Страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.44 Запишите многочлен, расположив его члены по убыванию степеней переменной, и укажите его степень:

a) $19z^2 - 8z + z^4 - 7 - 3z^3$;

б) $2y^3 + 5y^2 - 3y^4 + y^5 - 1.$

а)

Дан многочлен $19z^2 - 8z + z^4 - 7 - 3z^3$.

Чтобы расположить его члены по убыванию степеней переменной $z$, нужно определить степень каждого члена и записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей. Степень члена $z^4$ равна 4, члена $-3z^3$ — 3, члена $19z^2$ — 2, члена $-8z$ (или $-8z^1$) — 1, и свободного члена $-7$ (или $-7z^0$) — 0.

Располагаем члены в порядке убывания их степеней (4, 3, 2, 1, 0) и получаем многочлен в стандартном виде:

$z^4 - 3z^3 + 19z^2 - 8z - 7$.

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов. В данном случае наибольшая степень равна 4.

Ответ: $z^4 - 3z^3 + 19z^2 - 8z - 7$; степень многочлена равна 4.

б)

Дан многочлен $2y^3 + 5y^2 - 3y^4 + y^5 - 1$.

Определим степень каждого члена многочлена относительно переменной $y$. Степень члена $y^5$ равна 5, члена $-3y^4$ — 4, члена $2y^3$ — 3, члена $5y^2$ — 2, и свободного члена $-1$ — 0.

Расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $y$ (от 5-й к 0-й), чтобы записать его в стандартном виде:

$y^5 - 3y^4 + 2y^3 + 5y^2 - 1$.

Степенью многочлена является наибольшая степень его членов. В этом многочлене наибольшая степень равна 5.

Ответ: $y^5 - 3y^4 + 2y^3 + 5y^2 - 1$; степень многочлена равна 5.

6.45 Расположите многочлен по убывающим степеням буквы a:

а) $2ab + 3a^3 + a^2b^2$;

б) $a^4x + a^2x^3 + ax^2 + a^3x$.

а) Чтобы расположить многочлен $2ab^3 + 3a^3 + a^2b^2$ по убывающим степеням буквы $a$, необходимо определить степень этой переменной в каждом члене многочлена, а затем записать их в порядке от большей степени к меньшей.

Определим степени буквы $a$ в каждом члене:

• в члене $3a^3$ степень $a$ равна 3;
• в члене $a^2b^2$ степень $a$ равна 2;
• в члене $2ab^3$ (или $2a^1b^3$) степень $a$ равна 1.

Теперь расположим члены многочлена в порядке убывания степеней $a$ (3, 2, 1). На первое место ставим член с наибольшей степенью, на второе — со следующей по величине, и так далее.

Получаем: $3a^3 + a^2b^2 + 2ab^3$.

Ответ: $3a^3 + a^2b^2 + 2ab^3$.

б) Аналогично поступим с многочленом $a^4x + a^2x^3 + ax^2 + a^3x$.

Определим степени буквы $a$ в каждом его члене:

• в члене $a^4x$ степень $a$ равна 4;
• в члене $a^3x$ степень $a$ равна 3;
• в члене $a^2x^3$ степень $a$ равна 2;
• в члене $ax^2$ (или $a^1x^2$) степень $a$ равна 1.

Расположим члены многочлена в порядке убывания степеней $a$ (4, 3, 2, 1).

Получаем: $a^4x + a^3x + a^2x^3 + ax^2$.

Ответ: $a^4x + a^3x + a^2x^3 + ax^2$.

6.46 Найдите значение выражения:

а) $0,4x - 10$ при $x = -15$;

б) $1 - \frac{1}{3}a$ при $a = 18$;

в) $6a + 0,5b$ при $a = \frac{2}{3}, b = -2$;

г) $0,3x - 0,1y$ при $x = -4, y = -10$.

а) Чтобы найти значение выражения $0,4x - 10$ при $x = -15$, подставим данное значение $x$ в выражение:

$0,4 \cdot (-15) - 10$

Сначала выполним умножение:

$0,4 \cdot (-15) = -6$

Затем выполним вычитание:

$-6 - 10 = -16$

Ответ: $-16$.

б) Чтобы найти значение выражения $1 - \frac{1}{3}a$ при $a = 18$, подставим данное значение $a$ в выражение:

$1 - \frac{1}{3} \cdot 18$

Сначала выполним умножение:

$\frac{1}{3} \cdot 18 = \frac{18}{3} = 6$

Затем выполним вычитание:

$1 - 6 = -5$

Ответ: $-5$.

в) Чтобы найти значение выражения $6a + 0,5b$ при $a = \frac{2}{3}$ и $b = -2$, подставим данные значения переменных в выражение:

$6 \cdot \frac{2}{3} + 0,5 \cdot (-2)$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$0,5 \cdot (-2) = -1$

Теперь сложим полученные значения:

$4 + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: $3$.

г) Чтобы найти значение выражения $0,3x - 0,1y$ при $x = -4$ и $y = -10$, подставим данные значения переменных в выражение:

$0,3 \cdot (-4) - 0,1 \cdot (-10)$

Вычислим значение уменьшаемого и вычитаемого:

$0,3 \cdot (-4) = -1,2$

$0,1 \cdot (-10) = -1$

Теперь выполним вычитание:

$-1,2 - (-1) = -1,2 + 1 = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

6.47 Найдите значение выражения $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:

а) при $y = -1$;

б) при $y = 1$;

в) при $y = 0$;

г) при $y = \frac{1}{2}$.

а) Подставим значение $y = -1$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:

$(-1)^4 + 2(-1)^2 - 5(-1) + 1 = 1 + 2 \cdot 1 + 5 + 1 = 1 + 2 + 5 + 1 = 9$.

Ответ: 9

б) Подставим значение $y = 1$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:

$(1)^4 + 2(1)^2 - 5(1) + 1 = 1 + 2 \cdot 1 - 5 + 1 = 1 + 2 - 5 + 1 = -1$.

Ответ: -1

в) Подставим значение $y = 0$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:

$(0)^4 + 2(0)^2 - 5(0) + 1 = 0 + 2 \cdot 0 - 0 + 1 = 0 + 0 - 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

г) Подставим значение $y = \frac{1}{2}$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:

$(\frac{1}{2})^4 + 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 1$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{16} + \frac{2}{4} - \frac{5}{2} + 1 = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 1$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 16:

$\frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16} = \frac{1}{16} + \frac{8}{16} - \frac{40}{16} + \frac{16}{16}$.

Теперь выполним операции с числителями:

$\frac{1 + 8 - 40 + 16}{16} = \frac{25 - 40}{16} = \frac{-15}{16} = -\frac{15}{16}$.

Ответ: $-\frac{15}{16}$

6.48 Найдите значение данного многочлена при $a = -0,5$:

a) $2a^2 + a - 7$;

б) $-0,4a^2 + 0,3a - 1$.

а) Чтобы найти значение многочлена $2a^2 + a - 7$ при $a = -0,5$, подставим это значение в выражение вместо переменной $a$.

1. Подставляем значение $a = -0,5$:
$2 \cdot (-0,5)^2 + (-0,5) - 7$

2. Выполняем действия согласно порядку операций. Сначала возводим в степень:
$(-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25$

3. Затем выполняем умножение:
$2 \cdot 0,25 = 0,5$

4. Теперь выражение выглядит так:
$0,5 + (-0,5) - 7$

5. Выполняем сложение и вычитание:
$0,5 - 0,5 - 7 = 0 - 7 = -7$
Ответ: -7

б) Чтобы найти значение многочлена $-0,4a^2 + 0,3a - 1$ при $a = -0,5$, подставим это значение в выражение вместо переменной $a$.

1. Подставляем значение $a = -0,5$:
$-0,4 \cdot (-0,5)^2 + 0,3 \cdot (-0,5) - 1$

2. Выполняем действия согласно порядку операций. Сначала возводим в степень:
$(-0,5)^2 = 0,25$

3. Затем выполняем умножения:
$-0,4 \cdot 0,25 = -0,1$
$0,3 \cdot (-0,5) = -0,15$

4. Теперь выражение выглядит так:
$-0,1 + (-0,15) - 1$

5. Выполняем сложение и вычитание:
$-0,1 - 0,15 - 1 = -0,25 - 1 = -1,25$
Ответ: -1,25

6.49 Вычислите:

а) $p - 0,5c^3$ при $p = -6$, $c = -5$;

б) $x^3 - 4xy$ при $x = 0,2$, $y = 0,1$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $p - 0,5c^3$ при $p = -6$ и $c = -5$, нужно подставить эти значения в выражение и выполнить вычисления в правильном порядке.

1. Подставляем значения $p$ и $c$ в выражение:
$p - 0,5c^3 = -6 - 0,5 \cdot (-5)^3$

2. Сначала вычисляем значение степени:
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$

3. Затем выполняем умножение:
$0,5 \cdot (-125) = -62,5$

4. Наконец, выполняем вычитание:
$-6 - (-62,5) = -6 + 62,5 = 56,5$

Ответ: 56,5

б) Чтобы вычислить значение выражения $x^3 - 4xy$ при $x = 0,2$ и $y = 0,1$, подставим эти значения в выражение.

1. Подставляем значения $x$ и $y$ в выражение:
$x^3 - 4xy = (0,2)^3 - 4 \cdot 0,2 \cdot 0,1$

2. Вычисляем значение степени:
$(0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008$

3. Вычисляем произведение:
$4 \cdot 0,2 \cdot 0,1 = 0,8 \cdot 0,1 = 0,08$

4. Выполняем вычитание:
$0,008 - 0,08 = -0,072$

Ответ: -0,072

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (6.50–6.51)

6.50 Число диагоналей многоугольника с $n$ вершинами (рис. 6.1) вычисляется по формуле $D = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n$. Сколько диагоналей имеет:

а) шестиугольник;

б) восьмиугольник;

в) двенадцатиугольник;

г) стоугольник?

Рис. 6.1

Для нахождения количества диагоналей D в многоугольнике с n вершинами используется формула, данная в условии задачи: $D = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n$.

Подставим в эту формулу соответствующее количество вершин n для каждого из указанных многоугольников.

а) шестиугольник

Для шестиугольника число вершин $n = 6$.

Вычисляем количество диагоналей:

$D = \frac{1}{2} \cdot 6^2 - \frac{3}{2} \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{18}{2} = 18 - 9 = 9$.

Ответ: 9 диагоналей.

б) восьмиугольник

Для восьмиугольника число вершин $n = 8$.

Вычисляем количество диагоналей:

$D = \frac{1}{2} \cdot 8^2 - \frac{3}{2} \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 64 - \frac{24}{2} = 32 - 12 = 20$.

Ответ: 20 диагоналей.

в) двенадцатиугольник

Для двенадцатиугольника число вершин $n = 12$.

Вычисляем количество диагоналей:

$D = \frac{1}{2} \cdot 12^2 - \frac{3}{2} \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 144 - \frac{36}{2} = 72 - 18 = 54$.

Ответ: 54 диагонали.

г) стоугольник

Для стоугольника число вершин $n = 100$.

Вычисляем количество диагоналей:

$D = \frac{1}{2} \cdot 100^2 - \frac{3}{2} \cdot 100 = \frac{1}{2} \cdot 10000 - \frac{300}{2} = 5000 - 150 = 4850$.

Ответ: 4850 диагоналей.

6.51 Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до $n$ можно вычислить по формуле $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$.

Используя формулу, вычислите сумму последовательных натуральных чисел:

а) от 1 до 20;

б) от 1 до 100.

а) Для вычисления суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 20 используется формула $S_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$, где $n$ — последнее число последовательности. В данном случае $n = 20$. Подставляем это значение в формулу и производим вычисления:
$S_{20} = \frac{1}{2}(20)^2 + \frac{1}{2}(20) = \frac{1}{2} \cdot 400 + 10 = 200 + 10 = 210$.
Ответ: 210

б) Для вычисления суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 100 используется та же формула, но теперь $n = 100$. Подставляем это значение в формулу и производим вычисления:
$S_{100} = \frac{1}{2}(100)^2 + \frac{1}{2}(100) = \frac{1}{2} \cdot 10000 + 50 = 5000 + 50 = 5050$.
Ответ: 5050

6.52 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) Сигнальная ракета выпущена под углом $45^\circ$ к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Высоту (в метрах), на которой находится ракета, можно при этих условиях вычислить, подставив время полёта (в секундах) в многочлен $2 + 21t - 5t^2$. На какой высоте окажется ракета через 2 с после запуска; через 4 с?

б) Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх, сообщая ему начальную скорость 10 м/с. В этом случае высота, на которой находится мяч, может быть приближённо вычислена по формуле $h = 2 + 10t - 5t^2$, где $h$ — высота полёта (в метрах), $t$ — время (в секундах). На какой высоте будет находиться мяч через 1 с; через 1,5 с; через 2 с?

а) В данной задаче высота ракеты $h$ (в метрах) в зависимости от времени полета $t$ (в секундах) описывается многочленом $h(t) = 2 + 21t - 5t^2$. Чтобы найти высоту ракеты в определенные моменты времени, нужно подставить соответствующие значения $t$ в эту формулу.

Найдем высоту ракеты через 2 секунды после запуска. Для этого подставим $t = 2$ в формулу:

$h(2) = 2 + 21 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 2 + 42 - 5 \cdot 4 = 44 - 20 = 24$ (м).

Теперь найдем высоту ракеты через 4 секунды после запуска. Для этого подставим $t = 4$ в формулу:

$h(4) = 2 + 21 \cdot 4 - 5 \cdot 4^2 = 2 + 84 - 5 \cdot 16 = 86 - 80 = 6$ (м).

Ответ: через 2 с ракета окажется на высоте 24 м, а через 4 с — на высоте 6 м.

б) Высота мяча $h$ (в метрах) в зависимости от времени $t$ (в секундах) вычисляется по формуле $h(t) = 2 + 10t - 5t^2$. Найдем высоту мяча для каждого указанного момента времени.

Высота мяча через 1 секунду ($t=1$):

$h(1) = 2 + 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 2 + 10 - 5 = 7$ (м).

Высота мяча через 1,5 секунды ($t=1,5$):

$h(1,5) = 2 + 10 \cdot 1,5 - 5 \cdot (1,5)^2 = 2 + 15 - 5 \cdot 2,25 = 17 - 11,25 = 5,75$ (м).

Высота мяча через 2 секунды ($t=2$):

$h(2) = 2 + 10 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 2 + 20 - 5 \cdot 4 = 22 - 20 = 2$ (м).

Ответ: через 1 с мяч будет находиться на высоте 7 м, через 1,5 с — на высоте 5,75 м, а через 2 с — на высоте 2 м.