Страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения степени в степень. Упростите выражения: $(a^6)^5$; $(a^{10})^2$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения степени в степень

Правило возведения степени в степень для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ записывается в буквенном виде следующей формулой:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Формулировка правила: чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

Ответ: формула $(a^m)^n = a^{mn}$; правило: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Упростите выражение: $(a^6)^5$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо применить правило возведения степени в степень. Основание $a$ остается прежним, а показатели степеней $6$ и $5$ перемножаются.

$(a^6)^5 = a^{6 \cdot 5} = a^{30}$

Ответ: $a^{30}$

Упростите выражение: $(a^{10})^2$

Для упрощения этого выражения также используется правило возведения степени в степень. Основание $a$ остается тем же, а показатели степеней $10$ и $2$ перемножаются.

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$

Ответ: $a^{20}$

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения произведения в степень.

Упростите выражение $ (-2xy^3)^2 $.

Вычислите $ 0,5^5 \cdot 20^5 $.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения произведения в степень.

Правило возведения произведения в степень в буквенном виде записывается следующей формулой:
$(ab)^n = a^n b^n$
Словесная формулировка правила: чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем перемножить полученные результаты.

Ответ: Формула: $(ab)^n = a^n b^n$. Правило: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.

Упростите выражение $(-2xy^3)^2$.

Для упрощения этого выражения необходимо применить правило возведения произведения в степень. Каждый множитель, находящийся в скобках, возводится во вторую степень:

$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2$

Теперь выполним вычисления для каждого множителя:

• $(-2)^2 = 4$
• $x^2$ остается без изменений.
• $(y^3)^2$ упрощается по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, следовательно, $(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$.

Объединив результаты, получаем:
$4 \cdot x^2 \cdot y^6 = 4x^2y^6$

Ответ: $4x^2y^6$.

Вычислите $0,5^5 \cdot 20^5$.

Для вычисления данного выражения воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Это то же самое правило возведения произведения в степень, но примененное в обратном порядке.

$0,5^5 \cdot 20^5 = (0,5 \cdot 20)^5$

Сначала выполним умножение в скобках:
$0,5 \cdot 20 = 10$

Затем возведем полученное число в пятую степень:
$10^5 = 100000$

Ответ: $100000$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения дроби в степень. Выполните возведение в степень $(\frac{a}{3})^4$. Вычислите $\frac{24^5}{12^5}$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения дроби в степень
Правило возведения дроби в степень в буквенном виде записывается следующей формулой: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $, где $b \neq 0$, а $n$ — натуральное число.
Формулировка правила: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель.
Ответ: Формула: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $. Правило: чтобы возвести дробь в степень, необходимо отдельно возвести в эту степень числитель и отдельно знаменатель, после чего записать результат в виде дроби.

Выполните возведение в степень $(\frac{a}{3})^4$
Для возведения дроби $ \frac{a}{3} $ в четвертую степень, воспользуемся правилом, сформулированным выше. Нужно возвести в 4-ю степень числитель $a$ и знаменатель $3$. $ (\frac{a}{3})^4 = \frac{a^4}{3^4} $
Теперь вычислим значение знаменателя: $ 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $
Таким образом, получаем: $ (\frac{a}{3})^4 = \frac{a^4}{81} $
Ответ: $ \frac{a^4}{81} $

Вычислите $\frac{24^5}{12^5}$
В данном выражении мы видим частное двух степеней с одинаковым показателем. Можно применить правило возведения дроби в степень в обратном порядке: $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $. $ \frac{24^5}{12^5} = (\frac{24}{12})^5 $
Сначала выполним деление в скобках: $ \frac{24}{12} = 2 $
Теперь возведем полученный результат в пятую степень: $ 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 $
Ответ: 32

Упростите выражение $(-\frac{2}{a})^5$ (в качестве образца используйте пример 3).

Для упрощения выражения $\left(-\frac{2}{a}\right)^5$ необходимо возвести в пятую степень и числитель, и знаменатель дроби, используя свойство возведения дроби в степень: $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$.

Применим это правило к заданному выражению:
$\left(-\frac{2}{a}\right)^5 = \frac{(-2)^5}{a^5}$

Теперь вычислим значение числителя. Поскольку основание степени $(-2)$ является отрицательным числом, а показатель степени (5) — нечетным, результат также будет отрицательным.
$(-2)^5 = - (2^5) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -32$

Знаменатель $a$ возводится в пятую степень, что дает $a^5$.

Подставив полученные значения обратно в дробь, получим:
$\frac{-32}{a^5}$

Окончательный вид выражения, вынеся знак минус перед дробью:
$-\frac{32}{a^5}$

Ответ: $-\frac{32}{a^5}$

6.22 Выполните действие:

а) $ (y^5)^3 $;

б) $ (n^8)^3 $;

в) $ 2(a^3)^5 $;

г) $ -4(y^4)^2 $;

д) $ -(c^6)^2 $.

Для решения данных примеров используется свойство степени, которое гласит, что при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а)

В данном выражении $(y^5)^3$ основание равно $y$, а показатели степеней – 5 и 3. Применяя свойство возведения степени в степень, мы перемножаем показатели: $(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$.

Ответ: $y^{15}$

б)

В выражении $(n^8)^3$ основание равно $n$, а показатели степеней – 8 и 3. Перемножим показатели степеней: $(n^8)^3 = n^{8 \cdot 3} = n^{24}$.

Ответ: $n^{24}$

в)

В выражении $2(a^3)^5$ сначала необходимо возвести в степень выражение в скобках. Применим правило возведения степени в степень к $(a^3)^5$: $(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$. Затем умножим полученный результат на коэффициент 2: $2 \cdot a^{15} = 2a^{15}$.

Ответ: $2a^{15}$

г)

В выражении $-4(y^4)^2$ сначала возводим в степень выражение в скобках. Применим правило к $(y^4)^2$: $(y^4)^2 = y^{4 \cdot 2} = y^8$. Теперь умножим полученный результат на коэффициент -4: $-4 \cdot y^8 = -4y^8$.

Ответ: $-4y^8$

д)

В выражении $-(c^6)^2$ знак минуса стоит перед скобками, поэтому он не возводится в степень. Сначала возводим в степень выражение в скобках: $(c^6)^2 = c^{6 \cdot 2} = c^{12}$. Затем применяем знак минуса к результату: $-(c^{12}) = -c^{12}$.

Ответ: $-c^{12}$

6.23 Возведите в квадрат и в куб выражение:

1) $2^2$, $(-2)^2$, $-2^2$;

2) $2^3$, $(-2)^3$, $-2^3$.

1) Требуется возвести в квадрат и в куб выражения $2^2, (-2)^2, -2^2$.

Сначала вычислим значения исходных выражений. Важно помнить о порядке операций: возведение в степень выполняется раньше унарного минуса (знака "минус" перед числом).

• $2^2 = 2 \times 2 = 4$
• $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ (квадрат отрицательного числа положителен)
• $-2^2 = -(2^2) = -4$ (сначала $2^2=4$, затем применяется минус)

Теперь возведем каждое из полученных значений в квадрат:

• Для выражения $2^2$: $(2^2)^2 = 4^2 = 16$. Можно также использовать свойство степени $(a^m)^n = a^{m \times n}$: $(2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4 = 16$.
• Для выражения $(-2)^2$: $((-2)^2)^2 = 4^2 = 16$.
• Для выражения $-2^2$: $(-2^2)^2 = (-4)^2 = 16$.

Далее возведем каждое из исходных выражений в куб:

• Для выражения $2^2$: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$. По свойству степени: $(2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64$.
• Для выражения $(-2)^2$: $((-2)^2)^3 = 4^3 = 64$.
• Для выражения $-2^2$: $(-2^2)^3 = (-4)^3 = -64$ (куб отрицательного числа отрицателен).

Ответ: При возведении в квадрат каждого из выражений $2^2, (-2)^2, -2^2$ получается 16. При возведении в куб: $(2^2)^3 = 64$, $((-2)^2)^3 = 64$, $(-2^2)^3 = -64$.

2) Требуется возвести в квадрат и в куб выражения $2^3, (-2)^3, -2^3$.

Сначала вычислим значения исходных выражений:

• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (нечетная степень отрицательного числа отрицательна)
• $-2^3 = -(2^3) = -8$

Теперь возведем каждое из полученных значений в квадрат:

• Для выражения $2^3$: $(2^3)^2 = 8^2 = 64$. По свойству степени: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.
• Для выражения $(-2)^3$: $((-2)^3)^2 = (-8)^2 = 64$.
• Для выражения $-2^3$: $(-2^3)^2 = (-8)^2 = 64$.

Далее возведем каждое из исходных выражений в куб:

• Для выражения $2^3$: $(2^3)^3 = 8^3 = 512$. По свойству степени: $(2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9 = 512$.
• Для выражения $(-2)^3$: $((-2)^3)^3 = (-8)^3 = -512$.
• Для выражения $-2^3$: $(-2^3)^3 = (-8)^3 = -512$.

Ответ: При возведении в квадрат каждого из выражений $2^3, (-2)^3, -2^3$ получается 64. При возведении в куб: $(2^3)^3 = 512$, $((-2)^3)^3 = -512$, $(-2^3)^3 = -512$.