Номер 6.27, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Многочлены - номер 6.27, страница 151.

Условие.

6.27 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Представьте в виде степени с основанием 2 и, если возможно, с основанием -2:

а) $8^2$;

б) $16^3$;

в) $32^3$;

г) $8^{11}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы представить выражение $8^2$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Затем, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.
Теперь проверим, можно ли представить это число в виде степени с основанием -2. Мы получили выражение $2^6$. Так как показатель степени 6 является четным числом, то $2^6 = (-2)^6$. Это равенство верно, потому что при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным: $(-2)^6 = (-1 \cdot 2)^6 = (-1)^6 \cdot 2^6 = 1 \cdot 2^6 = 2^6$.
Ответ: $2^6$ и $(-2)^6$.

б) Представим основание 16 в виде степени числа 2: $16 = 2^4$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $16^3 = (2^4)^3$. По свойству возведения степени в степень, получаем: $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.
Теперь рассмотрим основание -2. Показатель степени 12 является четным числом, поэтому $2^{12}$ можно представить в виде степени с основанием -2: $2^{12} = (-2)^{12}$. Проверим: $(-2)^{12} = (-1 \cdot 2)^{12} = (-1)^{12} \cdot 2^{12} = 1 \cdot 2^{12} = 2^{12}$.
Ответ: $2^{12}$ и $(-2)^{12}$.

в) Представим основание 32 в виде степени числа 2: $32 = 2^5$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $32^3 = (2^5)^3$. По свойству возведения степени в степень, получаем: $(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.
Теперь рассмотрим основание -2. Результат $2^{15}$ является положительным числом. Степень отрицательного числа $(-2)^m$ будет положительной, только если показатель $m$ — четное число. В нашем случае показатель степени 15 — нечетное число, поэтому $(-2)^{15} = -2^{15}$, что не равно $2^{15}$. Следовательно, представить $32^3$ в виде степени с основанием -2 невозможно.
Ответ: $2^{15}$; с основанием -2 представить невозможно.

г) Представим основание 8 в виде степени числа 2: $8 = 2^3$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $8^{11} = (2^3)^{11}$. По свойству возведения степени в степень, получаем: $(2^3)^{11} = 2^{3 \cdot 11} = 2^{33}$.
Теперь рассмотрим основание -2. Результат $2^{33}$ является положительным числом. Показатель степени 33 — нечетное число. Степень числа -2 с нечетным показателем всегда будет отрицательным числом: $(-2)^{33} = -2^{33}$. Так как $2^{33} \neq -2^{33}$, представить $8^{11}$ в виде степени с основанием -2 невозможно.
Ответ: $2^{33}$; с основанием -2 представить невозможно.