Номер 6.25, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.25 Упростите выражение:

а) $a(a^2)^3$;

б) $c^2c^5(c^2)^5$;

в) $(k^{10}k^2)^3$;

г) $(\frac{x^7}{x^2})^5$;

д) $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}$.

а) Для упрощения выражения $a(a^2)^3$ необходимо последовательно применить свойства степеней. Сначала используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Теперь исходное выражение приобретает вид: $a \cdot a^6$.
Далее, применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитываем, что $a$ это $a^1$.
$a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

б) В выражении $c^2c^5(c^2)^5$ сначала упростим множитель со скобками, используя правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(c^2)^5 = c^{2 \cdot 5} = c^{10}$.
Подставим полученное значение обратно в выражение: $c^2 \cdot c^5 \cdot c^{10}$.
Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием, сложив все показатели: $x^m \cdot x^n \cdot x^p = x^{m+n+p}$.
$c^2 \cdot c^5 \cdot c^{10} = c^{2+5+10} = c^{17}$.
Ответ: $c^{17}$.

в) Чтобы упростить выражение $(k^{10}k^2)^3$, сначала выполним действие в скобках. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$k^{10}k^2 = k^{10+2} = k^{12}$.
Теперь возведем результат в третью степень: $(k^{12})^3$.
Используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(k^{12})^3 = k^{12 \cdot 3} = k^{36}$.
Ответ: $k^{36}$.

г) Для упрощения выражения $(\frac{x^7}{x^2})^5$ сначала упростим частное в скобках. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{x^7}{x^2} = x^{7-2} = x^5$.
Теперь возведем полученный результат в пятую степень: $(x^5)^5$.
Применяем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$.
Ответ: $x^{25}$.

д) В выражении $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}$ начнем с упрощения знаменателя. Используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$.
Теперь все выражение выглядит так: $\frac{y^{10}}{y^8}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{y^{10}}{y^8} = y^{10-8} = y^2$.
Ответ: $y^2$.