Номер 6.30, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.30 РАССУЖДАЕМ Какое выражение должно быть записано в скобках:

а) $(...)^3 = 8x^3;$

б) $(...)^2 = 81a^2;$

в) $(...)^3 = -27y^3;$

г) $(...)^4 = 16c^4;$

д) $0,25a^6 = (...)^2;$

е) $-\frac{1}{8}b^6 = (...)^3?$

а) Чтобы найти выражение, которое в кубе дает $8x^3$, необходимо извлечь кубический корень из этого выражения. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[3]{8x^3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3}$. Мы знаем, что $2^3 = 8$, поэтому $\sqrt[3]{8} = 2$. Также, $\sqrt[3]{x^3} = x$. Таким образом, искомое выражение равно $2x$.
Проверка: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
Ответ: $2x$.

б) Чтобы найти выражение, которое в квадрате дает $81a^2$, необходимо извлечь квадратный корень. Так как степень четная (2), существует два возможных ответа. $\sqrt{81a^2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2}$. Квадратный корень из 81 это 9 или -9, потому что $9^2 = 81$ и $(-9)^2 = 81$. Квадратный корень из $a^2$ это $a$. Следовательно, в скобках может быть $9a$ или $-9a$.
Проверка: $(9a)^2 = 9^2a^2 = 81a^2$. И $(-9a)^2 = (-9)^2a^2 = 81a^2$.
Ответ: $9a$ или $-9a$.

в) Необходимо найти выражение, которое в кубе равно $-27y^3$. Для этого извлекаем кубический корень. Степень нечетная (3), поэтому существует только один действительный корень. $\sqrt[3]{-27y^3} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{y^3}$. Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$. Кубический корень из $y^3$ равен $y$. Значит, искомое выражение - это $-3y$.
Проверка: $(-3y)^3 = (-3)^3 \cdot y^3 = -27y^3$.
Ответ: $-3y$.

г) Ищем выражение, которое при возведении в четвертую степень дает $16c^4$. Так как степень четная (4), возможно два решения. Извлекаем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{16c^4} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{c^4}$. Корень четвертой степени из 16 это 2 или -2, так как $2^4=16$ и $(-2)^4=16$. Корень четвертой степени из $c^4$ это $c$. Таким образом, в скобках может быть $2c$ или $-2c$.
Проверка: $(2c)^4 = 2^4c^4 = 16c^4$. И $(-2c)^4 = (-2)^4c^4 = 16c^4$.
Ответ: $2c$ или $-2c$.

д) В этом уравнении нужно найти выражение, квадрат которого равен $0,25a^6$. Извлекаем квадратный корень из $0,25a^6$. Так как степень четная (2), есть два решения. $\sqrt{0,25a^6} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{a^6}$. Квадратный корень из 0,25 это 0,5 или -0,5. Квадратный корень из $a^6$ это $a^3$, так как $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$. Следовательно, искомое выражение - это $0,5a^3$ или $-0,5a^3$.
Проверка: $(0,5a^3)^2 = 0,5^2(a^3)^2 = 0,25a^6$. И $(-0,5a^3)^2 = (-0,5)^2(a^3)^2 = 0,25a^6$.
Ответ: $0,5a^3$ или $-0,5a^3$.

е) Требуется найти выражение, куб которого равен $-\frac{1}{8}b^6$. Извлекаем кубический корень. Степень нечетная (3), поэтому решение будет одно. $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}b^6} = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} \cdot \sqrt[3]{b^6}$. Кубический корень из $-\frac{1}{8}$ равен $-\frac{1}{2}$, так как $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$. Кубический корень из $b^6$ равен $b^2$, так как $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$. Таким образом, искомое выражение - это $-\frac{1}{2}b^2$.
Проверка: $(-\frac{1}{2}b^2)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (b^2)^3 = -\frac{1}{8}b^6$.
Ответ: $-\frac{1}{2}b^2$.