Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.24 Представьте выражение в виде степени с основанием $n$:

1) $n^5n^2$, $n^5 : n^2$, $(n^5)^2$, $(n^2)^5$;

2) $(n^k)^2$, $n^kn^2$, $n^k : n^2$, $(n^2)^k$.

1)

Для того чтобы представить выражения в виде степени с основанием $n$, воспользуемся следующими свойствами степеней:
- При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
- При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
- При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим эти правила к каждому выражению:

Для выражения $n^5 n^2$ используем правило умножения степеней, сложив их показатели:
$n^5 n^2 = n^{5+2} = n^7$.
Ответ: $n^7$.

Для выражения $n^5 : n^2$ используем правило деления степеней, вычтя один показатель из другого:
$n^5 : n^2 = n^{5-2} = n^3$.
Ответ: $n^3$.

Для выражения $(n^5)^2$ используем правило возведения степени в степень, перемножив показатели:
$(n^5)^2 = n^{5 \cdot 2} = n^{10}$.
Ответ: $n^{10}$.

Для выражения $(n^2)^5$ также используем правило возведения степени в степень:
$(n^2)^5 = n^{2 \cdot 5} = n^{10}$.
Ответ: $n^{10}$.

2)

Аналогично пункту 1, применяем те же свойства степеней для выражений, где один из показателей представлен переменной $k$.

Для выражения $(n^k)^2$ используем правило возведения степени в степень:
$(n^k)^2 = n^{k \cdot 2} = n^{2k}$.
Ответ: $n^{2k}$.

Для выражения $n^k n^2$ используем правило умножения степеней:
$n^k n^2 = n^{k+2}$.
Ответ: $n^{k+2}$.

Для выражения $n^k : n^2$ используем правило деления степеней:
$n^k : n^2 = n^{k-2}$.
Ответ: $n^{k-2}$.

Для выражения $(n^2)^k$ используем правило возведения степени в степень:
$(n^2)^k = n^{2 \cdot k} = n^{2k}$.
Ответ: $n^{2k}$.

6.25 Упростите выражение:

а) $a(a^2)^3$;

б) $c^2c^5(c^2)^5$;

в) $(k^{10}k^2)^3$;

г) $(\frac{x^7}{x^2})^5$;

д) $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}$.

а) Для упрощения выражения $a(a^2)^3$ необходимо последовательно применить свойства степеней. Сначала используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Теперь исходное выражение приобретает вид: $a \cdot a^6$.
Далее, применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитываем, что $a$ это $a^1$.
$a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

б) В выражении $c^2c^5(c^2)^5$ сначала упростим множитель со скобками, используя правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(c^2)^5 = c^{2 \cdot 5} = c^{10}$.
Подставим полученное значение обратно в выражение: $c^2 \cdot c^5 \cdot c^{10}$.
Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием, сложив все показатели: $x^m \cdot x^n \cdot x^p = x^{m+n+p}$.
$c^2 \cdot c^5 \cdot c^{10} = c^{2+5+10} = c^{17}$.
Ответ: $c^{17}$.

в) Чтобы упростить выражение $(k^{10}k^2)^3$, сначала выполним действие в скобках. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$k^{10}k^2 = k^{10+2} = k^{12}$.
Теперь возведем результат в третью степень: $(k^{12})^3$.
Используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(k^{12})^3 = k^{12 \cdot 3} = k^{36}$.
Ответ: $k^{36}$.

г) Для упрощения выражения $(\frac{x^7}{x^2})^5$ сначала упростим частное в скобках. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{x^7}{x^2} = x^{7-2} = x^5$.
Теперь возведем полученный результат в пятую степень: $(x^5)^5$.
Применяем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$.
Ответ: $x^{25}$.

д) В выражении $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}$ начнем с упрощения знаменателя. Используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$.
Теперь все выражение выглядит так: $\frac{y^{10}}{y^8}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{y^{10}}{y^8} = y^{10-8} = y^2$.
Ответ: $y^2$.

6.26 Представьте $a^{30}$ в виде степени с основанием:

а) $a^2$;

б) $a^3$;

в) $a^5$;

г) $a^{10}$.

Для решения этой задачи используется свойство возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются.

Нам нужно представить выражение $a^{30}$ в виде новой степени, где основанием будет другая степень числа $a$. Для каждого пункта мы будем искать такой показатель степени $n$, чтобы исходное выражение было равно новому.

а)

Представим $a^{30}$ в виде степени с основанием $a^2$.Пусть искомое выражение имеет вид $(a^2)^n$. Тогда, согласно свойству степеней, должно выполняться равенство:$(a^2)^n = a^{2 \cdot n} = a^{30}$Отсюда следует, что показатели степеней должны быть равны:$2 \cdot n = 30$$n = \frac{30}{2}$$n = 15$Таким образом, $a^{30}$ можно представить как $(a^2)^{15}$.

Ответ: $(a^2)^{15}$

б)

Представим $a^{30}$ в виде степени с основанием $a^3$.Пусть искомое выражение имеет вид $(a^3)^n$. Тогда:$(a^3)^n = a^{3 \cdot n} = a^{30}$Приравниваем показатели:$3 \cdot n = 30$$n = \frac{30}{3}$$n = 10$Следовательно, $a^{30}$ можно представить как $(a^3)^{10}$.

Ответ: $(a^3)^{10}$

в)

Представим $a^{30}$ в виде степени с основанием $a^5$.Пусть искомое выражение имеет вид $(a^5)^n$. Тогда:$(a^5)^n = a^{5 \cdot n} = a^{30}$Приравниваем показатели:$5 \cdot n = 30$$n = \frac{30}{5}$$n = 6$Следовательно, $a^{30}$ можно представить как $(a^5)^6$.

Ответ: $(a^5)^6$

г)

Представим $a^{30}$ в виде степени с основанием $a^{10}$.Пусть искомое выражение имеет вид $(a^{10})^n$. Тогда:$(a^{10})^n = a^{10 \cdot n} = a^{30}$Приравниваем показатели:$10 \cdot n = 30$$n = \frac{30}{10}$$n = 3$Следовательно, $a^{30}$ можно представить как $(a^{10})^3$.

Ответ: $(a^{10})^3$

6.27 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Представьте в виде степени с основанием 2 и, если возможно, с основанием -2:

а) $8^2$;

б) $16^3$;

в) $32^3$;

г) $8^{11}$.

а) Чтобы представить выражение $8^2$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Затем, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.
Теперь проверим, можно ли представить это число в виде степени с основанием -2. Мы получили выражение $2^6$. Так как показатель степени 6 является четным числом, то $2^6 = (-2)^6$. Это равенство верно, потому что при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным: $(-2)^6 = (-1 \cdot 2)^6 = (-1)^6 \cdot 2^6 = 1 \cdot 2^6 = 2^6$.
Ответ: $2^6$ и $(-2)^6$.

б) Представим основание 16 в виде степени числа 2: $16 = 2^4$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $16^3 = (2^4)^3$. По свойству возведения степени в степень, получаем: $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.
Теперь рассмотрим основание -2. Показатель степени 12 является четным числом, поэтому $2^{12}$ можно представить в виде степени с основанием -2: $2^{12} = (-2)^{12}$. Проверим: $(-2)^{12} = (-1 \cdot 2)^{12} = (-1)^{12} \cdot 2^{12} = 1 \cdot 2^{12} = 2^{12}$.
Ответ: $2^{12}$ и $(-2)^{12}$.

в) Представим основание 32 в виде степени числа 2: $32 = 2^5$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $32^3 = (2^5)^3$. По свойству возведения степени в степень, получаем: $(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.
Теперь рассмотрим основание -2. Результат $2^{15}$ является положительным числом. Степень отрицательного числа $(-2)^m$ будет положительной, только если показатель $m$ — четное число. В нашем случае показатель степени 15 — нечетное число, поэтому $(-2)^{15} = -2^{15}$, что не равно $2^{15}$. Следовательно, представить $32^3$ в виде степени с основанием -2 невозможно.
Ответ: $2^{15}$; с основанием -2 представить невозможно.

г) Представим основание 8 в виде степени числа 2: $8 = 2^3$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $8^{11} = (2^3)^{11}$. По свойству возведения степени в степень, получаем: $(2^3)^{11} = 2^{3 \cdot 11} = 2^{33}$.
Теперь рассмотрим основание -2. Результат $2^{33}$ является положительным числом. Показатель степени 33 — нечетное число. Степень числа -2 с нечетным показателем всегда будет отрицательным числом: $(-2)^{33} = -2^{33}$. Так как $2^{33} \neq -2^{33}$, представить $8^{11}$ в виде степени с основанием -2 невозможно.
Ответ: $2^{33}$; с основанием -2 представить невозможно.

6.28 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Возведите в степень:

a) $(xy)^4$;

б) $(5n)^2$;

в) $(-10a)^3$;

г) $(3ax)^3$;

д) $(-cd)^2$;

е) $(-xyz)^3$;

ж) $(-2ac)^4$;

з) $(\frac{1}{5}xyz)^3$.

Для решения данных задач используется правило возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. В виде формулы это выглядит так: $(abc...)^n = a^n b^n c^n ...$.

а) Чтобы возвести в четвертую степень произведение $xy$, нужно каждый множитель возвести в четвертую степень:
$(xy)^4 = x^4y^4$.
Ответ: $x^4y^4$

б) Чтобы возвести в квадрат произведение $5n$, нужно каждый множитель возвести в квадрат:
$(5n)^2 = 5^2 \cdot n^2 = 25n^2$.
Ответ: $25n^2$

в) Чтобы возвести в куб произведение $-10a$, нужно каждый множитель возвести в куб. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным.
$(-10a)^3 = (-10)^3 \cdot a^3 = -1000a^3$.
Ответ: $-1000a^3$

г) Чтобы возвести в куб произведение $3ax$, нужно каждый множитель возвести в куб:
$(3ax)^3 = 3^3 \cdot a^3 \cdot x^3 = 27a^3x^3$.
Ответ: $27a^3x^3$

д) Чтобы возвести в квадрат произведение $-cd$, нужно каждый множитель возвести в квадрат. Произведение $-cd$ можно представить как $-1 \cdot c \cdot d$. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным.
$(-cd)^2 = (-1 \cdot c \cdot d)^2 = (-1)^2 \cdot c^2 \cdot d^2 = 1 \cdot c^2d^2 = c^2d^2$.
Ответ: $c^2d^2$

е) Чтобы возвести в куб произведение $-xyz$, нужно каждый множитель возвести в куб. При возведении отрицательного знака (множителя $-1$) в нечетную степень (3), он сохраняется.
$(-xyz)^3 = (-1 \cdot x \cdot y \cdot z)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = -x^3y^3z^3$.
Ответ: $-x^3y^3z^3$

ж) Чтобы возвести в четвертую степень произведение $-2ac$, нужно каждый множитель возвести в четвертую степень. При возведении отрицательного числа в четную степень (4) результат будет положительным.
$(-2ac)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot c^4 = 16a^4c^4$.
Ответ: $16a^4c^4$

з) Чтобы возвести в куб произведение $\frac{1}{5}xyz$, нужно каждый множитель возвести в куб. При возведении дроби в степень, в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель.
$(\frac{1}{5}xyz)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = \frac{1^3}{5^3}x^3y^3z^3 = \frac{1}{125}x^3y^3z^3$.
Ответ: $\frac{1}{125}x^3y^3z^3$

6.29 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $5^4 \cdot 2^4;$

б) $25^3 \cdot 4^3;$

в) $0,2^8 \cdot 5^8;$

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4.$

а) Для вычисления произведения $5^4 \cdot 2^4$ воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном случае показатели степеней одинаковы и равны $4$.

$5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: $10000$.

б) Аналогично предыдущему примеру, применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для выражения $25^3 \cdot 4^3$, так как показатели степеней равны $3$.

$25^3 \cdot 4^3 = (25 \cdot 4)^3 = 100^3 = 1000000$.

Ответ: $1000000$.

в) В выражении $0,2^8 \cdot 5^8$ показатели степеней равны $8$. Применяем то же свойство степени произведения.

$0,2^8 \cdot 5^8 = (0,2 \cdot 5)^8 = 1^8 = 1$.

Ответ: $1$.

г) Для выражения $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{3}{2})^4$ показатели степеней равны $4$. Основаниями являются взаимно обратные числа.

$(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{3}{2})^4 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^4 = 1^4 = 1$.

Ответ: $1$.

6.30 РАССУЖДАЕМ Какое выражение должно быть записано в скобках:

а) $(...)^3 = 8x^3;$

б) $(...)^2 = 81a^2;$

в) $(...)^3 = -27y^3;$

г) $(...)^4 = 16c^4;$

д) $0,25a^6 = (...)^2;$

е) $-\frac{1}{8}b^6 = (...)^3?$

а) Чтобы найти выражение, которое в кубе дает $8x^3$, необходимо извлечь кубический корень из этого выражения. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[3]{8x^3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3}$. Мы знаем, что $2^3 = 8$, поэтому $\sqrt[3]{8} = 2$. Также, $\sqrt[3]{x^3} = x$. Таким образом, искомое выражение равно $2x$.
Проверка: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
Ответ: $2x$.

б) Чтобы найти выражение, которое в квадрате дает $81a^2$, необходимо извлечь квадратный корень. Так как степень четная (2), существует два возможных ответа. $\sqrt{81a^2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2}$. Квадратный корень из 81 это 9 или -9, потому что $9^2 = 81$ и $(-9)^2 = 81$. Квадратный корень из $a^2$ это $a$. Следовательно, в скобках может быть $9a$ или $-9a$.
Проверка: $(9a)^2 = 9^2a^2 = 81a^2$. И $(-9a)^2 = (-9)^2a^2 = 81a^2$.
Ответ: $9a$ или $-9a$.

в) Необходимо найти выражение, которое в кубе равно $-27y^3$. Для этого извлекаем кубический корень. Степень нечетная (3), поэтому существует только один действительный корень. $\sqrt[3]{-27y^3} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{y^3}$. Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$. Кубический корень из $y^3$ равен $y$. Значит, искомое выражение - это $-3y$.
Проверка: $(-3y)^3 = (-3)^3 \cdot y^3 = -27y^3$.
Ответ: $-3y$.

г) Ищем выражение, которое при возведении в четвертую степень дает $16c^4$. Так как степень четная (4), возможно два решения. Извлекаем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{16c^4} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{c^4}$. Корень четвертой степени из 16 это 2 или -2, так как $2^4=16$ и $(-2)^4=16$. Корень четвертой степени из $c^4$ это $c$. Таким образом, в скобках может быть $2c$ или $-2c$.
Проверка: $(2c)^4 = 2^4c^4 = 16c^4$. И $(-2c)^4 = (-2)^4c^4 = 16c^4$.
Ответ: $2c$ или $-2c$.

д) В этом уравнении нужно найти выражение, квадрат которого равен $0,25a^6$. Извлекаем квадратный корень из $0,25a^6$. Так как степень четная (2), есть два решения. $\sqrt{0,25a^6} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{a^6}$. Квадратный корень из 0,25 это 0,5 или -0,5. Квадратный корень из $a^6$ это $a^3$, так как $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$. Следовательно, искомое выражение - это $0,5a^3$ или $-0,5a^3$.
Проверка: $(0,5a^3)^2 = 0,5^2(a^3)^2 = 0,25a^6$. И $(-0,5a^3)^2 = (-0,5)^2(a^3)^2 = 0,25a^6$.
Ответ: $0,5a^3$ или $-0,5a^3$.

е) Требуется найти выражение, куб которого равен $-\frac{1}{8}b^6$. Извлекаем кубический корень. Степень нечетная (3), поэтому решение будет одно. $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}b^6} = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} \cdot \sqrt[3]{b^6}$. Кубический корень из $-\frac{1}{8}$ равен $-\frac{1}{2}$, так как $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$. Кубический корень из $b^6$ равен $b^2$, так как $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$. Таким образом, искомое выражение - это $-\frac{1}{2}b^2$.
Проверка: $(-\frac{1}{2}b^2)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (b^2)^3 = -\frac{1}{8}b^6$.
Ответ: $-\frac{1}{2}b^2$.

6.31 Выполните возведение в степень:

а) $( (x^2)^3 )^2$;

б) $( (-x)^2 )^3$;

в) $( (-x)^3 )^2$;

г) $- ( (-x)^3 )^2$.

а) Для решения этой задачи нужно последовательно применить правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Сначала выполним действие во внутренних скобках, а затем возведем полученный результат во внешнюю степень.

$((x^2)^3)^2 = (x^{2 \cdot 3})^2 = (x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$.

Ответ: $x^{12}$.

б) Сначала возводим в степень выражение в самых внутренних скобках. При возведении отрицательного основания $(-x)$ в четную степень (2), результат становится положительным: $(-x)^2 = x^2$. Затем возводим результат в куб.

$((-x)^2)^3 = (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

в) Начнем с возведения в степень выражения в самых внутренних скобках. При возведении отрицательного основания $(-x)$ в нечетную степень (3), результат остается отрицательным: $(-x)^3 = -x^3$. Затем мы видим, что перед скобкой стоит еще один знак минус, который меняет знак выражения на противоположный: $-(-x^3) = x^3$. Наконец, возводим результат в квадрат.

$(-(-x)^3)^2 = (-(-x^3))^2 = (x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

г) В данном примере знак минус стоит перед всей конструкцией и не возводится в степень, так как он находится вне скобок, которые возводятся в квадрат. Поэтому сначала мы упрощаем выражение в скобках, а затем применяем к результату знак минус.

Упростим $((-x)^3)^2$: сначала $(-x)^3 = -x^3$, затем $(-x^3)^2 = x^6$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$-((-x)^3)^2 = -(x^6) = -x^6$.

Ответ: $-x^6$.

6.32 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Выполните возведение в степень:

а) $(\frac{x}{y})^{10}$;

б) $(\frac{a}{7})^{2}$;

в) $(\frac{2}{c})^{4}$;

г) $(-\frac{1}{c})^{4}$;

д) $(-\frac{x}{3})^{3}$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби. Это следует из правила возведения частного в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Применим это правило к выражению $(\frac{x}{y})^{10}$:

$(\frac{x}{y})^{10} = \frac{x^{10}}{y^{10}}$

Ответ: $\frac{x^{10}}{y^{10}}$

б) Используем то же правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ для выражения $(\frac{a}{7})^2$.

Здесь числитель $a$, знаменатель $7$ и степень $2$. Возводим числитель и знаменатель в квадрат:

$(\frac{a}{7})^2 = \frac{a^2}{7^2} = \frac{a^2}{49}$

Ответ: $\frac{a^2}{49}$

в) Возведем в степень дробь $(\frac{2}{c})^4$ по правилу $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Возводим числитель $2$ и знаменатель $c$ в 4-ю степень:

$(\frac{2}{c})^4 = \frac{2^4}{c^4} = \frac{16}{c^4}$

Ответ: $\frac{16}{c^4}$

г) В данном случае мы возводим отрицательную дробь в четную степень. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае степень 4) результат будет положительным: $(-a)^n = a^n$, если $n$ — четное число.

Поэтому $(-\frac{1}{c})^4 = (\frac{1}{c})^4$.

Теперь применяем правило возведения дроби в степень:

$(\frac{1}{c})^4 = \frac{1^4}{c^4} = \frac{1}{c^4}$

Ответ: $\frac{1}{c^4}$

д) Здесь мы возводим отрицательную дробь в нечетную степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае степень 3) результат будет отрицательным: $(-a)^n = -a^n$, если $n$ — нечетное число.

Поэтому $(-\frac{x}{3})^3 = -(\frac{x}{3})^3$.

Далее возводим дробь в степень:

$-(\frac{x}{3})^3 = -\frac{x^3}{3^3} = -\frac{x^3}{27}$

Ответ: $-\frac{x^3}{27}$

6.33 Возведите дробь в степень:

a) $$\left(\frac{2x}{5}\right)^2$$;

б) $$\left(\frac{1}{x^4}\right)^5$$;

в) $$\left(\frac{3}{2a}\right)^3$$;

г) $$\left(-\frac{y^2}{3}\right)^3$$;

д) $$\left(-\frac{1}{ab}\right)^2$$;

е) $$\left(\frac{x^2y}{2}\right)^4$$;

ж) $$\left(-\frac{ab}{c}\right)^5$$;

з) $$\left(-\frac{3a}{4b}\right)^2$$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Применяем правило возведения в степень дроби $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $ и правило возведения в степень произведения $ (ab)^n = a^n b^n $.
$ (\frac{2x}{5})^2 = \frac{(2x)^2}{5^2} = \frac{2^2 \cdot x^2}{25} = \frac{4x^2}{25} $.
Ответ: $ \frac{4x^2}{25} $

б) Используем правило возведения дроби в степень, а также правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.
$ (\frac{1}{x^4})^5 = \frac{1^5}{(x^4)^5} = \frac{1}{x^{4 \cdot 5}} = \frac{1}{x^{20}} $.
Ответ: $ \frac{1}{x^{20}} $

в) Возводим в куб (третью степень) числитель и знаменатель дроби.
$ (\frac{3}{2a})^3 = \frac{3^3}{(2a)^3} = \frac{27}{2^3 \cdot a^3} = \frac{27}{8a^3} $.
Ответ: $ \frac{27}{8a^3} $

г) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным. Далее возводим в степень числитель и знаменатель.
$ (-\frac{y^2}{3})^3 = -(\frac{y^2}{3})^3 = -\frac{(y^2)^3}{3^3} = -\frac{y^{2 \cdot 3}}{27} = -\frac{y^6}{27} $.
Ответ: $ -\frac{y^6}{27} $

д) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным.
$ (-\frac{1}{ab})^2 = (\frac{1}{ab})^2 = \frac{1^2}{(ab)^2} = \frac{1}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^2b^2} $

е) Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель, используя свойства степеней.
$ (\frac{x^2y}{2})^4 = \frac{(x^2y)^4}{2^4} = \frac{(x^2)^4 \cdot y^4}{16} = \frac{x^{2 \cdot 4} y^4}{16} = \frac{x^8y^4}{16} $.
Ответ: $ \frac{x^8y^4}{16} $

ж) Так как степень нечетная (5), знак минус сохраняется в итоговом выражении.
$ (-\frac{ab}{c})^5 = -(\frac{ab}{c})^5 = -\frac{(ab)^5}{c^5} = -\frac{a^5b^5}{c^5} $.
Ответ: $ -\frac{a^5b^5}{c^5} $

з) Так как степень четная (2), знак минус исчезает (отрицательное число в квадрате дает положительное).
$ (-\frac{3a}{4b})^2 = (\frac{3a}{4b})^2 = \frac{(3a)^2}{(4b)^2} = \frac{3^2 \cdot a^2}{4^2 \cdot b^2} = \frac{9a^2}{16b^2} $.
Ответ: $ \frac{9a^2}{16b^2} $