Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения:

а) $6^3$;

б) $10^5$;

в) $18^1$.

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим единицы, называют произведение, состоящее из $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

В общем виде это записывается так: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$. Число $a$ является основанием степени, а $n$ — показателем степени.

Степенью числа с показателем 1 является само это число: $a^1 = a$.

а) Вычислим значение выражения $6^3$. Согласно определению, это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 6.

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 216

б) Вычислим значение выражения $10^5$. Это произведение пяти множителей, каждый из которых равен 10. Это равно единице с пятью нулями.

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 \ 000$.

Ответ: 100000

в) Вычислим значение выражения $18^1$. По определению степени с показателем 1, любое число в первой степени равно самому себе.

$18^1 = 18$.

Ответ: 18

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

$a^{12} \cdot a^5$; $a^{10} \cdot a \cdot a^7$.

Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями в буквенном виде записывается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Данное равенство справедливо для любого числа $a$ и для любых натуральных чисел $m$ и $n$.

Сформулировать это правило можно так: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

$a^{12} \cdot a^5$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо применить правило умножения степеней. Основание $a$ оставляем без изменений, а показатели степеней 12 и 5 складываем:

$a^{12} \cdot a^5 = a^{12+5} = a^{17}$

Ответ: $a^{17}$

$a^{10} \cdot a \cdot a^7$

В этом выражении три множителя с одинаковым основанием $a$. Множитель $a$ можно представить в виде степени с показателем 1, то есть $a^1$. Применяя правило умножения степеней, складываем показатели всех множителей:

$a^{10} \cdot a \cdot a^7 = a^{10} \cdot a^1 \cdot a^7 = a^{10+1+7} = a^{18}$

Ответ: $a^{18}$

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Упростите выражения: $\frac{a^{12}}{a^4}$; $\frac{a^{20}}{a^5}$.

Запись правила деления степеней с одинаковыми основаниями в буквенном виде и его формулировка
Для любого числа $a$, не равного нулю ($a \neq 0$), и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо следующее равенство (частное степеней):
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
Правило формулируется так: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Упрощение выражения $\frac{a^{12}}{a^4}$
Применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание $a$ остается без изменений, а показатели степеней вычитаются:
$ \frac{a^{12}}{a^4} = a^{12-4} = a^8 $
Ответ: $a^8$

Упрощение выражения $\frac{a^{20}}{a^5}$
Аналогично первому примеру, применяем то же правило:
$ \frac{a^{20}}{a^5} = a^{20-5} = a^{15} $
Ответ: $a^{15}$

6.1 1) Запишите в виде степени:

а) $x^3x^5$; б) $bb^4b^5$; в) $xx^2x^3x^4$; г) $n^2n^2n^2$.

2) Упростите:

а) $a^2b^3a$; б) $x^3a^2xa^5$; в) $xx^4y^2y$; г) $a^2c^4ac^{10}ac$.

3) Выполните умножение:

а) $a^xa^y$; б) $x^nx^5$; в) $yy^n$; г) $c^nc^n$.

1) Запишите в виде степени:

• а) Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $x$, а показатели степеней — 3 и 5. Складываем показатели: $3 + 5 = 8$.
  $x^3 x^5 = x^{3+5} = x^8$.
  Ответ: $x^8$.

• б) Используем то же свойство. Следует помнить, что любое число или переменная без показателя степени имеет показатель 1, то есть $b = b^1$. Складываем показатели степеней с основанием $b$: $1 + 4 + 5 = 10$.
  $b b^4 b^5 = b^1 \cdot b^4 \cdot b^5 = b^{1+4+5} = b^{10}$.
  Ответ: $b^{10}$.

• в) Аналогично предыдущему пункту, $x = x^1$. Основание у всех множителей одинаковое и равно $x$. Складываем показатели: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
  $x x^2 x^3 x^4 = x^{1+2+3+4} = x^{10}$.
  Ответ: $x^{10}$.

• г) Основание у всех множителей равно $n$. Складываем показатели степеней: $2 + 2 + 2 = 6$.
  $n^2 n^2 n^2 = n^{2+2+2} = n^6$.
  Ответ: $n^6$.

2) Упростите:

• а) Сначала сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя переместительный закон умножения. Затем применим правило сложения показателей.
  $a^2 b^3 a = (a^2 \cdot a) \cdot b^3 = a^{2+1} b^3 = a^3 b^3$.
  Ответ: $a^3 b^3$.

• б) Группируем множители с основанием $x$ и множители с основанием $a$. Затем складываем показатели для каждой группы.
  $x^3 a^2 x a^5 = (x^3 \cdot x) \cdot (a^2 \cdot a^5) = x^{3+1} \cdot a^{2+5} = x^4 a^7$.
  Ответ: $x^4 a^7$ (или $a^7 x^4$).

• в) Группируем множители с одинаковыми основаниями $x$ и $y$ и складываем их показатели.
  $x x^4 y^2 y = (x \cdot x^4) \cdot (y^2 \cdot y) = x^{1+4} \cdot y^{2+1} = x^5 y^3$.
  Ответ: $x^5 y^3$.

• г) Группируем множители с основаниями $a$ и $c$. Помним, что $a = a^1$ и $c = c^1$.
  $a^2 c^4 a c^{10} a c = (a^2 \cdot a \cdot a) \cdot (c^4 \cdot c^{10} \cdot c) = a^{2+1+1} \cdot c^{4+10+1} = a^4 c^{15}$.
  Ответ: $a^4 c^{15}$.

3) Выполните умножение:

• а) Правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковыми основаниями применяется и для буквенных показателей.
  $a^x a^y = a^{x+y}$.
  Ответ: $a^{x+y}$.

• б) Основание общее — $x$. Складываем показатели $n$ и 5.
  $x^n x^5 = x^{n+5}$.
  Ответ: $x^{n+5}$.

• в) Основание общее — $y$. Складываем показатели 1 (от множителя $y$) и $n$.
  $y y^n = y^{1+n}$.
  Ответ: $y^{1+n}$.

• г) Основание общее — $c$. Складываем показатели $n$ и $n$.
  $c^n c^n = c^{n+n} = c^{2n}$.
  Ответ: $c^{2n}$.

6.2 Представьте в виде степени:

a) $2^2 \cdot 2^{10}$;

б) $3^5 \cdot 3^2 \cdot 3$;

в) $5 \cdot 5^n \cdot 5^2$;

г) $2^n \cdot 2^n \cdot 2$;

д) $7^k \cdot 7^k \cdot 7^2$;

е) $10^k \cdot 10^k \cdot 10^k$.

Для решения всех пунктов используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому правилу, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений, а их показатели складываются. Также следует помнить, что любое число $a$ можно представить в виде степени как $a^1$.

а) $2^2 \cdot 2^{10}$

Основание степени равно 2. Складываем показатели: $2 + 10 = 12$.

Таким образом, $2^2 \cdot 2^{10} = 2^{2+10} = 2^{12}$.

Ответ: $2^{12}$.

б) $3^5 \cdot 3^2 \cdot 3$

Представим множитель 3 как $3^1$. Основание степени равно 3. Складываем показатели: $5 + 2 + 1 = 8$.

Таким образом, $3^5 \cdot 3^2 \cdot 3 = 3^5 \cdot 3^2 \cdot 3^1 = 3^{5+2+1} = 3^8$.

Ответ: $3^8$.

в) $5 \cdot 5^n \cdot 5^2$

Представим множитель 5 как $5^1$. Основание степени равно 5. Складываем показатели: $1 + n + 2 = n+3$.

Таким образом, $5 \cdot 5^n \cdot 5^2 = 5^1 \cdot 5^n \cdot 5^2 = 5^{1+n+2} = 5^{n+3}$.

Ответ: $5^{n+3}$.

г) $2^n \cdot 2^n \cdot 2$

Представим множитель 2 как $2^1$. Основание степени равно 2. Складываем показатели: $n + n + 1 = 2n+1$.

Таким образом, $2^n \cdot 2^n \cdot 2 = 2^n \cdot 2^n \cdot 2^1 = 2^{n+n+1} = 2^{2n+1}$.

Ответ: $2^{2n+1}$.

д) $7^k \cdot 7^k \cdot 7^2$

Основание степени равно 7. Складываем показатели: $k + k + 2 = 2k+2$.

Таким образом, $7^k \cdot 7^k \cdot 7^2 = 7^{k+k+2} = 7^{2k+2}$.

Ответ: $7^{2k+2}$.

е) $10^k \cdot 10^k \cdot 10^k$

Основание степени равно 10. Складываем показатели: $k + k + k = 3k$.

Таким образом, $10^k \cdot 10^k \cdot 10^k = 10^{k+k+k} = 10^{3k}$.

Ответ: $10^{3k}$.

6.3 Упростите выражение:

a) $(-x) \cdot x^2;$

б) $(-x)^2 \cdot x;$

в) $(-x) \cdot (-x^2);$

г) $(-x) \cdot (-x^2) \cdot (-x);$

д) $-x^2 \cdot (-x)^2 \cdot x;$

е) $-(-x)^2 \cdot (-x) \cdot x.$

а) Для упрощения выражения $(-x) \cdot x^2$ представим $(-x)$ как $-1 \cdot x$. Затем, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, выполним умножение.
Решение: $(-x) \cdot x^2 = (-1 \cdot x^1) \cdot x^2 = -1 \cdot x^{1+2} = -x^3$.
Ответ: $-x^3$

б) В выражении $(-x)^2 \cdot x$ сначала возведем в степень выражение в скобках. Квадрат отрицательного выражения $(-x)$ равен положительному $x^2$, так как $(-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.
Решение: $(-x)^2 \cdot x = x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$.
Ответ: $x^3$

в) Выражение $(-x) \cdot (-x^2)$ является произведением двух отрицательных членов. Произведение двух отрицательных значений положительно ("минус на минус дает плюс").
Решение: $(-x) \cdot (-x^2) = x \cdot x^2 = x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.
Ответ: $x^3$

г) В выражении $(-x) \cdot (-x^2) \cdot (-x)$ три отрицательных множителя. Произведение нечетного числа отрицательных множителей является отрицательным.
Решение: $(-x) \cdot (-x^2) \cdot (-x) = -(x^1 \cdot x^2 \cdot x^1) = -x^{1+2+1} = -x^4$.
Ответ: $-x^4$

д) В выражении $-x^2 \cdot (-x)^2 \cdot x$ сначала упростим множитель $(-x)^2$. Так как $(-x)^2 = x^2$, выражение принимает вид $-x^2 \cdot x^2 \cdot x$.
Решение: $-x^2 \cdot x^2 \cdot x = -1 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot x^1 = -1 \cdot x^{2+2+1} = -x^5$.
Ответ: $-x^5$

е) Для упрощения выражения $-(-x)^2 \cdot (-x) \cdot x$ сначала выполним возведение в степень: $(-x)^2 = x^2$. Тогда первый множитель становится $-x^2$.
Выражение принимает вид: $(-x^2) \cdot (-x) \cdot x$. Произведение двух первых множителей $(-x^2) \cdot (-x)$ положительно и равно $x^3$.
Решение: $-(-x)^2 \cdot (-x) \cdot x = (-x^2) \cdot (-x) \cdot x = (x^2 \cdot x) \cdot x = x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.
Ответ: $x^4$

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (6.4–6.5)

6.4 Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) $\frac{m^9}{m^2}$; б) $\frac{n^{10}}{n^9}$; В) $\frac{c^5}{c}$; Г) $\frac{a^{18}}{a^8}$; Д) $\frac{y^{30}}{y^{24}}$.

Для решения данной задачи используется правило деления степеней с одинаковым основанием. Это правило гласит: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$, $m$ и $n$ — натуральные числа, $m > n$).

а) В выражении $\frac{m^9}{m^2}$ основание степени — $m$. Чтобы найти частное, нужно из показателя степени числителя (9) вычесть показатель степени знаменателя (2).
$\frac{m^9}{m^2} = m^{9-2} = m^7$.
Ответ: $m^7$.

б) В выражении $\frac{n^{10}}{n^9}$ основание степени — $n$. Вычитаем из показателя 10 показатель 9.
$\frac{n^{10}}{n^9} = n^{10-9} = n^1 = n$.
Ответ: $n$.

в) В выражении $\frac{c^5}{c}$ основание степени — $c$. Следует помнить, что любое число или переменная без указания степени имеет степень 1, то есть $c = c^1$. Таким образом, вычитаем 1 из 5.
$\frac{c^5}{c} = \frac{c^5}{c^1} = c^{5-1} = c^4$.
Ответ: $c^4$.

г) В выражении $\frac{a^{18}}{a^8}$ основание степени — $a$. Применяем правило деления степеней.
$\frac{a^{18}}{a^8} = a^{18-8} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

д) В выражении $\frac{y^{30}}{y^{24}}$ основание степени — $y$. Выполняем вычитание показателей.
$\frac{y^{30}}{y^{24}} = y^{30-24} = y^6$.
Ответ: $y^6$.

6.5 Выполните деление:

а) $a^7 : a^2$;

б) $b^{10} : b^5$;

в) $c^{30} : c^{10}$;

г) $x^{12} : x^4$;

д) $m^{50} : m^2$;

е) $y^{100} : y^{10}$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. В виде формулы это записывается так:

$a^m : a^n = a^{m-n}$ (при условии, что $a \ne 0$).

Применим это правило к каждому из данных выражений:

а) $a^7 : a^2 = a^{7-2} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

б) $b^{10} : b^5 = b^{10-5} = b^5$.

Ответ: $b^5$.

в) $c^{30} : c^{10} = c^{30-10} = c^{20}$.

Ответ: $c^{20}$.

г) $x^{12} : x^4 = x^{12-4} = x^8$.

Ответ: $x^8$.

д) $m^{50} : m^2 = m^{50-2} = m^{48}$.

Ответ: $m^{48}$.

е) $y^{100} : y^{10} = y^{100-10} = y^{90}$.

Ответ: $y^{90}$.