Страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.70 АНАЛИЗИРУЕМ

Паром дважды в сутки плывёт по озеру из пункта A в пункт B и возвращается обратно. На рисунке 5.45 показана зависимость расстояния между паромом и пунктом A от времени движения. С помощью графика определите:

а) Сколько времени длилась стоянка парома между третьим и четвёртым рейсами?

б) Чему была равна скорость парома при первом возвращении из пункта B в пункт A?

в) В каком из четырёх рейсов паром проплыл свой путь быстрее всего?

Расстояние до пункта А, км

Время, мин

Рис. 5.45

а) Сколько времени длилась стоянка парома между третьим и четвёртым рейсами?

На графике показано, что паром совершает 4 рейса (движение из одного пункта в другой). Третий рейс — это движение из пункта A в пункт B, которое заканчивается в момент времени 300 мин. Четвёртый рейс — это движение из пункта B обратно в пункт A, которое начинается в момент времени 320 мин.
Промежуток времени между окончанием третьего рейса и началом четвёртого является стоянкой в пункте B. На графике это горизонтальный участок на максимальном расстоянии от пункта A.
Начало стоянки: $t_1 = 300$ мин.
Конец стоянки: $t_2 = 320$ мин.
Длительность стоянки $\Delta t$ вычисляется как разница между временем её окончания и начала:
$\Delta t = t_2 - t_1 = 320 \text{ мин} - 300 \text{ мин} = 20$ мин.

Ответ: 20 минут.

б) Чему была равна скорость парома при первом возвращении из пункта B в пункт A?

Первое возвращение из пункта B в пункт A — это второй рейс. Из графика видно, что этот рейс начинается в момент времени $t_1 = 100$ мин и заканчивается в $t_2 = 200$ мин.
За это время паром проходит расстояние $S$, равное расстоянию между пунктами A и B. Максимальное значение на вертикальной оси показывает, что это расстояние равно 20 км.
Время, затраченное на путь: $\Delta t = t_2 - t_1 = 200 \text{ мин} - 100 \text{ мин} = 100$ мин.
Скорость $v$ находится по формуле $v = \frac{S}{\Delta t}$:
$v = \frac{20 \text{ км}}{100 \text{ мин}} = 0,2$ км/мин.
Чтобы выразить скорость в более привычных единицах (км/ч), умножим результат на 60, так как в одном часе 60 минут:
$v = 0,2 \frac{\text{км}}{\text{мин}} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 12$ км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

в) В каком из четырёх рейсов паром проплыл свой путь быстрее всего?

Чтобы определить самый быстрый рейс, необходимо найти время, затраченное на каждый из четырёх рейсов. Расстояние для каждого рейса одинаково (20 км), поэтому самым быстрым будет тот рейс, который занял наименьшее количество времени (на графике этому соответствует самый крутой наклон линии).
1. Первый рейс (A → B): время в пути $\Delta t_1 = 80 \text{ мин} - 0 \text{ мин} = 80$ мин.
2. Второй рейс (B → A): время в пути $\Delta t_2 = 200 \text{ мин} - 100 \text{ мин} = 100$ мин.
3. Третий рейс (А → B): время в пути $\Delta t_3 = 300 \text{ мин} - 240 \text{ мин} = 60$ мин.
4. Четвёртый рейс (B → A): время в пути $\Delta t_4 = 440 \text{ мин} - 320 \text{ мин} = 120$ мин.
Сравнивая длительность каждого рейса, видим, что наименьшее время ($\Delta t_{min} = 60$ мин) было затрачено на третий рейс. Следовательно, в этом рейсе паром двигался с наибольшей скоростью.

Ответ: в третьем рейсе.

5.71 На рисунке 5.46 изображён график роста тиража новой газеты за первые девять месяцев её существования. С помощью графика ответьте на вопросы:

Тираж, тыс. экз.

Дата выхода

Рис. 5.46

a) Какой был начальный тираж газеты в указанный период?

б) Когда примерно тираж газеты достиг 200 тыс. экземпляров; 250 тыс. экземпляров; 400 тыс. экземпляров?

в) На сколько примерно процентов вырос тираж газеты за февраль; за весну?

г) В каком месяце был самый быстрый рост тиража и в каком самый медленный?

а) Начальный тираж в указанный период соответствует значению на графике в самой ранней указанной дате. По горизонтальной оси (оси дат) период начинается с отметки 1.02, что можно интерпретировать как начало февраля. Найдём на графике точку с абсциссой (горизонтальной координатой) 1.02. Ордината (вертикальная координата) этой точки равна 150. Так как тираж на вертикальной оси указан в тысячах экземпляров, начальный тираж составляет 150 тыс. экземпляров.
Ответ: Начальный тираж газеты в указанный период составил 150 тыс. экземпляров.

б) Чтобы определить, когда тираж достигал определённых значений, найдём на вертикальной оси (ось тиража) эти значения и определим, каким датам (значениям на горизонтальной оси) они соответствуют на графике.
- 200 тыс. экземпляров: Находим на оси тиража значение 200. Проводим горизонтальную линию от этой отметки до пересечения с графиком. Точка пересечения находится между отметками 1.02 (начало февраля) и 1.03 (начало марта), примерно посередине этого интервала. Следовательно, тираж достиг 200 тыс. экземпляров примерно в середине февраля.
- 250 тыс. экземпляров: Находим на оси тиража значение 250. Точка пересечения с графиком находится ровно на вертикальной линии, соответствующей отметке 1.03. Это соответствует началу марта.
- 400 тыс. экземпляров: Находим на оси тиража значение 400. Точка пересечения с графиком находится между отметками 1.09 (начало сентября) и 1.10 (начало октября), но значительно ближе к отметке 1.09. Следовательно, тираж достиг 400 тыс. экземпляров примерно в начале сентября.
Ответ: Тираж достиг 200 тыс. экземпляров примерно в середине февраля; 250 тыс. экземпляров – в начале марта; 400 тыс. экземпляров – примерно в начале сентября.

в) Для расчёта процентного роста используется формула: $\frac{\text{конечное значение} - \text{начальное значение}}{\text{начальное значение}} \times 100\%$.
- За февраль: Рассматриваем период с начала февраля (дата 1.02) по конец февраля (дата 1.03). Начальный тираж (на 1.02) $T_{1} = 150$ тыс. экз. Конечный тираж (на 1.03) $T_{2} = 250$ тыс. экз. Рост тиража: $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 250 - 150 = 100$ тыс. экз. Процентный рост: $\frac{\Delta T}{T_{1}} \times 100\% = \frac{100}{150} \times 100\% = \frac{2}{3} \times 100\% \approx 66.7\%$.
- За весну: Весенние месяцы — это март, апрель, май. Рассматриваем период с начала марта (1.03) по конец мая (начало июня, 1.06). Начальный тираж (на 1.03) $T_{1} = 250$ тыс. экз. Конечный тираж (на 1.06) по графику составляет примерно 365 тыс. экз. (точка находится между отметками 350 и 375). Рост тиража: $\Delta T = 365 - 250 = 115$ тыс. экз. Процентный рост: $\frac{115}{250} \times 100\% = 0.46 \times 100\% = 46\%$.
Ответ: За февраль тираж вырос примерно на 66.7%; за весну – примерно на 46%.

г) Скорость роста тиража на графике характеризуется крутизной (наклоном) кривой. Самый быстрый рост соответствует самому крутому участку подъёма, а самый медленный — самому пологому (близкому к горизонтальному).
- Самый быстрый рост: Визуально и по расчётам самый крутой подъём графика наблюдается в первом месяце, между отметками 1.02 (начало февраля) и 1.03 (начало марта). Прирост за этот месяц составил $250 - 150 = 100$ тыс. экземпляров, что является максимальным месячным приростом за весь наблюдаемый период. Таким образом, самый быстрый рост был в феврале.
- Самый медленный рост: Наиболее пологий участок графика находится в середине периода, примерно между датами 1.06 и 1.09, что соответствует летним месяцам. Рассчитаем прирост по месяцам на этом участке. Прирост за июнь (1.06-1.07), июль (1.07-1.08) и август (1.08-1.09) примерно одинаков и составляет около 10-15 тыс. экземпляров в месяц, что является минимальным значением за весь период. Таким образом, самый медленный рост наблюдался в летние месяцы.
Ответ: Самый быстрый рост тиража был в феврале, а самый медленный — в июне, июле и августе.