^3 \cdot b^3 = 27b^3$.
Теперь выполним умножение:
$4b \cdot 27b^3 = (4 \cdot 27) \cdot (b^1 \cdot b^3) = 108b^{1+3} = 108b^4$.
Ответ: $108b^4$

в) Упростим выражение $-2a \cdot (ab)^2$.
Возведем в квадрат выражение в скобках:
$(ab)^2 = a^2 \cdot b^2 = a^2b^2$.
Выполним умножение:
$-2a \cdot a^2b^2 = -2 \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot b^2 = -2a^{1+2}b^2 = -2a^3b^2$.
Ответ: $-2a^3b^2$

г) Упростим выражение $(x^2y)^3 \cdot (-x)$.
Возведем в куб первый множитель, используя свойства степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^2y)^3 = (x^2)^3 \cdot y^3 = x^{2 \cdot 3}y^3 = x^6y^3$.
Теперь умножим полученный результат на $(-x)$:
$x^6y^3 \cdot (-x) = - (x^6 \cdot x^1) \cdot y^3 = -x^{6+1}y^3 = -x^7y^3$.
Ответ: $-x^7y^3$

д) Упростим выражение $2y \cdot (-4y)^2$.
Возведем в квадрат выражение в скобках. Обратите внимание, что при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:
$(-4y)^2 = (-4)^2 \cdot y^2 = 16y^2$.
Выполним умножение:
$2y \cdot 16y^2 = (2 \cdot 16) \cdot (y^1 \cdot y^2) = 32y^{1+2} = 32y^3$.
Ответ: $32y^3$

е) Упростим выражение $(-b)^3 \cdot 5ab$.
Возведем в куб первый множитель. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:
$(-b)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 = -b^3$.
Выполним умножение:
$-b^3 \cdot 5ab = -5 \cdot a \cdot (b^3 \cdot b^1) = -5ab^{3+1} = -5ab^4$.
Ответ: $-5ab^4$

ж) Упростим выражение $-x \cdot (x^2y)^4$.
Возведем в четвертую степень выражение в скобках:
$(x^2y)^4 = (x^2)^4 \cdot y^4 = x^{2 \cdot 4}y^4 = x^8y^4$.
Выполним умножение:
$-x \cdot x^8y^4 = -(x^1 \cdot x^8) \cdot y^4 = -x^{1+8}y^4 = -x^9y^4$.
Ответ: $-x^9y^4$

з) Упростим выражение $10a \cdot (10a)^3$.
Можно представить $10a$ как $(10a)^1$ и использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием:
$(10a)^1 \cdot (10a)^3 = (10a)^{1+3} = (10a)^4$.
Теперь возведем в степень:
$(10a)^4 = 10^4 \cdot a^4 = 10000a^4$.
Альтернативный способ: сначала возвести в степень, а потом умножить.
$(10a)^3 = 10^3 \cdot a^3 = 1000a^3$.
$10a \cdot 1000a^3 = (10 \cdot 1000) \cdot (a^1 \cdot a^3) = 10000a^{1+3} = 10000a^4$.
Ответ: $10000a^4$

и) Упростим выражение $(-2m^3)^2 \cdot 5mn$.
Возведем в квадрат первый множитель:
$(-2m^3)^2 = (-2)^2 \cdot (m^3)^2 = 4m^{3 \cdot 2} = 4m^6$.
Выполним умножение:
$4m^6 \cdot 5mn = (4 \cdot 5) \cdot (m^6 \cdot m^1) \cdot n = 20m^{6+1}n = 20m^7n$.
Ответ: $20m^7n$