Страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.76 Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $y = |x| - x;$

б) $y = |x| \cdot x;$

в) $y = \frac{|x|}{x};$

г) $y = \frac{2x}{|x|}.$

а) $y = |x| - x$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, чтобы раскрыть знак модуля.

1. При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем:
$y = x - x = 0$.
Это означает, что для всех неотрицательных значений $x$ (то есть на промежутке $[0, +\infty)$), график функции совпадает с частью оси абсцисс (Ox). Это луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ и идущий вправо.

2. При $x < 0$, модуль раскрывается как $|x| = -x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем:
$y = -x - x = -2x$.
Это линейная функция, график которой — прямая. Так как мы рассматриваем только $x < 0$, то графиком будет луч, выходящий из начала координат (точка $(0,0)$ не включена в этот луч, но является предельной) и проходящий, например, через точку $(-1, -2(-1)) = (-1, 2)$.

Объединяя оба случая, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые "стыкуются" в точке $(0, 0)$.
Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x$ для $x < 0$ и луча $y = 0$ для $x \ge 0$.

б) $y = |x| \cdot x$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение функции принимает вид:
$y = x \cdot x = x^2$.
Это уравнение параболы. На промежутке $[0, +\infty)$ график функции совпадает с правой ветвью параболы $y = x^2$, которая начинается в точке $(0,0)$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение функции принимает вид:
$y = (-x) \cdot x = -x^2$.
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с левой ветвью параболы $y = -x^2$, которая также стремится к точке $(0,0)$.

Итоговый график состоит из двух частей парабол.
Ответ: Множество точек является объединением графика функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ и графика функции $y = -x^2$ при $x < 0$.

в) $y = \frac{|x|}{x}$

Прежде всего отметим область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Это означает, что на графике не будет точки с абсциссой $0$.

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{x}{x} = 1$.
Таким образом, для всех положительных $x$ график представляет собой открытый луч $y=1$ (горизонтальная линия на высоте 1, справа от оси Oy).

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{-x}{x} = -1$.
Таким образом, для всех отрицательных $x$ график представляет собой открытый луч $y=-1$ (горизонтальная линия на высоте -1, слева от оси Oy).

Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ на графике будут "выколотыми".
Ответ: График состоит из двух открытых лучей: $y = 1$ при $x > 0$ и $y = -1$ при $x < 0$. Функция не определена при $x=0$.

г) $y = \frac{2x}{|x|}$

Область определения функции: $x \ne 0$, так как знаменатель не должен быть равен нулю.

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{x} = 2$.
Для всех $x > 0$ график представляет собой открытый луч $y=2$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{-x} = -2$.
Для всех $x < 0$ график представляет собой открытый луч $y=-2$.

Точки $(0, 2)$ и $(0, -2)$ на графике будут "выколотыми".
Ответ: График состоит из двух открытых лучей: $y = 2$ при $x > 0$ и $y = -2$ при $x < 0$. Функция не определена при $x=0$.

1 Назовите известные вам числовые промежутки и приведите соответствующие примеры.

Числовые промежутки — это подмножества множества всех действительных чисел. Вот основные их виды:

Интервал (открытый промежуток)

Это множество всех чисел, заключенных между двумя данными числами (концами интервала), не включая сами эти числа. Интервал задается строгим двойным неравенством $a < x < b$ и обозначается с помощью круглых скобок $(a, b)$.

Пример: промежуток $(-1, 4)$ включает все числа, которые строго больше -1 и строго меньше 4, например, 0, 1.5, 3.9.

Ответ: Интервал $(a, b)$, соответствующий неравенству $a < x < b$. Пример: $(-1, 4)$.

Отрезок (замкнутый промежуток)

Это множество всех чисел, заключенных между двумя данными числами, включая сами эти числа. Отрезок задается нестрогим двойным неравенством $a \le x \le b$ и обозначается с помощью квадратных скобок $[a, b]$.

Пример: отрезок $[-2, 3]$ включает все числа от -2 до 3 включительно, например, -2, 0, 1, 3.

Ответ: Отрезок $[a, b]$, соответствующий неравенству $a \le x \le b$. Пример: $[-2, 3]$.

Полуинтервал (полуоткрытый промежуток)

Это множество чисел между двумя данными числами, включая одно из них и не включая другое. Существует два вида полуинтервалов:

1. Промежуток вида $[a, b)$, который задается неравенством $a \le x < b$. Левая граница включается, правая — нет. Пример: $[0, 5)$ — это числа от 0 (включительно) до 5 (не включительно).

2. Промежуток вида $(a, b]$, который задается неравенством $a < x \le b$. Левая граница не включается, правая — да. Пример: $(-6, 1]$ — это числа от -6 (не включительно) до 1 (включительно).

Ответ: Полуинтервалы $[a, b)$ и $(a, b]$, соответствующие неравенствам $a \le x < b$ и $a < x \le b$. Примеры: $[0, 5)$ и $(-6, 1]$.

Числовой луч

Это множество чисел, которое ограничено с одной стороны и неограничено с другой. Они бывают четырех видов:

1. Открытый луч $(a, +\infty)$ — множество чисел, строго больших $a$. Задается неравенством $x > a$. Пример: $(7, +\infty)$.

2. Замкнутый луч $[a, +\infty)$ — множество чисел, больших или равных $a$. Задается неравенством $x \ge a$. Пример: $[7, +\infty)$.

3. Открытый луч $(-\infty, a)$ — множество чисел, строго меньших $a$. Задается неравенством $x < a$. Пример: $(-\infty, 0)$.

4. Замкнутый луч $(-\infty, a]$ — множество чисел, меньших или равных $a$. Задается неравенством $x \le a$. Пример: $(-\infty, 0]$.

Ответ: Числовые лучи $(a, +\infty)$, $[a, +\infty)$, $(-\infty, a)$ и $(-\infty, a]$. Примеры: $(7, +\infty)$, $[7, +\infty)$, $(-\infty, 0)$, $(-\infty, 0]$.

Числовая прямая

Это множество всех действительных чисел, которое неограничено с обеих сторон. Обозначается как $(-\infty, +\infty)$ и соответствует множеству $\mathbb{R}$.

Пример: решение неравенства $x^2 \ge 0$ есть вся числовая прямая.

Ответ: Числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.

2 На координатной прямой даны точки $A(14)$, $B(-6)$, $C(a)$. На каком расстоянии от точки 0 находится каждая из этих точек?

Расстояние от точки на координатной прямой до начала координат (точки O с координатой 0) равно модулю (абсолютной величине) координаты этой точки. Для точки с координатой $x$ расстояние до начала координат равно $|x|$.

Расстояние для точки A(14)

Координата точки A равна 14. Расстояние от точки A до точки O равно модулю её координаты: $OA = |14|$.

Так как 14 — положительное число, его модуль равен самому числу.

$OA = 14$.

Ответ: расстояние от точки A(14) до точки O равно 14.

Расстояние для точки B(-6)

Координата точки B равна -6. Расстояние от точки B до точки O равно модулю её координаты: $OB = |-6|$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$OB = 6$.

Ответ: расстояние от точки B(-6) до точки O равно 6.

Расстояние для точки C(a)

Координата точки C равна $a$. Расстояние от точки C до точки O равно модулю её координаты: $OC = |a|$.

Поскольку значение $a$ не задано, ответ записывается в общем виде с использованием знака модуля. Значение $|a|$ будет равно $a$, если $a \ge 0$, и будет равно $-a$, если $a < 0$.

Ответ: расстояние от точки C(a) до точки O равно $|a|$.

3 Запишите формулу расстояния между точками координатной прямой. По этой формуле найдите расстояние между точками A(-10,4) и B(2,3).

Запишите формулу расстояния между точками координатной прямой.

Расстояние $d$ между двумя точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$, расположенными на координатной прямой, равно модулю разности их координат. Эта величина всегда неотрицательна.

Формула для вычисления расстояния выглядит следующим образом:

$d = |x_2 - x_1|$

Ответ: $d = |x_2 - x_1|$.

По этой формуле найдите расстояние между точками A(-10,4) и B(2,3).

В условии даны точки A и B с их координатами на прямой. Запятая в записи чисел используется как десятичный разделитель. Таким образом, координаты точек: $x_A = -10,4$ и $x_B = 2,3$.

Подставим эти значения в формулу расстояния между точками:

$d = |x_B - x_A| = |2,3 - (-10,4)|$

Выполним вычисления:

$d = |2,3 + 10,4| = |12,7| = 12,7$

Таким образом, расстояние между точками A и B составляет 12,7 единичных отрезков.

Ответ: 12,7.