Страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

АНАЛИЗИРУЕМ (5.60–5.61)

5.60 В одной системе координат постройте параболу $y = x^2$ и прямую $y = -x$. Найдите координаты точек пересечения этих графиков. При каких значениях $x$ парабола лежит выше прямой? ниже прямой?

Построение графиков

Для построения графиков функций $y = x^2$ (парабола) и $y = -x$ (прямая) в одной системе координат составим таблицы значений для каждой функции.

Для параболы $y = x^2$:

Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Для прямой $y = -x$:

Это прямая, проходящая через начало координат и точку $(-1, 1)$. Она является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, мы получим графики параболы и прямой.

Нахождение координат точек пересечения этих графиков

Чтобы найти точки пересечения, нужно приравнять правые части уравнений функций, так как в точках пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают:

$x^2 = -x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой из найденных абсцисс, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = -x$.

При $x_1 = 0$, $y_1 = -0 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1) = 1$. Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(-1, 1)$ и $(0, 0)$.

При каких значениях x парабола лежит выше прямой?

Парабола $y=x^2$ лежит выше прямой $y=-x$, если выполняется неравенство:

$x^2 > -x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + x > 0$

$x(x + 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x+1)=0$ равны $x=0$ и $x=-1$. Они разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1)$ (например, при $x=-2$) выражение $(-2)(-2+1) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Неравенство выполняется.
• На интервале $(-1, 0)$ (например, при $x=-0.5$) выражение $(-0.5)(-0.5+1) = -0.25 < 0$. Неравенство не выполняется.
• На интервале $(0, +\infty)$ (например, при $x=1$) выражение $1(1+1) = 2 > 0$. Неравенство выполняется.

Таким образом, парабола лежит выше прямой при $x$ из объединения двух интервалов.

Ответ: Парабола лежит выше прямой при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

При каких значениях x парабола лежит ниже прямой?

Парабола $y=x^2$ лежит ниже прямой $y=-x$, если выполняется неравенство:

$x^2 < -x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + x < 0$

$x(x + 1) < 0$

Используя результаты анализа из предыдущего пункта, мы видим, что это неравенство выполняется на том интервале, где произведение $x(x+1)$ отрицательно.

Это происходит на интервале $(-1, 0)$.

Ответ: Парабола лежит ниже прямой при $x \in (-1, 0)$.

5.61 Найти координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола $y = x^3$ пересекается с прямой $y = x$. Укажите промежутки значений $x$, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Найдите координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола $y = x^3$ пересекается с прямой $y = x$.

Для того чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В данном случае это кубическая парабола $y = x^3$ и прямая $y = x$.

Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают:

$x^3 = x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить однородное уравнение:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам три возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x_3 + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив каждое значение $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = x$:

• Если $x = -1$, то $y = -1$. Координаты первой точки: $(-1, -1)$.
• Если $x = 0$, то $y = 0$. Координаты второй точки: $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1$. Координаты третьей точки: $(1, 1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

Укажите промежутки значений $x$, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Условие "прямая расположена выше кубической параболы" означает, что для одних и тех же значений $x$ значение функции $y = x$ должно быть больше значения функции $y = x^3$. Запишем это в виде неравенства:

$x > x^3$

Перенесем $x^3$ в левую часть:

$x - x^3 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - x^2) > 0$

Разложим на множители выражение в скобках:

$x(1 - x)(1 + x) > 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Корни левой части неравенства: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак выражения $x(1 - x)(1 + x)$ на каждом из этих интервалов, выбрав по одному тестовому значению из каждого.

• Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем $x = -2$. $(-2)(1 - (-2))(1 + (-2)) = (-2)(3)(-1) = 6$. Так как $6 > 0$, этот интервал является решением.
• Интервал $(-1, 0)$: возьмем $x = -0.5$. $(-0.5)(1 - (-0.5))(1 + (-0.5)) = (-0.5)(1.5)(0.5) = -0.375$. Так как $-0.375 < 0$, этот интервал не является решением.
• Интервал $(0, 1)$: возьмем $x = 0.5$. $(0.5)(1 - 0.5)(1 + 0.5) = (0.5)(0.5)(1.5) = 0.375$. Так как $0.375 > 0$, этот интервал является решением.
• Интервал $(1, \infty)$: возьмем $x = 2$. $(2)(1 - 2)(1 + 2) = (2)(-1)(3) = -6$. Так как $-6 < 0$, этот интервал не является решением.

Объединив интервалы, на которых неравенство выполняется, получаем итоговый результат.

Ответ: Прямая расположена выше кубической параболы при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

5.62 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

а) $y = x^2$ и $1 \le y \le 9$;

б) $y = x^3$ и $-8 \le y \le 1$;

в) $y = |x|$ и $y \le 3$;

г) $y = |x|$ и $y \ge 1$.

а) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=x^2$, который представляет собой параболу с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $1 \le y \le 9$ означает, что мы рассматриваем только те точки параболы, ординаты которых лежат в указанном промежутке.
Найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
- При $y=1$, имеем $x^2=1$, откуда $x=1$ или $x=-1$. Получаем точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
- При $y=9$, имеем $x^2=9$, откуда $x=3$ или $x=-3$. Получаем точки $(3, 9)$ и $(-3, 9)$.
Таким образом, искомое множество состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ участков параболы.
Ответ: Множество точек представляет собой два участка параболы $y=x^2$: один участок соединяет точки $(-3, 9)$ и $(-1, 1)$, а второй — точки $(1, 1)$ и $(3, 9)$. Концевые точки принадлежат множеству.

б) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=x^3$ (кубическая парабола). Условие $-8 \le y \le 1$ ограничивает этот график по оси ординат.
Найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
- При $y=-8$, имеем $x^3=-8$, откуда $x=\sqrt[3]{-8}=-2$. Получаем точку $(-2, -8)$.
- При $y=1$, имеем $x^3=1$, откуда $x=\sqrt[3]{1}=1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Таким образом, искомое множество представляет собой непрерывный участок кривой $y=x^3$ между этими двумя точками.
Ответ: Множество точек представляет собой участок графика функции $y=x^3$, заключенный между точками $(-2, -8)$ и $(1, 1)$. Концевые точки принадлежат множеству.

в) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=|x|$. График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Условие $y \le 3$ ограничивает этот график сверху. Так как по определению модуля $y=|x| \ge 0$, полное ограничение для $y$ имеет вид $0 \le y \le 3$.
Найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
- При $y=0$, имеем $|x|=0$, откуда $x=0$. Получаем точку $(0, 0)$.
- При $y=3$, имеем $|x|=3$, откуда $x=3$ или $x=-3$. Получаем точки $(3, 3)$ и $(-3, 3)$.
Таким образом, искомое множество состоит из двух отрезков, выходящих из начала координат.
Ответ: Множество точек представляет собой два отрезка: один соединяет точку $(0, 0)$ и $(3, 3)$, а второй — точку $(0, 0)$ и $(-3, 3)$.

г) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=|x|$. Условие $y \ge 1$ означает, что мы рассматриваем точки графика, ордината которых не меньше 1.
Найдем начальные точки этих частей. Для этого решим уравнение $y=1$:
$|x|=1$, откуда $x=1$ или $x=-1$. Получаем точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
Поскольку мы ищем точки, где $y \ge 1$, то для $x>0$ это будет часть прямой $y=x$ при $x \ge 1$, а для $x<0$ — часть прямой $y=-x$ при $x \le -1$.
Ответ: Множество точек представляет собой два луча: один луч начинается в точке $(1, 1)$ и идет вдоль прямой $y=x$ в сторону увеличения $x$, а второй луч начинается в точке $(-1, 1)$ и идет вдоль прямой $y=-x$ в сторону уменьшения $x$. Начальные точки лучей принадлежат множеству.

5.63 Постройте график зависимости:

a) $y = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 1, \\ 1 \text{ при } -1 < x < 1, \\ -x \text{ при } x \le -1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 4 \text{ при } x \ge 2, \\ x^2 \text{ при } 0 < x < 2, \\ -x \text{ при } x \le 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x \text{ при } |x| \ge 1, \\ x^3 \text{ при } |x| < 1. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика нужно построить график каждой из трех функций на заданном для нее промежутке.

1. На промежутке $x \ge 1$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Построим эту часть графика по точкам. Найдем значение функции на границе промежутка: при $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x=2$: $y=2^2=4$. Точка $(2, 4)$ также принадлежит графику. Соединяем точки, получая ветвь параболы, начинающуюся в точке $(1, 1)$ и уходящую вправо и вверх.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ функция имеет вид $y=1$. Это горизонтальная прямая. Графиком является отрезок этой прямой, концы которого, точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, не принадлежат графику (их принято обозначать выколотыми или светлыми кружками).

3. На промежутке $x \le -1$ функция имеет вид $y = -x$. Это часть прямой, являющейся биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Найдем значение функции на границе промежутка: при $x=-1$, $y=-(-1)=1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x=-2$: $y=-(-2)=2$. Точка $(-2, 2)$ также принадлежит графику. Соединяем точки, получая луч, начинающийся в точке $(-1, 1)$ и уходящий влево и вверх.

Теперь объединим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ график функции $y=-x$ заканчивается в точке $(-1, 1)$ (точка закрашенная), а график функции $y=1$ начинается в этой же точке $(-1, 1)$ (точка выколотая). Таким образом, в точке $x=-1$ разрыва нет. Аналогично, в точке $x=1$ график функции $y=1$ заканчивается в точке $(1, 1)$ (точка выколотая), а график функции $y=x^2$ начинается в этой же точке $(1, 1)$ (точка закрашенная). В точке $x=1$ разрыва также нет. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: График состоит из трех частей. Для $x \le -1$ это луч $y=-x$, выходящий из точки $(-1, 1)$. Для $-1 < x < 1$ это отрезок прямой $y=1$ между точками $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Для $x \ge 1$ это часть параболы $y=x^2$, выходящая из точки $(1, 1)$. Все три части непрерывно соединены в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Для построения графика этой кусочно-заданной функции рассмотрим каждый из трех промежутков.

1. На промежутке $x \ge 2$ функция имеет вид $y = 4$. Это горизонтальная прямая. Графиком является луч, начинающийся в точке $(2, 4)$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое) и идущий вправо параллельно оси абсцисс.

2. На промежутке $0 < x < 2$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в начале координат и ветвями вверх. Граничные точки интервала: при $x \to 0$ справа, $y \to 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (выколотая точка). При $x \to 2$ слева, $y \to 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ также не принадлежит этой части графика (выколотая точка). Графиком является дуга параболы между точками $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

3. На промежутке $x \le 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это часть прямой, биссектрисы II и IV координатных углов. Граничная точка: при $x=0$, $y=-0=0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, $x=-1$: $y=-(-1)=1$. Точка $(-1, 1)$ также принадлежит графику. Графиком является луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ и идущий влево и вверх.

Объединим графики. В точке $x=0$ луч $y=-x$ заканчивается в точке $(0, 0)$ (закрашенная), а дуга параболы $y=x^2$ начинается в этой же точке (выколотая). Следовательно, в точке $x=0$ график непрерывен. В точке $x=2$ дуга параболы $y=x^2$ заканчивается в точке $(2, 4)$ (выколотая), а луч $y=4$ начинается в этой же точке (закрашенная). Следовательно, в точке $x=2$ график также непрерывен.

Ответ: График состоит из трех непрерывно соединенных частей. Для $x \le 0$ это луч $y=-x$, идущий из начала координат вверх и влево. Для $0 < x < 2$ это дуга параболы $y=x^2$, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$. Для $x \ge 2$ это горизонтальный луч $y=4$, выходящий из точки $(2, 4)$ вправо.

Данная функция задана с использованием модуля. Раскроем модули в условиях, чтобы перейти к стандартному кусочному заданию.

Неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = \begin{cases} x, & \text{при } x \le -1 \\ x^3, & \text{при } -1 < x < 1 \\ x, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

Теперь построим график, рассматривая каждый промежуток.

1. На промежутках $x \le -1$ и $x \ge 1$ функция имеет вид $y=x$. Это биссектриса первого и третьего координатных углов. При $x \ge 1$, графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 1)$ (точка закрашенная) и идущий вверх и вправо. При $x \le -1$, графиком является луч, начинающийся в точке $(-1, -1)$ (точка закрашенная) и идущий вниз и влево.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ функция имеет вид $y=x^3$. Это кубическая парабола. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и является симметричным относительно него. Найдем значения на границах: при $x \to 1$ слева, $y \to 1^3=1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит этой части графика (выколотая). При $x \to -1$ справа, $y \to (-1)^3=-1$. Точка $(-1, -1)$ также не принадлежит этой части графика (выколотая). Графиком является S-образная кривая, соединяющая точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Соединим части графика. В точке $x=1$ кубическая парабола заканчивается в точке $(1, 1)$ (выколотая), а луч $y=x$ начинается в этой же точке (закрашенная). Значит, в этой точке разрыва нет. В точке $x=-1$ кубическая парабола заканчивается в точке $(-1, -1)$ (выколотая), а луч $y=x$ начинается в этой же точке (закрашенная). В этой точке разрыва также нет. Функция непрерывна.

Ответ: График состоит из трех непрерывно соединенных частей. Для $x \ge 1$ это луч $y=x$, выходящий из точки $(1, 1)$. Для $-1 < x < 1$ это часть кубической параболы $y=x^3$ между точками $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Для $x \le -1$ это луч $y=x$, выходящий из точки $(-1, -1)$.

5.64 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей $y = x^2$ и $y = |x|$.

Чтобы найти координаты общих точек графиков зависимостей $y = x^2$ и $y = |x|$, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = |x|$
Для решения этого уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба этих значения удовлетворяют начальному условию $x \ge 0$.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = -x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -1$. Корень $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому он не является решением в этом случае. Корень $x_4 = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Таким образом, мы нашли три абсциссы (координаты $x$) общих точек: $0, 1, -1$. Теперь найдем для каждой из них соответствующую ординату (координату $y$), подставив значения $x$ в любое из исходных уравнений, например в $y = |x|$:
- Если $x = 0$, то $y = |0| = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.
- Если $x = 1$, то $y = |1| = 1$. Координаты второй точки: $(1, 1)$.
- Если $x = -1$, то $y = |-1| = 1$. Координаты третьей точки: $(-1, 1)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$.

5.65 Постройте параболу, симметричную параболе $y = x^2$ относительно оси абсцисс. Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы?

Постройте параболу, симметричную параболе $y=x^2$ относительно оси абсцисс.

Чтобы построить параболу, симметричную данной параболе $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо найти уравнение новой параболы.

Симметрия относительно оси абсцисс означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходной кривой соответствующая ей симметричная точка $(x_1, y_1)$ будет иметь те же координаты по $x$, а координата по $y$ будет иметь противоположный знак. То есть:
$x_1 = x_0$
$y_1 = -y_0$

Точка $(x_0, y_0)$ принадлежит параболе $y = x^2$, следовательно, ее координаты удовлетворяют этому уравнению: $y_0 = x_0^2$.

Теперь выразим координаты старой точки $(x_0, y_0)$ через координаты новой точки $(x_1, y_1)$ и подставим их в исходное уравнение:
$x_0 = x_1$
$y_0 = -y_1$
Подставляем в $y_0 = x_0^2$:
$(-y_1) = (x_1)^2$
Умножив обе части на -1, получаем:
$y_1 = -x_1^2$

Отбросив индексы, мы получаем уравнение для всех точек искомой параболы: $y = -x^2$.

Графиком этого уравнения является парабола, вершина которой находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вниз. Она является точным зеркальным отражением параболы $y = x^2$ относительно оси $Ox$. Для построения можно взять несколько точек на исходной параболе, например, $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$, и заменить у них знак координаты $y$. Получим точки для новой параболы: $(-2, -4), (-1, -1), (0, 0), (1, -1), (2, -4)$. Соединив эти точки, получим искомую параболу.

Ответ: Искомая парабола задается уравнением $y = -x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы?

Соотношение, которым связаны координаты $(x, y)$ любой точки, лежащей на новой параболе, — это и есть уравнение этой параболы, которое мы вывели в предыдущем пункте.

Это соотношение означает, что для любой точки на параболе ее ордината (координата $y$) равна квадрату ее абсциссы (координаты $x$), взятому с противоположным знаком.

Ответ: Координаты точек $(x,y)$ этой параболы связаны соотношением $y = -x^2$.

5.66 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $x=y^2$;

б) $x=|y|$.

а)

Чтобы построить множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $x = y^2$, мы имеем дело с уравнением параболы.
Это уравнение похоже на стандартное уравнение параболы $y = x^2$, но в нем переменные $x$ и $y$ поменялись местами. Если парабола $y = x^2$ имеет вершину в начале координат и ее ветви направлены вверх, то парабола $x = y^2$ также имеет вершину в точке $(0, 0)$, но ее ветви направлены вправо, а осью симметрии является ось абсцисс (ось $Ox$).
Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), то и $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$). Это означает, что весь график расположен в правой полуплоскости.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек, подставляя различные значения $y$ и вычисляя $x$:

• При $y = 0$, $x = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $y = 1$, $x = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $y = -1$, $x = (-1)^2 = 1$. Точка $(1, -1)$.
• При $y = 2$, $x = 2^2 = 4$. Точка $(4, 2)$.
• При $y = -2$, $x = (-2)^2 = 4$. Точка $(4, -2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих равенству $x = y^2$, представляет собой параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси $Ox$ и с ветвями, направленными вправо.

б)

Чтобы построить множество точек для равенства $x = |y|$, необходимо раскрыть модуль. По определению абсолютной величины:
$|y| = \begin{cases} y, & \text{если } y \ge 0 \\ -y, & \text{если } y < 0 \end{cases}$
Таким образом, исходное уравнение можно разбить на два случая:

1. Случай 1: $y \ge 0$.
   В этом случае $|y| = y$, и уравнение принимает вид $x = y$. Это уравнение прямой линии (биссектрисы I координатного угла). Учитывая ограничение $y \ge 0$, мы строим только ту часть прямой, которая находится в первой четверти, то есть луч, исходящий из точки $(0, 0)$.
2. Случай 2: $y < 0$.
   В этом случае $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $x = -y$, что эквивалентно $y = -x$. Это уравнение прямой линии (биссектрисы II и IV координатных углов). Учитывая ограничение $y < 0$, мы строим только ту часть прямой, которая находится в четвертой четверти, то есть луч, исходящий из точки $(0, 0)$.

Объединение графиков этих двух случаев и есть искомое множество точек. Это два луча, образующие "уголок" с вершиной в начале координат, который симметричен относительно оси $Ox$.
Найдем несколько точек для проверки:

• При $y = 0$, $x = |0| = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $y = 2$, $x = |2| = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $y = -2$, $x = |-2| = 2$. Точка $(2, -2)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих равенству $x = |y|$, представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y = x$ для $y \ge 0$ и луча $y = -x$ для $y < 0$.